【正文】 , ∴ PF=AF.? (5分 ) 設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (x,x24x), ∵ 點(diǎn) P在第二象限內(nèi) , ∴ x0,PF=x24x, 又 AF=4x, ∴ x24x=4x, 解得 x1=4(不符合題意 ,舍去 ),x2=1, 當(dāng) x=1時(shí) ,y=(1)24(1)=5, ∴ 點(diǎn) P的坐標(biāo)為 (1,5),? (6分 ) ∴ PF=5. 設(shè)直線 PB的解析式為 y=kx+m(k≠ 0),且交 x軸于點(diǎn) C, 把 P(1,5),B(1,3)分別代入 y=kx+m中 ,得 ? 解得 ? ∴ 直線 PB的解析式為 y=4x+1.? (7分 ) 當(dāng) y=0時(shí) ,4x+1=0,∴ x=? , ∴ C? , ∴ AC=4? =? ,? (8分 ) 5,3,kmkm? ? ??? ? ? ?? 4, ???? ??141 ,04??????14 154∴ S△ PAB=S△ PAC+S△ ABC=? ? 5+? ? 3=15.? (9分 ) 解法二 :過點(diǎn) B作 BE⊥ x軸于點(diǎn) E,過點(diǎn) P作 PF⊥ x軸于點(diǎn) F,設(shè) PA與 y軸交于點(diǎn) D. ? ∵ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (4,0),點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (1,3), ∴ BE=AE=3, ∴∠ EAB=∠ EBA=45176。的 坐標(biāo)為 (0,6)或 (0,6),然后根據(jù)拋物線向左或向右平移頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不變 ,求出滿足條件的拋物線 的函數(shù)表達(dá)式 . 解題關(guān)鍵 二次函數(shù)與三角形相結(jié)合的題的本質(zhì)為點(diǎn)的坐標(biāo)表示 ,其中多涉及二次函數(shù)圖象 的性質(zhì) ,象限中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的正負(fù) ,用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長度等 .根據(jù)題意準(zhǔn)確找出點(diǎn) C39。=S△ ABC,只要拋物線 L39。 (2)將拋物線 L向左或向右平移 ,得到拋物線 L39。當(dāng) a+1≤ 1,即 a≤ 0時(shí) ,函數(shù) y=x22x+1在 a≤ x≤ a+1內(nèi) ,y隨 x的增大而減小 ,其最小值為 (a+1)22(a+1)+1=a2,則 a2=1,解得 a=1或 a=1(舍去 ).當(dāng) 0a 1時(shí) ,函數(shù) y=x22x+1在 x=1處取得最小值 ,最小值為 0,不合題意 .綜上 ,a的值為 1或 2,故選 D. 4.(2022河北 ,16,2分 )對(duì)于題目“一段拋物線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共 點(diǎn) .若 c為整數(shù) ,確定所有 c的值 .”甲的結(jié)果是 c=1,乙的結(jié)果是 c=3或 4,則 ? ( ) 、乙的結(jié)果合在一起才正確 、乙的結(jié)果合在一起也不正確 答案 D 拋物線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)可以看作拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)沿 y軸向上平移 c 個(gè)單位形成的 ,一段拋物線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共點(diǎn)可以看作直線 l: y=x+2沿 y軸向下平移 c個(gè)單位形成的直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點(diǎn) .當(dāng) 直線 y=x+2c(即 l2)經(jīng)過原點(diǎn)時(shí) ,0+2c=0,c=2。,知點(diǎn) P在第四象限 . 過點(diǎn) P作 PQ⊥ x軸于點(diǎn) Q,則 ∠ POQ=∠ OPQ=45176。 (3)設(shè)點(diǎn) P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn) ,過點(diǎn) P作直線 y=kx+b(k≠ 0)的垂線 ,垂足為 H,交拋物線的對(duì)稱軸于 點(diǎn) D,求 PH+DH的最小值 ,并求出此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo) . ? 14 12 34解析 (1)對(duì)于 y=? x2? x+? ,令 y=0,得 ? x2? x+? =0,即 x2+2x3=0, 解得 x1=3,x2=1, 又點(diǎn) A在點(diǎn) C的左邊 , ∴ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (3,0),點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (1,0). (2)∵ 直線 y=kx+b(k≠ 0)過點(diǎn) A(3,0), ∴ 0=3k+b,即 b=3k, 聯(lián)立 ? 消去 y得 ? x2+? x+3k? =0, 由題意 ,得 Δ=? 4? ? =0, ∴ k22k+1=0,即 (k1)2=0, ∴ k=1,∴ b=3. 14 12 3414 12 3423,1 1 3 ,4 2 4y k x ky x x????? ? ? ? ???14 12k???????34212k???????14 33 4k???????(3)∵ OB=OA,∴∠ BAC=∠ ABO=45176。,則 △ CMN∽ △ COB。B的中點(diǎn) ,P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn) ,作 CD⊥ x 軸 ,PE⊥ x軸 ,垂足分別為 D,E. (1)求點(diǎn) A的坐標(biāo)及拋物線的解析式 。3 k2=3k3. ∴ ? =? =? . 2,ymyx??? ??m2,4ymxy???? ???m1212 12 1212 12OFBEADSS 33123 kk 16解題關(guān)鍵 利用平行于 x軸的直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等 ,平行于 y軸的直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相 等 ,以及兩個(gè)函數(shù)解析式 ,求出相關(guān)線段之間的數(shù)量關(guān)系 ,即可得解 . 2.(2022玉林 ,26,12分 )如圖 ,直線 y=3x+3與 x軸 ,y軸分別交于 A,B兩點(diǎn) ,拋物線 y=x2+bx+c與直線 y =c分別交 y軸的正半軸于點(diǎn) C和第一象限的點(diǎn) P,連接 PB,得△ PCB≌ △ BOA(O為坐標(biāo)原點(diǎn) ).若 拋物線與 x軸正半軸的交點(diǎn)為點(diǎn) F,設(shè) M是點(diǎn) C,F間拋物線上的一點(diǎn) (包括端點(diǎn) ),其橫坐標(biāo)為 m. (1)直接寫出點(diǎn) P的坐標(biāo)和拋物線的解析式 。, ∴ 直線 CM與☉ D相切 , ∴ ④ 正確 ,故選 B. 2254??????625163.(2022河池 ,9,3分 )二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象如圖所示 ,則下列結(jié)論不正確的是 ? ( ) ? 0 0 +b+c0 0 答案 C 拋物線開口向下 ,則 a0. 拋物線與 y軸交于正半軸 ,則 c0. 當(dāng) x=1時(shí) ,y=a+b+c0. 拋物線與 x軸有 2個(gè)交點(diǎn) ,則 b24ac0. 故選 C. 4.(2022桂林 ,12,3分 )已知直線 y=? x+3與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn) A,B,點(diǎn) P在拋物線 y=? (x? )2+4 上 ,能使△ ABP為等腰三角形的點(diǎn) P有 ? ( ) 3133答案 A 如圖所示 ,由題意可求得 A(0,3),B(? ,0),AB=2? ,拋物線與 x軸的交點(diǎn)為 M(? ,0),N (3? ,0). ? 以點(diǎn) B為圓心 ,線段 AB長為半徑作圓 ,☉ B與 x軸的交點(diǎn)就是 M,N,設(shè)☉ B與拋物線的另一交點(diǎn) 為 C,則 C(2? ,3),連接 AC,BC. 易知△ ABC為等邊三角形 . △ ABP為等腰三角形分三種情況 : ① 當(dāng) AB=BP時(shí) ,以點(diǎn) B為圓心 ,線段 AB長為半徑作圓 ,與拋物線交于 C,M,N三點(diǎn) 。167。 ② 當(dāng) AB=AP時(shí) ,以點(diǎn) A為圓心 ,線段 AB長為半徑作圓 ,與拋物線交于 C,M兩點(diǎn) 。 (2)當(dāng) m為何值時(shí) ,△ MAB的面積 S取得最小值和最大值 ?請(qǐng)說明理由 。 (2)當(dāng) 0x2? 時(shí) ,是否存在點(diǎn) P使以點(diǎn) C,D,P,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 ?若存在 ,求出點(diǎn) P 的坐標(biāo) 。② 若 ∠ CNM=90176。, 設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線 AB的交點(diǎn)為 N,作點(diǎn) D關(guān)于直線 AB的對(duì)稱點(diǎn) E,連接 EN,過點(diǎn) P作 PM⊥ EN,垂足為 M, ? 根據(jù)對(duì)稱性 ,∠ ENH=∠ DNH=∠ ABO=45176。. 可知 PQ=OQ,即 ? =? ,解得 m1=0,m2=10. 當(dāng) m=0時(shí) ,點(diǎn) P不在第四象限 ,舍去 . ∴ m=10. ∴ 拋物線的解析式為 y=x210x+20. 212x???????9419,24????????2 8,24m m m?????????2 84mm? 2m(3)由 y=x2+mx2m=(x2)m+x2可知 , 當(dāng) x=2時(shí) ,無論 m取何值 ,y都等于 4. ∴ 點(diǎn) H的坐標(biāo)為 (2,4). 過點(diǎn) A作 AD⊥ AH,交射線 HP于點(diǎn) D,分別過點(diǎn) D,H作 x軸的垂線 ,垂足分別為 E,G,則 ∠ DEA=∠ AGH=90176。當(dāng)直線 y=x+2c(即 l3)經(jīng)過點(diǎn) A(3,0)時(shí) ,3+2c=0,c=5, 根據(jù)圖象可得當(dāng) 2c≤ 5時(shí) ,直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點(diǎn) ,即一段拋物 線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共點(diǎn) .顯然 c=3,4, y=x+2c為圖中 l1時(shí) , 直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點(diǎn) .令 x(x3)=x+2c,得 x22x+2c=0,Δ=44(2 c)=0,解得 c=、乙的結(jié)果合在一起也不正確 ,故選 D. ? 歸納總結(jié) 數(shù)形結(jié)合思想主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 ,就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、 數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來 ,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形” ,即通過 抽象思維與形象思維的結(jié)合 ,可以使復(fù)雜問題簡單化 ,抽象問題具體化 ,從而起到優(yōu)化解題途徑 的目的 . 5.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,11,3分 )已知一次函數(shù) y1=4x,二次函數(shù) y2=2x2+ ,對(duì)于 x的同一 個(gè)值 ,這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為 y1與 y2,則下列關(guān)系正確的是 ? ( ) y2 ≥ y2 y2 ≤ y2 答案 D y2y1=2x24x+2=2(x1)2,無論 x取何值 ,(x1)2≥ 0,∴ y2≥ y1,故選 D. 一題多解 根據(jù)函數(shù)圖象可以看出對(duì)于同一個(gè) x的值 ,都有 y1≤ y2. ? 6.(2022天津 ,12,3分 )已知二次函數(shù) y=(xh)2+1(h為常數(shù) ),在自變量 x的值滿足 1≤ x≤ 3的情況下 , 與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 y的最小值為 5,則 h的值為 ? ( ) 5 5 3 3 答案 B 當(dāng) h≥ 3時(shí) ,二次函數(shù)在 x=3處取最小值 ,此時(shí) (3h)2+1=5,解得 h1=5,h2=1(舍去 ). 當(dāng) 1≤ h≤ 3時(shí) ,二次函數(shù)在 x=h處取最小值 1,不符合題意 . 當(dāng) h≤ 1時(shí) ,二次函數(shù)在 x=1處取最小值 ,此時(shí) (1h)2+1=5,解得 h1=1,h2=3(舍去 ). ∴ h=1或 B. 評(píng)析 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) ,分類討論思想 ,解一元二次方程 ,屬于難題 . 7.(2022湖北孝感 ,10,3分 )如圖 ,二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)的圖象與 x軸交于 A,B兩點(diǎn) ,與 y軸交于 點(diǎn) C,且 OA= :① abc0。,且 L39。與 y軸的交點(diǎn)為 C39。的 坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵 . 3.(2022新疆烏魯木齊 ,24,12分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,拋物線 y=? x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn) A(2,0),B (8,0). (1)求拋物線的解析式 。,且 AB=3? , ∵ PA⊥ BA,即 ∠ PAB=90176。, ∴∠ FPA=∠ PAF=45176。和△ ABC的面積相等 ,則點(diǎn) C39。C39。(2)將二次函數(shù)的解析式配方 ,根據(jù) x取整數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出 W的最大值 . 2.(2022陜西 ,24,10分 )已知拋物線 L:y=x2+x6與 x軸相交于 A、 B兩點(diǎn) (點(diǎn) A在點(diǎn) B的左側(cè) ),并與 y軸 相交于點(diǎn) C. (1)求 A、 B、 C三點(diǎn)的坐標(biāo) ,并求△ ABC的面積 。當(dāng) x=1時(shí) ,y取得最小值 ,此時(shí) y= 3,選項(xiàng) D正確 .故選 D. 思路分析 根據(jù)題中的函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì) ,可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論是否成 立 ,從而解答本題 . 解題關(guān)鍵 解答本題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)的性質(zhì) ,會(huì)用配方法求二次函數(shù)的最值 . 2.(2022陜西 ,10,3分 )對(duì)于拋物線 y=ax2+(2a1)x+a3,當(dāng) x=1時(shí) ,y0,則這條拋物線的頂點(diǎn)一定在 ? ( ) 答案 C 當(dāng) x=1時(shí) ,y=a+2a1+a30,解得 a1,又根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得 ? =? 0, ? =? =? 0,所以這條拋物線的頂點(diǎn)一定在第三象限 ,故選 C. 2ba212a a?244ac ba?24 ( 3) (2 1)4a a aa? ? ?814aa??3.(2022湖北黃岡 ,6,3分 )當(dāng) a≤ x≤ a+1時(shí) ,函數(shù) y=x22x+1的最小值為 1,則 a的值為 ? ( ) 2 2 答案 D y=x22x+1=(x1)2,當(dāng) a≥ 1時(shí) ,函數(shù) y=x22x+1在 a≤ x≤ a+1內(nèi) ,y隨 x的增大而增大 ,其最 小值為 a22a+1,則 a22a+1=1,解得 a=2或 a=0(舍去 )。時(shí) ,求拋物線的解析式 . 解析