【正文】 . ∵ 拋物線 y=x2+6x5交 x軸于 A,B兩點 , 。 ②連接 AC,當直線 AM與直線 BC的夾角等于 ∠ ACB的 2倍時 ,請直接寫出點 M的坐標 . 解析 (1)∵ 直線 y=x5交 x軸于點 B,交 y軸于點 C, ∴ B(5,0),C(0,5), ∵ 拋物線 y=ax2+6x+c過點 B,C, ∴ ? ∴ ? ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+6x5.? (3分 ) (2)① ∵ OB=OC=5,∠ BOC=90176。(3)當以 AB為直徑的圓與 x軸相切時 ,存 在滿足條件的點 P,由題意知點 P為 MN的中點 ,運用三角形相似的性質(zhì)建立線段間的等量關(guān)系 , 列出方程求解即可 . AFFBMN348.(2022河南 ,23,11分 )如圖 ,拋物線 y=ax2+6x+c交 x軸于 A,B兩點 ,交 y軸于點 y=x5經(jīng)過點 B, C. (1)求拋物線的解析式 。PM, ∴ 1(k2+3k+1)=?? ,即 3k2+6k5=0,Δ=960, ∵ k0,∴ k=? =1+? . 5 ,02k ???????AM 54 2kk ???5 12k ? ?6 4 66??263解題關(guān)鍵 本題為二次函數(shù)的綜合題 ,主要考查了用待定系數(shù)法求解析式 ,二次函數(shù)的性質(zhì) ,平 行線間的距離 ,用代數(shù)式表示點的坐標 ,三角形的相似等知識點 ,題目綜合性強、難度大 .會分 析題中的基本關(guān)系列方程 (組 )解決問題 ,并分類討論 ,會根據(jù)條件構(gòu)建三角形相似的模型 ,運用 相似的性質(zhì)計算是解題的關(guān)鍵 . 思路分析 (1)根據(jù)已知條件 ,用待定系數(shù)法可求得拋物線的函數(shù)表達式 。P⊥ x軸 ,∴ P為 MN的中點 ,∴ P? . 作 AM⊥ x軸 ,BN⊥ x軸 ,垂足分別為 M,N, ∵ △ AMP∽ △ PNB,∴ ? =? ,∴ AM, ? 9 3 1 74?9 3 1 74?529 3 1 749 3 17 67 3 17,48????????,∵ P點有且只有一個 ,∴ 以 AB為直徑的圓與 x軸只有一個交點 , 即該圓與 x軸相切 ,且 P為切點 , 連接 O39。 (3)若在 x軸上有且只有一點 P,使 ∠ APB=90176。 (5)將所表示的線段代入比例式中 ,構(gòu)造方程進行求解即可 . 7.(2022四川成都 ,28,12分 )如圖 ,在平面直角坐標系 xOy中 ,以直線 x=? 為對稱軸的拋物線 y=ax2+ bx+c 與直線 l:y=kx+m(k0)交于 A(1,1),B兩點 ,與 y軸交于點 C(0,5),直線 l與 y軸交于點 D. (1)求拋物線的函數(shù)表達式 。 (3)由相似三角形列出相應(yīng)比例式 。 (3)設(shè)拋物線 L1的解析式為 y=x2+2x+1+m,可得 C(0,1+m)、 D(2,1+m)、 F(1,0),再設(shè) P(0,t),分△ PCD∽ △ FOP和△ PCD∽ △ POF兩種情況 ,由對應(yīng)邊成比例得出關(guān)于 t與 m的方程 ,利用符合條 件的點 P恰有 2個 ,結(jié)合方程的解的情況求出結(jié)果 . 122282kk? ? ?方法指導(dǎo) 二次函數(shù)與相似三角形結(jié)合的解題方法 : (1)確定一組固定角 。 (2)直線 y=kxk+4=k(x1)+4所過定點 G的坐標為 (1,4),從而得出 BG=2,由 S△ BMN=S△ GBNS△ GBM=? BG 當△ PCD∽ △ POF時 ,? =? , ∴ ? =? ,∴ t=? (m+1)② . ? (i)當方程①有兩個相等的實數(shù)根時 , Δ=(1+m)28=0,∴ m=2? 1(舍負 ), 方程①有兩個相等的實數(shù)根 t1=t2=? , 此時 ,方程②有一個實數(shù)根 t=? . PCCDFO1 2mt??1t PO1 21t 1322223∴ m=2? 1,此時 ,點 P的坐標是 (0,? )和 ? . (ii)當方程①有兩個不相等的實數(shù)根時 , 把②代入①得 ,? (m+1)2? (m+1)2+2=0, 解得 m=2(舍負 ), 此時 ,方程①有兩個不相等的實數(shù)根 t1=1,t2=2, 方程②有一個實數(shù)根 t=1, ∴ m=2,此時 ,點 P的坐標是 (0,1)和 (0,2). 綜上 ,當 m=2? 1時 ,點 P的坐標是 (0,? )和 ? 。? 3, ∵ k0,∴ k=3. 1,2 ( 1 )1,bc? ??????? ??12 24,21y kx ky x x? ? ??? ? ? ? ?? 2282kk? ? ?22? ? ?2 8k ?解法二 :過點 B作 BR∥ MN,交 x軸于點 R,連接 MR,NR. 設(shè) MN交 x軸于點 Q,則 Q? . 直線 BR的解析式為 y=kxk+2,則 R的坐標為 ? . ∴ S△ BMN=S△ RMN=? RQ (3)如圖 2,將拋物線 L向上平移 m(m0)個單位長度得到拋物線 L1,拋物線 L1與 y軸交于點 C,過點 C 作 y軸的垂線交拋物線 L1于另一點 L1的對稱軸與 x軸的交點 ,P為線段 OC上一點 .若 △ PCD與△ POF相似 ,并且符合條件的點 P恰有 2個 ,求 m的值及相應(yīng)點 P的坐標 . ? 解析 (1)y=x2+2x+1.? 詳解 :由題意知 ? 解得 b=2,c=1,∴ 拋物線 L的解析式為 y=x2+2 x+1? (2)解法一 :直線 y=kxk+4經(jīng)過定點 G(1,4), 易知 B點坐標為 (1,2), ∴ BG=2. ∵ S△ BMN=1,S△ BMN=S△ GBNS△ GBM=? BG當 x=12時 ,w=80) 6.(2022湖北武漢 ,24,12分 )拋物線 L:y=x2+bx+c經(jīng)過點 A(0,1),與它的對稱軸直線 x=1交于點 B. (1)直接寫出拋物線 L的解析式 。當 x=10時 ,w=100。 當 11≤ x≤ 12且 x為整數(shù)時 ,w=10x+200, ∴ 當 x=11時 ,w有最大值 ,為 90. ∵ 90121144,∴ x=8時 ,w有最大值 ,為 144. (或當 1≤ x≤ 8且 x為整數(shù)時 ,w有最大值 144。 當 11≤ x≤ 12且 x為整數(shù)時 ,w=10(x+20)=10x+200, ∴ w與 x的關(guān)系式為 w=? ? 或 w=? ? (3)當 1≤ x≤ 8且 x為整數(shù)時 ,w=x2+16x+80=(x8)2+144, 20(1 10, ),10(11 12, ).x x xxx? ? ? ??? ???為 整 數(shù)為 整 數(shù)20(1 9, ),10(10 12, )x x x? ? ???? 為 整 數(shù)為 整 數(shù)221 6 8 0 (1 8, ),4 0 4 0 0 (9 1 0 , ),0 2 0 0 (1 1 1 2 , ).x x x xx x x xx x x?? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??為 整 數(shù)為 整 數(shù)為 整 數(shù)221 6 8 0 (1 8 , ),4 0 4 0 0 1 2 1( 9 ),1 0 2 0 0 (1 0 1 2 , )x x x xx x xx x x?? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??為 整 數(shù)為 整 數(shù)∴ 當 x=8時 ,w有最大值 ,為 144。 當 11≤ x≤ 12且 x為整數(shù)時 ,z=10. ∴ z與 x的關(guān)系式為 z=? ? 或 z=? ? (2)當 1≤ x≤ 8且 x為整數(shù)時 ,w=(x+20)(x+4)=x2+16x+80。 (2)若月利潤 w(萬元 )=當月銷售量 y(元件 )當月每件產(chǎn)品的利潤 z(元 ),求月利潤 w(萬元 )與月份 x (月 )的關(guān)系式 。 (2)當 x取何值時 ,第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤 W最大 ?最大總利潤是多少 ? 解析 (1)W1=(50+x)(1602x)=2x2+60x+8 000, W2=[100(50+x)]19=(50x)19=19x+950. (2)W=W1+W2=2x2+41x+8 950=2? +? . ∵ x取整數(shù) , ∴ 當 x=10時 ,總利潤 W最大 ,最大總利潤是 9 160元 . 2414???????73 2818思路分析 (1)根據(jù)題意分別列出 W1,W2關(guān)于 x的函數(shù)表達式 。每減少 1盆 ,盆景的平均每盆利潤增加 2元 。AD=x (2)二次函數(shù) y=? x2+bx+c的圖象與 x軸是否有公共點 ?若有 ,求公共點的坐標 。OCn=0,解得 n=4. 6.(2022湖北黃岡 ,22,8分 )已知直線 l:y=kx+1與拋物線 y=x24x. (1)求證 :直線 l與該拋物線總有兩個交點 。當 x=3時 ,y2=32+23+c=3+c。 ∵ 4ab=0,∴ b=4a,∴ at2+bt(4a2b)=at2+4at(4a24a)=at2+4at+4a=a(t2+4t+4)=a(t+2)2, ∵ t為實數(shù) ,a0,∴ a(t+2)2≤ 0,∴ at2+bt(4a2b)≤ 0, ∴ at2+bt≤ 4a2b,即 4a2b≥ at2+bt,∴ ④錯誤 。 ∵ 拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)的對稱軸為直線 x=2,與 x軸的一個交點在 (3,0)和 (4,0)之間 ,∴ 另一 個交點位于 (1,0)和 (0,0)之間 ,∴ 拋物線與 y軸的交點在原點的下方 ,∴ c②正確 。 ④ 4a2bat2+bt(t為實數(shù) )。② c0。拋物線與 x軸有兩個交點 ,則 b24ac0,即 ? 1,③正 確 . 24 acb6.(2022四川成都 ,10,3分 )在平面直角坐標系 xOy中 ,二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象如圖所示 ,下列 說法正確的是 ? ( ) ? 0,b24ac0 0,b24ac0 0,b24ac0 0,b24ac0 答案 B 因為拋物線的開口向上 ,所以 a0,又對稱軸在 y軸右側(cè) ,所以 ? 0,所以 b0,因為拋 物線與 y軸交于負半軸 ,所以 c0,所以 abc0。③ ? 1,其中錯誤的個數(shù)是 ? ( ) ? 24 acb答案 C 拋物線開口向上 ,故 a0,又對稱軸在 y軸右側(cè) ,故 b0,則 ab0,①錯誤 。當 x=1時 ,y取得最小值 ,此時 y= 3,選項 D正確 .故選 D. 思路分析 根據(jù)題中的函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì) ,可以判斷各個選項中的結(jié)論是否成 立 ,從而解答本題 . 解題關(guān)鍵 解答本題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)的性質(zhì) ,會用配方法求二次函數(shù)的最值 . 5.(2022湖北黃石 ,8,3分 )如圖是二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象 ,對下列結(jié)論 :① ab0。該函數(shù)圖象的對稱軸是 直線 x=1,選項 B錯誤 。 ②方程 ax2+bx+c=2有兩個不相等的實數(shù)根 。=3,即圖象沿 y軸向上平移了 3個單位 ,所以新圖象的函數(shù)表達式 為 y=? (x2)2+4. 15.(2022甘肅蘭州 ,8,4分 )二次函數(shù) y=x22x+4化為 y=a(xh)2+k的形式 ,下列正確的是 ? ( ) =(x1)2+2 =(x1)2+3 =(x2)2+2 =(x2)2+4 答案 B y=x22x+4=(x22x)+4=(x22x+11)+4=(x1)21+4=(x1)2+3,故選擇 B. 6.(2022新疆烏魯木齊 ,13,4分 )把拋物線 y=2x24x+3向左平移 1個單位長度 ,得到的拋物線的解析 式為 . 答案 y=2x2+1 解析 易知 y=2x24x+3=2(x1)2+1,則把原拋物線向左平移 1個單位長度后得到的拋物線的解析 式為 y=2x2+1. 考點二 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1.(2022陜西 ,10,3分 )對于拋物線 y=ax2+(2a1)x+a3,當 x=1時 ,y0,則這條拋物線的頂點一定在 ? ( ) 答案 C 當 x=1時 ,y=a+2a1+a30,解得 a1,又根據(jù)拋物線頂點坐標公式可得 ? =? 0, ? =? =? 0,所以這條拋物線的頂點一定在第三象限 ,故選 C. 2ba212a a?24 4ac ba?24 ( 3) (2 1)4a a aa? ? ?814aa??2.(2022湖北黃岡 ,6,3分 )當 a≤ x≤ a+1時 ,函數(shù) y=x22x+1的最小值為 1,則 a的值為 ? ( ) 2 2 答案 D y=x22x+1=(x1)2,當 a≥ 1時 ,函數(shù) y=x22x+1在 a≤ x≤ a+1內(nèi) ,y隨 x的增大而增大 ,其最 小值為 a22a+1,則 a22a+1=1,解得 a=2或 a=0(舍去 )。AA39。A39。A、 B39。A39。∥ BB39。=BB39。A39。B39。、 B39。落在 x軸上 ,點 B平移后的對應(yīng)點