【文章內(nèi)容簡介】 ? 3 0,4 2 3 3,abab? ? ??? ? ? ? ?? 1,2,ab ??? ???(3)存在 ,M1(0,3)。M2(4,5)。M3(2,5). 如圖 ,設(shè) M(m,m22m3),N(1,n). ∵ A(2,3),B(1,0), 當(dāng)四邊形 AM1BN1是平行四邊形時 ,m+1=2+(1), 解得 m=0,此時 M1(0,3)。 當(dāng)四邊形 ABN2M2是平行四邊形時 ,1+m=2+1, 解得 m=4,此時 M2(4,5)。 當(dāng)四邊形 ABM3N3是平行四邊形時 ,2+m=1+1,解得 m=2,此時 M3(2,5). 綜上所述 ,符合條件的點(diǎn) M的坐標(biāo)分別為 M1(0,3)。M2(4,5)。M3(2,5). 8.(2022棗莊 ,25,10分 )如圖 ,已知拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)的對稱軸為直線 x=1,且經(jīng)過 A(1,0),C (0,3)兩點(diǎn) ,與 x軸的另一個交點(diǎn)為 B. (1)若直線 y=mx+n經(jīng)過 B,C兩點(diǎn) ,求拋物線和直線 BC的解析式 。 (2)在拋物線的對稱軸 x=1上找一點(diǎn) M,使點(diǎn) M到點(diǎn) A的距離與到點(diǎn) C的距離之和最小 ,求點(diǎn) M的 坐標(biāo) 。 (3)設(shè)點(diǎn) P為拋物線的對稱軸 x=1上的一個動點(diǎn) ,求使△ BPC為直角三角形的點(diǎn) P的坐標(biāo) . ? 解析 (1)依題意 ,得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的解析式為 y=x22x+3. ∵ 拋物線的對稱軸為 x=1,且經(jīng)過 A(1,0), ∴ B(3,0). 把 B(3,0)、 C(0,3)分別代入 y=mx+n,得 ? 解得 ? ∴ 直線 BC的解析式為 y=x+3. (2)由題意知 MA=MB,∴ MA+MC=MB+MC, ∴ 使 MA+MC最小的點(diǎn) M應(yīng)為直線 BC與拋物線的對稱軸 x=1的交點(diǎn) . 把 x=1代入直線 y=x+3,得 y=2. ∴ M(1,2). 1,20,3,baabcc? ? ? ??? ? ? ??? ???1,2,3.abc???????? ?? 3 0,3,mnn? ? ??? ?? 1, ??? ??(3)∵ OB=3,OC=3,∴ BC2=18. 設(shè) P(1,t),則 PB2=(1+3)2+t2=4+t2,PC2=(1)2+(t3)2=t26t+10. ①若 B為直角頂點(diǎn) ,則 BC2+PB2=PC2,即 18+4+t2=t26t+ ,得 t=2. ②若 C為直角頂點(diǎn) ,則 BC2+PC2=PB2,即 18+t26t+10=4+ ,得 t=4. ③若 P為直角頂點(diǎn) ,則 PB2+PC2=BC2,即 4+t2+t26t+10= ,得 t1=? ,t2=? . 綜上所述 ,滿足條件的點(diǎn) P共有四個 ,坐標(biāo)分別為 P1(1,2),P2(1,4),P3? ,P4? . 3 1 72?3 1 72? 3 1 71, 2???????3 1 71, 2??知識拓展 此題第 (2)問是“將軍飲馬問題”的一個典型變式 ,如圖 1,在一條可以近似看成直 線的河 a的同旁 ,將軍牽著馬位于點(diǎn) A處 ,現(xiàn)將軍要牽著馬到河邊給馬喂水 ,然后牽著馬回到軍 營 (點(diǎn) B處 ),設(shè)飲馬的位置為河邊的點(diǎn) M,那么這個點(diǎn) M在何處才能使走的路程最短 (換句話說就 是使 AM+BM最短 )? ? 具體的作法 :如圖 2,作點(diǎn) B關(guān)于直線 a的對稱點(diǎn) B39。,連接 AB39。交直線 a于點(diǎn) M,連接 BM,則 AM+BM最 短 . B組 2022— 2022年全國中考題組 考點(diǎn)一 二次函數(shù)的解析式 1.(2022湖南岳陽 ,4,3分 )拋物線 y=3(x2)2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ? ( ) A.(2,5) B.(2,5) C.(2,5) D.(2,5) 答案 C 因?yàn)閽佄锞€ y=a(xh)2+k(a≠ 0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (h,k),所以拋物線 y=3(x2)2+5的頂點(diǎn)坐 標(biāo)是 (2,5).故選 C. 2.(2022黑龍江哈爾濱 ,4,3分 )拋物線 y=? ? 3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 35212x???????1 ,32 ?1 ,32??1 ,32 1 ,32?答案 B ∵ 拋物線 y=a(xh)2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (h,k), ∴ 拋物線 y=? ? 3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ? .故選 B. 35212x ? 123.(2022天津 ,12,3分 )已知拋物線 y=x24x+3與 x軸相交于點(diǎn) A,B(點(diǎn) A在點(diǎn) B左側(cè) ),頂點(diǎn)為 拋物線 ,使點(diǎn) M平移后的對應(yīng)點(diǎn) M39。落在 x軸上 ,點(diǎn) B平移后的對應(yīng)點(diǎn) B39。落在 y軸上 .則平移后的拋物 線解析式為 ? ( ) =x2+2x+1 =x2+2x1 =x22x+1 =x22x1 答案 A 令 y=0,則 x24x+3=0,解得 x1=1,x2=3, ∴ A(1,0),B(3,0). y=x24x+3=(x2)21,∴ 點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (2,1), ∵ 平移該拋物線 ,使點(diǎn) M平移后的對應(yīng)點(diǎn) M39。落在 x軸上 ,點(diǎn) B平移后的對應(yīng)點(diǎn) B39。落在 y軸上 , ∴ 拋物線向上平移了 1個單位長度 ,向左平移了 3個單位長度 , ∴ 平移后的拋物線解析式為 y=(x+1)2=x2+2x+1,故選 A. 解題關(guān)鍵 正確得出平移的方向和距離是解題的關(guān)鍵 . 4.(2022江蘇鹽城 ,6,3分 )如圖 ,將函數(shù) y=? (x2)2+1的圖象沿 y軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖 象 ,其中點(diǎn) A(1,m)、 B( n)平移后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) A39。、 B39。.若曲線段 AB掃過的面積為 9(圖中 的陰影部分 ),則新圖象的函數(shù)表達(dá)是 ? ( ) =? (x2)22 =? (x2)2+7 =? (x2)25 =? (x2)2+4 ? 11 121 12答案 D 連接 AB、 A39。B39。,則 S陰影 =S四邊形 ABB39。A39。.由平移可知 ,AA39。=BB39。,且 AA39?！?BB39。,所以四邊形 ABB39。A39。 是平行四邊形 .分別延長 A39。A、 B39。B交 x軸于點(diǎn) M、 A(1,m)、 B(4,n),所以 MN=41= ABB 39。A39。=AA39。MN,即 9=3AA39。,解得 AA39。=3,即圖象沿 y軸向上平移了 3個單位 ,所以新圖象的函數(shù)表達(dá)式 為 y=? (x2)2+4. 15.(2022甘肅蘭州 ,8,4分 )二次函數(shù) y=x22x+4化為 y=a(xh)2+k的形式 ,下列正確的是 ? ( ) =(x1)2+2 =(x1)2+3 =(x2)2+2 =(x2)2+4 答案 B y=x22x+4=(x22x)+4=(x22x+11)+4=(x1)21+4=(x1)2+3,故選擇 B. 6.(2022新疆烏魯木齊 ,13,4分 )把拋物線 y=2x24x+3向左平移 1個單位長度 ,得到的拋物線的解析 式為 . 答案 y=2x2+1 解析 易知 y=2x24x+3=2(x1)2+1,則把原拋物線向左平移 1個單位長度后得到的拋物線的解析 式為 y=2x2+1. 考點(diǎn)二 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1.(2022陜西 ,10,3分 )對于拋物線 y=ax2+(2a1)x+a3,當(dāng) x=1時 ,y0,則這條拋物線的頂點(diǎn)一定在 ? ( ) 答案 C 當(dāng) x=1時 ,y=a+2a1+a30,解得 a1,又根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得 ? =? 0, ? =? =? 0,所以這條拋物線的頂點(diǎn)一定在第三象限 ,故選 C. 2ba212a a?24 4ac ba?24 ( 3) (2 1)4a a aa? ? ?814aa??2.(2022湖北黃岡 ,6,3分 )當(dāng) a≤ x≤ a+1時 ,函數(shù) y=x22x+1的最小值為 1,則 a的值為 ? ( ) 2 2 答案 D y=x22x+1=(x1)2,當(dāng) a≥ 1時 ,函數(shù) y=x22x+1在 a≤ x≤ a+1內(nèi) ,y隨 x的增大而增大 ,其最 小值為 a22a+1,則 a22a+1=1,解得 a=2或 a=0(舍去 )。當(dāng) a+1≤ 1,即 a≤ 0時 ,函數(shù) y=x22x+1在 a≤ x≤ a+1內(nèi) ,y隨 x的增大而減小 ,其最小值為 (a+1)22(a+1)+1=a2,則 a2=1,解得 a=1或 a=1(舍去 ).當(dāng) 0a 1時 ,函數(shù) y=x22x+1在 x=1處取得最小值 ,最小值為 0,不合題意 .綜上 ,a的值為 1或 2,故選 D. 3.(2022天津 ,12,3分 )已知拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點(diǎn) (1,0),(0,3),其對稱軸在 y 軸右側(cè) .有下列結(jié)論 : ①拋物線經(jīng)過點(diǎn) (1,0)。 ②方程 ax2+bx+c=2有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 。 ③ 3a+b3. 其中 ,正確結(jié)論的個數(shù)為 ? ( ) 答案 C ∵ 拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點(diǎn) (1,0),其對稱軸在 y軸右側(cè) ,∴ 拋物線 不能經(jīng)過點(diǎn) (1,0),∴ ①錯誤 .∵ 拋物線 y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù) ,a≠ 0)經(jīng)過點(diǎn) (1,0),(0,3),其對稱軸 在 y軸右側(cè) ,∴ 拋物線開口向下 ,與直線 y=2有兩個交點(diǎn) ,∴ 方程 ax2+bx+c=2有兩個不相等的實(shí)數(shù) 根 ,故②正確 .∵ 拋物線的對稱軸在 y軸右側(cè) ,∴ ? 0.∵ a0,∴ b (1,0),(0,3)分別代入 y= ax2+bx+c得 ab=3,∴ b=a+3,a=b3.∴ 3a0,0b3.∴ 3a+b③正確 .故選 C. 2ba4.(2022四川成都 ,10,3分 )關(guān)于二次函數(shù) y=2x2+4x1,下列說法正確的是 ? ( ) y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,1) y軸的右側(cè) x0時 ,y的值隨 x值的增大而減小 3 答案 D 因?yàn)?y=2x2+4x1=2(x+1)23,所以 ,當(dāng) x=0時 ,y=1,選項(xiàng) A錯誤 。該函數(shù)圖象的對稱軸是 直線 x=1,選項(xiàng) B錯誤 。當(dāng) x1時 ,y隨 x的增大而減小 ,選項(xiàng) C錯誤 。當(dāng) x=1時 ,y取得最小值 ,此時 y= 3,選項(xiàng) D正確 .故選 D. 思路分析 根據(jù)題中的函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì) ,可以判斷各個選項(xiàng)中的結(jié)論是否成 立 ,從而解答本題 . 解題關(guān)鍵 解答本題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)的性質(zhì) ,會用配方法求二次函數(shù)的最值 . 5.(2022湖北黃石 ,8,3分 )如圖是二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象 ,對下列結(jié)論 :① ab0。② abc0。③ ? 1,其中錯誤的個數(shù)是 ? ( ) ? 24 acb答案 C 拋物線開口向上 ,故 a0,又對稱軸在 y軸右側(cè) ,故 b0,則 ab0,①錯誤 。拋物線與 y軸的 交點(diǎn)在 y軸負(fù)半軸 ,故 c0,則 abc0,②正確 。拋物線與 x軸有兩個交點(diǎn) ,則 b24ac0,即 ? 1,③正 確 . 24 acb6.(2022四川成都 ,10,3分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象如圖所示 ,下列 說法正確的是 ? ( ) ? 0,b24ac0 0,b24ac0 0,b24ac0 0,b24ac0 答案 B 因?yàn)閽佄锞€的開口向上 ,所以 a0,又對稱軸在 y軸右側(cè) ,所以 ? 0,所以 b0,因?yàn)閽? 物線與 y軸交于負(fù)半軸 ,所以 c0,所以 abc0。因?yàn)閽佄锞€與 x軸有兩個交點(diǎn) ,所以 b24ac0,故選 B. ba思路分析 本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系 ,從拋物線的開口方向 ,對稱軸 ,以及與 y軸 的交點(diǎn)位置來判斷 a,b,c的符號 ,由拋物線與 x軸的交點(diǎn)個數(shù)判斷 b24ac的符號 . 7.(2022江蘇連云港 ,7,3分 )已知拋物線 y=ax2(a0)過 A(2,y1),B(1,y2)兩點(diǎn) ,則下列關(guān)系式一定正確 的是 ? ( ) 0y2 0y1 y20 y10 答案 C ∵ y=ax2(a0)∴ 拋物線的開口向上 ,對稱軸為 y軸 ,A(2,y1)在對稱軸的左側(cè) ,B(1,y2)在 對稱軸的右側(cè) ,點(diǎn) A距對稱軸的距離大于點(diǎn) B距對稱軸的距離 ,∴ y1y20. 8.(2022四川眉山 ,11,3分 )若一次函數(shù) y=(a+1)x+a的圖象過第一、三、四象限 ,則二次函數(shù) y=ax2 ax? ( ) ? ? ? ? 4a 44a 4a答案 B 因?yàn)橐淮魏瘮?shù) y