【文章內(nèi)容簡介】 的 P(4,0),Q兩點(diǎn)關(guān)于它的對(duì)稱軸 x=1對(duì) 稱 ,則 Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 . ? 答案 (2,0) 解析 P,Q兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸 x=1對(duì)稱 ,則 P,Q兩點(diǎn)到對(duì)稱軸 x=1的距離相等 ,設(shè)點(diǎn) Q的橫坐標(biāo)為 m, 則 ? =1,解得 m=2.∴ Q點(diǎn)的坐標(biāo)為 (2,0). 42 m?11.(2022北京 ,26,6分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,直線 y=4x+4與 x軸、 y軸分別交于點(diǎn) A,B,拋物線 y=ax2+bx3a經(jīng)過點(diǎn) A,將點(diǎn) B向右平移 5個(gè)單位長度 ,得到點(diǎn) C. (1)求點(diǎn) C的坐標(biāo) 。 (2)求拋物線的對(duì)稱軸 。 (3)若拋物線與線段 BC恰有一個(gè)公共點(diǎn) ,結(jié)合函數(shù)圖象 ,求 a的取值范圍 . 解析 (1)將 x=0代入 y=4x+4得 y=4, ∴ B(0,4). ∵ 點(diǎn) B向右平移 5個(gè)單位長度得到點(diǎn) C, ∴ C(5,4). (2)將 y=0代入 y=4x+4得 x=1, ∴ A(1,0). 將點(diǎn) A(1,0)代入拋物線解析式 y=ax2+bx3a得 0=ab3a,即 b=2a, ∴ 拋物線的對(duì)稱軸為直線 x=? =? =1. (3)拋物線始終過點(diǎn) A(1,0),且對(duì)稱軸為直線 x=1,由拋物線的對(duì)稱性可知拋物線也過點(diǎn) A關(guān)于直 線 x=1的對(duì)稱點(diǎn) (3,0). ① a0時(shí) ,如圖 1. ? 圖 1 2ba 22 aa?將 x=5代入拋物線的解析式得 y=12a, ∴ 12a≥ 4, ∴ a≥ ? . ② a0,且拋物線頂點(diǎn)不在線段 BC上時(shí) ,如圖 2. ? 圖 2 將 x=0代入拋物線得 y=3a, ∵ 拋物線與線段 BC恰有一個(gè)公共點(diǎn) , ∴ 3a4, 13∴ a? . 若拋物線的頂點(diǎn)在線段 BC上 ,則頂點(diǎn)為 (1,4),如圖 3. ? 將點(diǎn) (1,4)代入拋物線的解析式得 4=a2a3a, ∴ a=1. 綜上所述 ,a≥ ? 或 a? 或 a=1. 431343解題關(guān)鍵 解決本題第 (3)問的關(guān)鍵是要先確定題目中拋物線所過的定點(diǎn) ,進(jìn)而通過臨界點(diǎn)求 出 a的取值范圍 .同時(shí)不要忽略拋物線頂點(diǎn)是公共點(diǎn)的情況 . 思路分析 (1)先求 B點(diǎn)坐標(biāo) ,由 B點(diǎn)向右平移 5個(gè)單位長度確定 C點(diǎn)坐標(biāo) . (2)確定 A點(diǎn)坐標(biāo) ,代入拋物線的解析式 ,利用公式確定對(duì)稱軸 . (3)結(jié)合圖象和拋物線的對(duì)稱性解答 . 12.(2022江西 ,22,9分 )已知拋物線 C1:y=ax24ax5(a0). (1)當(dāng) a=1時(shí) ,求拋物線與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸 。 (2)① 試說明無論 a為何值 ,拋物線 C1一定經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn) ,并求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo) 。 ② 將拋物線 C1沿這兩個(gè)定點(diǎn)所在直線翻折 ,得到拋物線 C2,直接寫出 C2的表達(dá)式 。 (3)若 (2)中拋物線 C2的頂點(diǎn)到 x軸的距離為 2,求 a的值 . ? 備用圖 解析 (1)當(dāng) a=1時(shí) ,拋物線 C1:y=x24x5.? (1分 ) 令 y=0,則 x24x5=0, 解得 x1=1,x2=5, ∴ 拋物線 C1與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,0),(5,0),? (2分 ) 對(duì)稱軸為直線 x=2.? (3分 ) (2)① 由拋物線 C1:y=ax24ax5(a0), 可得其對(duì)稱軸為直線 x=? =2.? (4分 ) 令 x=0,有 y=5. ∴ 拋物線 C1過定點(diǎn) (0,5).? (5分 ) 易知點(diǎn) (0,5)關(guān)于直線 x=2的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) (4,5), ∴ 由拋物線的對(duì)稱性可知 ,無論 a為何值 ,拋物線 C1一定經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn) (0,5)和 (4,5).? (6分 ) ② y=ax2+4ax5(或 y=a(x2)2+4a5).? (7分 ) (3)對(duì)于拋物線 C2:y=ax2+4ax5,當(dāng) x=2時(shí) ,y=4a5, ∴ 拋物線 C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,4a5),? (8分 ) 42 aa?∴ |4a5|=2,解得 a1=? ,a2=? .? (9分 ) 74 3413.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,25,12分 )已知 :拋物線 y=x2+(2m1)x+m21經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) ,且當(dāng) x0時(shí) ,y 隨 x的增大而減小 . (1)求拋物線的解析式 ,并寫出 y0時(shí) ,對(duì)應(yīng) x的取值范圍 。 (2)設(shè)點(diǎn) A是該拋物線上位于 x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,過點(diǎn) A作 x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn) D,再 作 AB⊥ x軸于點(diǎn) B,DC⊥ x軸于點(diǎn) C. ① 當(dāng) BC=1時(shí) ,直接寫出矩形 ABCD的周長 。 ② 設(shè)動(dòng)點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (a,b),將矩形 ABCD的周長 L表示為 a的函數(shù)并寫出自變量的取值范圍 ,判斷 周長是否存在最大值 ,如果存在 ,求出這個(gè)最大值 ,并求出此時(shí)點(diǎn) A的坐標(biāo) 。如果不存在 ,請(qǐng)說明 理由 . 解析 (1)∵ 拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) (0,0), ∴ m21=0,∴ m=177。1, ∴ y=x2+x或 y=x23x.? (2分 ) ∵ 當(dāng) x0時(shí) ,y隨 x的增大而減小 , ∴ y=x23x.? (3分 ) 由圖象知 :y0時(shí) ,0x3.? (4分 ) (2)① 當(dāng) BC=1時(shí) ,由拋物線的對(duì)稱性知點(diǎn) D的縱坐標(biāo)為 2.∴ 矩形的周長為 6.? (5分 ) ② ∵ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (a,b), ∴ 當(dāng)點(diǎn) A在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí) ,矩形 ABCD的邊 BC=32a,AB=3aa2, 周長 L=2a2+2a+6,其中 0a? .? (7分 ) 當(dāng)點(diǎn) A在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí) ,矩形 ABCD的邊 BC=3(62a)=2a3,AB=3aa2, 周長 L=2a2+10a6,其中 ? a3,? (9分 ) ∴ 當(dāng) 0a? 時(shí) ,L=2? +? , 323232212a???????132∴ 當(dāng) a=? 時(shí) ,L最大 =? ,A點(diǎn)坐標(biāo)為 ? . 當(dāng) ? a3時(shí) ,L=2? +? , ∴ 當(dāng) a=? 時(shí) ,L最大 =? ,A點(diǎn)坐標(biāo)為 ? .? (12分 ) 12 132 15,24???????32252a???????13252 132 55,24???????評(píng)析 本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及利用配方法求二次函數(shù)的最值 .在第 (2)問中 , 需要對(duì)點(diǎn) A的位置進(jìn)行討論 ,得到不同的矩形周長的表達(dá)式 。在求最值時(shí) ,一定要注意 a的取值 范圍 .屬于難題 . 考點(diǎn)三 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 1.(2022浙江溫州 ,15,5分 )某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室 ,一面靠現(xiàn)有墻 (墻足夠長 ),中間用一道墻 隔開 ,并在如圖所示的三處各留 1 m寬的門 .已知計(jì)劃中的材料可建墻體 (不包括門 )總長為 27 m,則能建成的飼養(yǎng)室總占地面積最大為 m2. ? 答案 75 解析 設(shè)垂直于現(xiàn)有墻的一面墻長為 x m,建成的飼養(yǎng) 室總占地面積為 y m2,則利用現(xiàn)有墻的長為 (27+33x)m, ∴ y=x(303x)=3x2+30x=3(x5)2+75. ∵ 30,∴ 當(dāng) x=5時(shí) ,ymax=75, 即能建成的飼養(yǎng)室總占地面積最大為 75 m2. 2.(2022浙江紹興 ,13,5分 )如圖的一座拱橋 ,當(dāng)水面寬 AB為 12 m時(shí) ,橋洞頂部離水面 4 m,已知橋 洞的拱形是拋物線 .以水平方向?yàn)?x軸 ,建立平面直角坐標(biāo)系 ,若選取點(diǎn) A為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物 線解析式是 y=? (x6)2+4,則選取點(diǎn) B為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物線解析式是 . ? 19答案 y=? (x+6)2+4 19解析 若選 B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) ,則頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (6,4),a=? 不變 ,則所求拋物線解析式為 y=? (x+6)2 +4. 19 193.(2022安徽 ,22,12分 )小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè) ,第一期培植盆景與花卉各 50盆 .售后統(tǒng)計(jì) ,盆景 的平均每盆利潤是 160元 ,花卉的平均每盆利潤是 19元 .調(diào)研發(fā)現(xiàn) : ① 盆景每增加 1盆 ,盆景的平均每盆利潤減少 2元 。每減少 1盆 ,盆景的平均每盆利潤增加 2元 。 ② 花卉的平均每盆利潤始終不變 . 小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共 100盆 ,設(shè)培植的盆景比第一期增加 x盆 ,第二期盆景與花卉 售完后的利潤分別為 W1,W2(單位 :元 ). (1)用含 x的代數(shù)式分別表示 W1,W2。 (2)當(dāng) x取何值時(shí) ,第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤 W最大 ?最大總利潤是多少 ? 解析 (1)W1=(50+x)(1602x)=2x2+60x+8 000, W2=[100(50+x)]19=(50x)19=19x+950.? (6分 ) (2)W=W1+W2=2x2+41x+8 950=2? +? . ∵ x取整數(shù) , ∴ 當(dāng) x=10時(shí) ,總利潤 W最大 ,最大總利潤是 9 160元 .? (12分 ) 2414x???????73 2818思路分析 (1)根據(jù)題意分別列出 W1,W2關(guān)于 x的函數(shù)表達(dá)式 。(2)將二次函數(shù)的解析式配方 ,根據(jù) x取整數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出 W的最大值 . 4.(2022貴州貴陽 ,22,10分 )六盤水市梅花山國際滑雪場自建成以來 ,吸引了大批滑雪愛好者 .一 滑雪者從山坡滑下 ,測得滑行距離 y(單位 :m)與滑行時(shí)間 x(單位 :s)之間的關(guān)系可以近似地用二 次函數(shù)來表示 .現(xiàn)測得一組數(shù)據(jù) ,如下表所示 . 滑行時(shí)間 x/s 0 1 2 3 … 滑行距離 y/m 0 4 12 24 … (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的表達(dá)式 .現(xiàn)測量出滑雪者的出發(fā)點(diǎn)與終點(diǎn)的距離大約為 840 米 ,他需要多少時(shí)間才能到達(dá)終點(diǎn) ? (2)將得到的二次函數(shù)圖象補(bǔ)充完整后 ,向左平移 2個(gè)單位 ,再向下平移 5個(gè)單位 ,求平移后所得 圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式 . 解析 (1)設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為 y=ax2+bx+c(a≠ 0), 將 (0,0)代入函數(shù)表達(dá)式 ,得 c=0,所以 y=ax2+bx. 把 (1,4),(2,12)代入上式 ,得 ? 解這個(gè)方程組 ,得 ? 所以 ,所求二次函數(shù)表達(dá)式為 y=2x2+2x(x≥ 0). 當(dāng) y=840時(shí) ,840=2x2+2x,解得 x1=20,x2=21(不符合題意 ,舍去 ), 所以 ,他需要 20 s才能到達(dá)終點(diǎn) . (2)由 y=2x2+2x,得 y=2? ? , 則該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ? , 所以 ,將 y=2? ? 的圖象向左平移 2個(gè)單位 ,再向下平移 5個(gè)單位后所得圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 4,4 2 12,abab???? ???2, ??? ??212x???????1211,22????????212x???????12? , 所以平移后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式為 y=2? ? 或 y=2x2+10x+7. 5 1 1,22????????252x???????1125.(2022安徽 ,22,12分 )某超市銷售一種商品 ,成本每千克 40元 ,規(guī)定每千克售價(jià)不低于成本 ,且不 高于 80元 .經(jīng)市場調(diào)查 ,每天的銷售量 y(千克 )與每千克售價(jià) x(元 )滿足一次函數(shù)關(guān)系 ,部分?jǐn)?shù)據(jù) 如下表 : 售價(jià) x(元 ) 50 60 70 銷售量 y(千克 ) 100 80 60 (1)求 y與 x之間的函數(shù)表達(dá)式 。 (2)設(shè)商品每天的總利潤為 W(元 ),求 W與 x之間的函數(shù)表達(dá)式 (利潤 =收入 成本 )。 (3)試說明 (2)中總利潤 W隨售價(jià) x的變化而變化的情況 ,并指出售價(jià)為多少元時(shí)獲得最大利潤 , 最大利潤是多少 ? 解析 (1)設(shè) y=kx+b(k≠ 0). 由題意 ,得 ? 解得 ? ∴ 所求函數(shù)表達(dá)式為 y=2x+200.? (4分 ) (2)W=(x40)(2x+200)=2x2+280x8 000.? (7分 ) (3)W=2x2+280x8 000=2(x70)2+1 800,其中 40≤ x≤ 80. ∵ 20, ∴ 當(dāng) 40≤ x70時(shí) ,W隨 x的增大而增大 。 當(dāng) 70x≤ 80時(shí) ,W隨 x的增大而減小 。 當(dāng)售價(jià)為 70元時(shí) ,獲得最大利潤 ,最大利潤為 1 800元 .? (12分 ) 50 100,60 ???? ??? 2, ???? ??6.(2022寧夏 ,25,10分 )某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià) ,將該產(chǎn)品按擬定的價(jià)格 進(jìn)行試銷 ,通過對(duì) 5天的試銷情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì) ,得到如下數(shù)據(jù) : (1)計(jì)算這 5天銷售額的平均數(shù) 。(銷售額 =單價(jià) 銷量 ) (2)通過對(duì)上面表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析 ,發(fā)現(xiàn)銷量 y(件 )與單價(jià) x(元 /件 )之間存在一次函數(shù)關(guān)系 , 求 y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式 。(不需要寫出函數(shù)自變量的取值范圍 ) (3)預(yù)計(jì)在今后的銷售中 ,銷量與單價(jià)仍然存在 (2)中的關(guān)系 ,且該產(chǎn)品的成本是 20元 /件 .為使工 廠獲得最大利潤 ,該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少