【正文】 (2)若 AB∥ x軸 ,求拋物線的表達式 。 (2)若將拋物線 y=x2+bx+c向下平移 4個單位長度 ,點 P平移后對應的點為 OP=OQ,求點 Q 的坐標 . 解析 (1)依題意得 ? =1,∴ b=2, 由拋物線過點 B(0,1),得 c=1, ∴ 拋物線的表達式是 y=x2+2x1. (2)向下平移 4個單位長度得到拋物線 y=x2+2x5, 由 OP=OQ及平移的性質可知 ,P、 Q兩點橫坐標相同 ,縱坐標互為相反數(shù) . 令 x2+2x1+x2+2x5=0,得 x1=3,x2=1. 把 x1=3,x2=1分別代入 y=x2+2x5,得 y1=2,y2=2, ∴ 點 Q的坐標為 (3,2)或 (1,2). 2b3.(2022北京豐臺二模 ,26)在平面直角坐標系 xOy中 ,二次函數(shù) y=x22hx+h的圖象的頂點為點 D. (1)當 h=1時 ,求點 D的坐標 。 (3)當降價多少元時 ,每星期的利潤最大 ?最大利潤是多少 ? 小麗的解答過程如下 : 解 :(1)根據(jù)題意 ,可列出表達式 : y=(60x)(300+20x)40(300+20x), 即 y=20x2+100x+6 000. ∵ 降價要確保盈利 ,∴ 4060x≤ 0≤ x20. (2)上述表達式的圖象是拋物線的一部分 ,函數(shù)的大致圖象如圖 : ? (3)∵ a=200, ∴ 當 x=? = ,y有最大值 ,y最大值 =? =6 125. 所以 ,當降價 ,每星期的利潤最大 ,最大利潤為 6 125 元 . 老師看了小麗的解題過程 ,說小麗第 (1)問的表達式是正確的 ,但自變量 x的取值范圍不準確 .第 (2)(3)問的答案 ,也都存在問題 .請你就老師說的問題 ,進行探究 ,寫出你認為 (1)(2)(3)中正確的 答案 ,或說明錯誤原因 . 2ba244ac ba?解析 (1)自變量 x的取值范圍是 0≤ x20,且 x為整數(shù) . (2)函數(shù)圖象不能為實線 ,是圖象中 ,當 x=0,1,2,3,4,5,… ,19時 ,對應的 20個點 .如圖 : ? (3)若 x只取正整數(shù) ,則 x不能取 ,結果就不是 6 125元 , 顯然 ,只有當 x=2或 3時 ,y有最大值 ,y最大值 =6 120,即當降價 2元或 3元時 ,每星期的利潤最大 ,最大利 潤為 6 120元 . 2.(2022北京石景山二模 ,22)為了促進旅游業(yè)的發(fā)展 ,某市新建一座景觀橋 .橋的拱肋 ADB可視 為拋物線的一部分 ,橋面 AB可視為水平線段 ,橋面與拱肋用垂直于橋面的桿狀景觀燈連接 ,拱 肋的跨度 AB為 40米 ,橋拱的最大高度 CD為 16米 (不考慮燈桿和拱肋的粗細 ),求與 CD的距離為 5米的景觀燈桿 MN的高度 . ? 解析 建立如圖所示的坐標系 . ? 設拋物線的表達式為 y=ax2+16(a0), 由題意可知 ,B的坐標為 (20,0), ∴ 400a+16=0, ∴ a=? , ∴ y=? x2+16. 125125當 x=5時 ,y=15. 答 :與 CD的距離為 5米的景觀燈桿 MN的高度為 15米 . 思路分析 建立平面直角坐標系 ,將線段長轉化為點的坐標 ,借助二次函數(shù)的相關知識解決 . B組 2022— 2022年模擬 (2)當 1≤ m≤ 4時 ,n的取值范圍是 1≤ n≤ 4,求拋物線的解析式 . 解析 (1)n1=n2. 理由如下 : 由題意可得拋物線的對稱軸為直線 x=2. ∵ P1(1,n1),P2(3,n2)在拋物線 y=ax24ax+b(a≠ 0)上 ,且點 P1,P2到對稱軸的距離相等 ,∴ n1=n2. (2)當 a0時 , 拋物線的頂點為 (2,1),且過點 (4,4), ∴ 拋物線的解析式為 y=? x23x+4. 當 a0時 ,拋物線的頂點為 (2,4),且過點 (4,1), ∴ 拋物線的解析式為 y=? x2+3x+1. 綜上 ,拋物線的解析式為 y=? x23x+4或 y=? x2+3x+1. 343434 34考點二 二次函數(shù)的實際應用 1.(2022北京懷柔二模 ,26)某商品的進價為每件 40元 ,當售價為每件 60元時 ,每星期可賣出 300 件 ,現(xiàn)需降價處理 ,且經市場調查發(fā)現(xiàn) ,每降價 1元 ,每星期可多賣出 20件 ,在確保盈利的前提下 , 解答下列問題 : (1)若設每件降價 x(x為整數(shù) )元 ,每星期售出商品的利潤為 y元 ,請寫出 x與 y之間的函數(shù)關系式 ,并 求出自變量 x的取值范圍 。 ② 若拋物線與 x軸有兩個交點 ,將拋物線在 x軸下方的部分沿 x軸翻折 ,圖象的其余部分保持不 變 ,得到一個新的圖象 ,當 n=7時 ,直線 l與新的圖象恰好有三個公共點 ,求此時 m的值 。 (3)拋物線的對稱軸交直線 AB于點 C,如果直線 AB與 y軸交點的縱坐標為 1,且拋物線頂點 D到點 C的距離大于 2,求 m的取值范圍 . ? 解析 (1)∵ 拋物線 y=mx24mx+2m1=m(x2)22m1, ∴ 對稱軸為直線 x=2. (2)∵ 拋物線是軸對稱圖形 , ∴ 點 A與點 B關于直線 x=2對稱 , ∵ A(1,2),∴ B(5,2). (3)∵ 拋物線 y=mx24mx+2m1=m(x2)22m1, ∴ 頂點 D的坐標為 (2,2m1). ∵ 直線 AB與 y軸交點的縱坐標為 1, ∴ C(2,1). ∵ 頂點 D到點 C的距離大于 2, ∴ 2m1+12或 1+2m+12, ∴ m1或 m1. 10.(2022北京東城一模 ,27)二次函數(shù) y=(m+2)x22(m+2)xm+5,其中 m+20. (1)求該二次函數(shù)的對稱軸方程 。(2m1)0, ∴ m. (2)∵ m,∴ m可取的最大整數(shù)為 2. 當 m=2時 ,拋物線方程為 y=x24x+2m1=x24x+3. 令 y=0,得 x24x+3=0,解得 x1=1,x2=3. ∴ A(1,0),B(3,0). 9.(2022北京豐臺一模 ,27)在平面直角坐標系 xOy中 ,拋物線 y=mx24mx+2m1(m≠ 0)與平行于 x軸 的一條直線交于 A,B兩點 . (1)求拋物線的對稱軸 。④ ,只 有④是從左到右下降的直線 . 8.(2022北京豐臺二模 ,20)在平面直角坐標系 xOy中 ,已知拋物線 y=x24x+2m1與 x軸交于點 A,B (點 A在點 B的左側 ). (1)求 m的取值范圍 。② ,只有 ②的圖象是從左到右先下降后上升 。④ y=3x中 ,與眾不同的一個 是 (填序號 ),你的理由是 . 3x答案 ③ 。② y=x2+2x。2不動 ,而把 x軸、 y軸分別 向下、向左平移 2個單位 ,則在新坐標系下拋物線的表達式為 ? ( ) =2(x+2)22 =2(x+2)2+2 =2(x2)22 =2(x2)2+2 答案 D 若把 x軸、 y軸分別向下、向左平移 2個單位 ,則拋物線的頂點坐標變?yōu)?(2,2),則拋物 線的表達式為 y=2(x2)2+ D. 4.(2022北京大興一模 ,11)請寫出一個開口向下 ,并且對稱軸為直線 x=1的拋物線的表達式 . 答案 y=x2+2x1(答案不唯一 ) 解析 設拋物線的表達式為 y=ax2+bx+c,因為拋物線開口向下 ,所以 a0,因為對稱軸為直線 x=1, 所以 ? =1,即 b=2a,若 a=1,則 b=2,c可取任意值 ,不妨取 y=x2+ . 2ba5.(2022北京燕山一模 ,12)寫出經過點 (0,0),(2,0)的一個二次函數(shù)的解析式 (寫一個即可 ). 答案 y=x2+2x(答案不唯一 ) 解析 設拋物線的表達式為 y=ax2+bx+c,因為拋物線過點 (0,0),(2,0),所以 c=0,4a2b=0,當 a=1 時 ,b=2,不妨取 y=x2+ . 6.(2022北京東城一模 ,12)請你寫出一個二次函數(shù) ,其圖象滿足條件 :① 開口向上 。中 ,如果拋物線 y39。O39。(不需要寫出函數(shù)自變量的取值范圍 ) (3)預計在今后的銷售中 ,銷量與單價仍然存在 (2)中的關系 ,且該產品的成本是 20元 /件 .為使工 廠獲得最大利潤 ,該產品的單價應定為多少 ? 單價 (元 /件 ) 30 34 38 40 42 銷量 (件 ) 40 32 24 20 16 解析 (1)? =? =.? (2分 ) (2)設所求一次函數(shù)關系式為 y=kx+b(k≠ 0), 將 (30,40)、 (40,20)代入 y=kx+b,得 ? 解得 ? ∴ y=2x+100.? (5分 ) (3)設利潤為 ω元 ,根據(jù)題意 ,得 ω=(x20)(2x+100)? (7分 ) =2x2+140x2 000 =2(x35)2+450,? (9分 ) 則當 x=35時 ,ω取最大值 . 即當該產品的單價為 35元 /件時 ,工廠獲得最大利潤 450元 .? (10分 ) x30 40 34 32 38 24 40 20 42 165? ? ? ? ? ? ? ? ?30 40,40 20,kbkb???? ??? 2,1 0 0 ,kb ???? ??考點一 二次函數(shù)的圖象與性質 三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 當 ≤ a≤ 5時 ,選擇產銷乙種產品 .? (10分 ) 16.(2022寧夏 ,25,10分 )某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價 ,將該產品按擬定的價格 進行試銷 ,通過對 5天的試銷情況進行統(tǒng)計 ,得到如下數(shù)據(jù) : (1)計算這 5天銷售額的平均數(shù) 。 (3)為獲得最大年利潤 ,該公司應該選擇產銷哪種產品 ?請說明理由 . 產品 每件售價 (萬元 ) 每件成本 (萬元 ) 每年其他費用 (萬元 ) 每年最大產銷量 (件 ) 甲 6 a 20 200 乙 20 10 40+ 80 解析 (1)y1=(6a)x20, y2=+10x40.? (2分 ) (2)∵ 3≤ a≤ 5,∴ 6a0,∴ y1隨 x的增大而增大 . ∵ x≤ 200, ∴ 當 x=200時 ,y1取得最大值 1 180200a.? (4分 ) ∵ y2=+10x40=(x100)2+460, 而 0,∴ 當 x100時 ,y2隨 x的增大而增大 .? (5分 ) ∵ x≤ 80,∴ 當 x=80時 ,y2取得最大值 440. 綜上 ,若產銷甲種產品 ,最大年利潤為 (1 180200a)萬元 ,若產銷乙種產品 ,最大年利潤為 440萬 元 .? (7分 ) (3)解法一 :設 w=1 180200a440=200a+740. ∵ 2000,∴ w隨 a的增大而減小 . 由 200a+740=0,解得 a=.? (9分 ) ∵ 3≤ a≤ 5, ∴ 當 3≤ a≤ ,選擇產銷甲種產品 。W=240最大 . ∴ m=1或 11.? (12分 ) 6006 x???????15.(2022湖北武漢 ,22,10分 )某公司計劃從甲、乙兩種產品中選擇一種生產并銷售 ,每年產銷 x 件 .已知產銷兩種產品的有關信息如下表 : 其中 a為常數(shù) ,且 3≤ a≤ 5. (1)若產銷甲、乙兩種產品的年利潤分別為 y1萬元、 y2萬元 ,直接寫出 y1,y2與 x的函數(shù)關系式 。,W39。=48(6m),m取最小 1,WW39。=24[(m+1)213(m+1)+47]=24(m211m+35). 若 W≥ W39。 (2)求 k,并推斷是否存在某個月既無盈利也不虧損 。 當售價為 70元時 ,獲得最大利潤 ,最大利潤為 1 800元 .? (12分 ) 50 100,60 ???? ??? 2, ???? ??13.(2022四川成都 ,26,8分 )隨著地鐵和共享單車的發(fā)展 ,“地鐵 +單車”已成為很多市民出行的 選擇 ,李華從文化宮站出發(fā) ,先乘坐地鐵 ,準備在離家較近的 A,B,C,D,E中的某一站出地鐵 ,再騎 共享單車回家 ,設他出地鐵的站點與文化宮距離為 x(單位 :千米 ),乘坐地鐵的時間 y1(單位 :分鐘 ) 是關于 x的一次函數(shù) ,其關系如下表 : 地鐵站 A B C D E x(千米 ) 8 9 10 13 y1(分鐘 ) 18 20 22 25 28 (1)求 y1關于 x的函數(shù)表達式 。 (3)試說明 (2)中總利潤 W隨售價 x的變化而變化的情況 ,并指出售價為多少元時獲得最大利潤 , 最大利潤是多少 ? 解析 (1)設 y=kx+b(k≠ 0). 由題意 ,得 ? 解得 ? ∴ 所求函數(shù)表達式為 y=2x+200.? (4分 ) (2)W=(x40)(2x+200)=2x2+280x8 000.? (