【正文】 CD=? AE, 5 55 22AC CE?12∴ S△ ABC=? AE, ∴ S△ ABC=? AB, 又 AB=AC,∴∠ BAE=∠ CAE, ∴ ? =?. DE︵CE︵? ②如圖 ,連接 CD,過點 D作 DF⊥ BC于 F, ∵ AB=AC=4? ,cos∠ ACB=? , ∴ EC=AC (2)綜合應用 :在你所作的圖中 , ①求證 :? =?。.? (9分 ) 在△ ADC和△ BEC中 , ∠ ADC=∠ BEC=90176。 (2)若 DE=3,BDAD=2,求☉ O的半徑 。.∴ AE∥ DC. ∴ 四邊形 AECD是平行四邊形 .? (5分 ) (2)過點 O作 OM⊥ EC,ON⊥ BC,垂足分別為 M、 N. ∵ 四邊形 AECD是平行四邊形 ,∴ AD=EC. 又 AD=BC,∴ EC=BC, ∴ OM=ON,∴ CO平分 ∠ BCE.? (10分 ) 思路分析 (1)根據(jù)“在同一個圓中同一段弧所對的圓周角相等”可推出 ∠ E=∠ B,再由 ∠ D= ∠ B,CE∥ AD可推出 AE∥ DC,問題得證 。 (2)連接 CO,求證 :CO平分 ∠ BCE. ? ???不 平 行證明 (1)∵∠ B=∠ D,∠ B=∠ E,∴∠ D=∠ E. ∵ CE∥ AD,∴∠ E+∠ DAE=180176。,由 AD=AC得 ∠ CDE=∠ ACD,根據(jù)等角的余角相等可得結(jié)論 。,由 DE是☉ A的直徑知 ∠ DCE=90176。,∴ 四邊形 FNCA是矩形 . ∴ FN=AC=? ,NC=AF=? ,∴ BN=? . 在 Rt△ FBN中 ,BF=? . ∴ 在 Rt△ FBM中 ,sin∠ ABF=? =? ? .? (10分 ) ? 32 5291032 32 12 102FMBF95010思路分析 (1)由 ∠ ACB=90176。, ∴ △ AFM∽ △ BAC,∴ ? =? . BDBC35 565 5FMACAFBA∵ DE=3,∴ AD=AF=AC=? ,∴ AB=? , ∴ FM=? . 過點 F作 FN⊥ BC于點 N,∴∠ FNC=90176。, ∴∠ BEC+∠ CDE=90176。,∴∠ BCD+∠ ACD=90176。,以點 A為圓心 ,AC長為半徑的圓 交 AB于點 D,BA的延長線交☉ A于點 E,連接 CE,CD,F是☉ A上一點 ,點 F與點 C位于 BE兩側(cè) ,且 ∠ FAB=∠ ABC,連接 BF. (1)求證 :∠ BCD=∠ BEC。. 3 22OB BD?12 1214.(2022寧夏 ,15,3分 )已知正△ ABC的邊長為 6,那么能夠完全覆蓋這個正△ ABC的最小圓面的 半徑是 . 答案 2? 3解析 根據(jù)題意知 ,這個最小圓是正△ ABC的外接圓 ,設其半徑為 r,則 r=? 6sin 60176。, ∴∠ BOC=120176。,又 OA= OB,由勾股定理知 OA2+OB2=AB2,得 OA=OB=2 cm,∴ ☉ O的半徑為 2 cm. 13.(2022江西 ,12,3分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,AO=2,BC=2? ,則 ∠ BAC的度數(shù)為 . ? 3答案 60176。,則☉ O的半徑為 cm. ? 2答案 2 解析 連接 AC、 AO、 OB,∵ AB⊥ CD,∴∠ ACB=2∠ BCD=45176。MN=? 42? =4? . 2212 1 2212.(2022江蘇南京 ,13,2分 )如圖 ,在☉ O中 ,CD是直徑 ,弦 AB⊥ CD,垂足為 E,連接 AB=2? cm,∠ BCD=22176。,∴∠ AOB=90176。. 11.(2022陜西 ,16,3分 )如圖 ,☉ O的半徑是 l與☉ O相交于 A、 B兩點 ,M、 N是☉ O上的兩個 動點 ,且在直線 l的異側(cè) .若 ∠ AMB=45176。.在四邊形 ADOE中 ,∠ DOE=360176?！?OEC)=360176。,所以 ∠ ADO+∠ AEO=(180176。,所以 ∠ B+∠ C=115176。,則 ∠ DOE= 176。=110176。, 所以 ∠ ADC=∠ B+∠ DOB=30176。100176。,所以 ∠ DOB=180176。 解析 在☉ O中 ,∠ BOC=2∠ A=250176。,∠ B=30176。,∴∠ A=130176。 解析 當 I在△ ABC的內(nèi)部時 ,如圖 1,∠ A=? ∠ BIC=50176。,則 ∠ A的度數(shù)為 . 答案 50176。,又點 D在圓上 ,∴∠ BDC=? ∠ BOC=29176。,所以 BD、 AC是△ ABF的兩條高 ,因 為三角形三條高相交于一點 ,所以 PF⊥ AB,故③④正確 ,故選 D. 6.(2022江蘇鎮(zhèn)江 ,16,3分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于半徑為 5的☉ O,圓心 O到弦 BC的距離等于 3,則 ∠ A 的正切值等于 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 35 45 34 43答案 D 連接 CO并延長交☉ O于點 D,則 CD為☉ O的直徑 ,連接 BD,作 OE⊥ BC交 BC于點 E, 依題意可得 BD=2OE=6, 又 CD=25=10, 所以 BC=? =8,所以 tan D=? =? =? . ? 又因為 ∠ A=∠ D, 所以 tan A=? ,故選 D. 22CD BD?BCBD8643437.(2022吉林 ,13,3分 )如圖 ,A,B,C,D是☉ O上的四個點 ,? =?. 若 ∠ AOB=58176。③ FP⊥ AB。,但不能得出 OE= C. ︵ ︵評析 本題考查了垂徑定理 ,屬容易題 . 5.(2022江蘇連云港 ,7,3分 )如圖 ,點 P在以 AB為直徑的半圓內(nèi) ,連接 AP、 BP,并延長分別交半圓 于點 C、 D,連接 AD、 BC,并延長交于點 F,作直線 ? ( ) ① AC垂直平分 BF。.故選 B. AD︵2.(2022湖北武漢 ,9,3分 )如圖 ,在等腰 Rt△ ABC中 ,AC=BC=2? ,點 P在以斜邊 AB為直徑的半圓 上 ,M為 PC的中點 .當點 P沿半圓從點 A運動至點 B時 ,點 M運動的路徑長是 ? ( ) ? A.? π ? 22 2答案 B 如圖 ,當點 P位于弧 AB的中點時 ,M為 AB的中點 .∵ AC=BC=2? ,∴ AB=4,CM=2,設 M1, M2分別為 AC,BC的中點 ,連接 M1M2,交 CP于點 O,則 M1M2=2,OM1=OM2=OC=OM=1,當點 P沿半圓 從點 A運動至點 B時 ,點 M運動的路徑是以點 O為圓心 ,1為半徑的半圓 .所以點 M運動的路徑長為 π,故選 B. ? 23.(2022河北 ,6,3分 )如圖 ,AC,BE是☉ O的直徑 ,弦 AD與 BE交于點 F,下列三角形中 ,外心 ? 點 O 的是 ? ( ) ? A.△ ABE B.△ ACF C.△ ABD D.△ ADE ??不 是答案 B 外心即為三角形外接圓的圓心 ,∵ △ ACF的頂點 F不在圓 O上 ,∴ 圓 O不是△ ACF的 外接圓 ,∴ 點 O不是△ ACF的外心 ,故選 B. 4.(2022甘肅蘭州 ,13,4分 )如圖 ,CD是☉ O的直徑 ,弦 AB⊥ CD于 E,連接 BC, 正確的是 ? ( ) ? =BE B.?=? =DE D.∠ DBC=90176。=35176。 答案 B 由三角形外角的性質(zhì)可得 ∠ C=∠ APD∠ A=77176。 176。,則 ∠ B的 大小是 ? ( ) ? 176。BG.? (8分 ) CB考點一 圓的有關(guān)概念與性質(zhì) C組 教師專用題組 1.(2022黑龍江哈爾濱 ,7,3分 )如圖 ,☉ O中 ,弦 AB、 CD相交于點 P,∠ A=42176。.? (6分 ) 又知 ∠ 3+∠ 4=90176。BG. ? 證明 (1)如圖 ,∵ EF∥ BC,AB⊥ BG, ? ∴ EF⊥ AD. 又 ∵ E是 AD的中點 , ∴ FA =FD. ∴∠ FAD=∠ D.? (2分 ) 又知 GB⊥ AB, ∴∠ GAB+∠ G=∠ D+∠ 1=90176。MN.? (7分 ) 6.(2022陜西 ,23,8分 )如圖 ,已知 :AB是☉ O的弦 ,過點 B作 BC⊥ AB交☉ O于點 C,過點 C作☉ O的切 線交 AB的延長線于點 D,取 AD的中點 E,過點 E作 EF∥ BC交 DC的延長線于點 F,連接 AF并延長 交 BC的延長線于點 G. 求證 :(1)FC=FG。. ∴∠ MEN=∠ MDE=90176。,即 ∠ OED=90176。.∴∠ DEM+∠ DME=90176。 (2)ME2=MDAF=xy,即 AD=? 。sin∠ AEF=10? =? , ∵ AF∥ OD,∴ ? =? =? =? ,∴ DG=? AD, ∵ AD=? =? =? , ∴ DG=? ? =? . OB5138r?5 AF551350AGAF51023AB AF?5018 13?3 0 1 313233 0 1 3133 0 1 323思路分析 (1)連接 OD,由 OD=OA,AD平分 ∠ BAC,易得 OD∥ AC,所以 OD⊥ BC,證得 BC為圓 O 的切線 。,又 ∠ C=90176。,∴ OD⊥ BC,∴ BC是☉ O的切線 . (2)連接 DF. 由 (1)可知 ,BC為☉ O的切線 . ∴∠ FDC=∠ DAF,∴∠ CDA=∠ CFD,∴∠ AFD=∠ ADB, 又 ∵∠ BAD=∠ DAF,∴ △ ABD∽ △ ADF,∴ ? =? ,∴ AD2=AB (3)若 BE=8,sin B=? ,求 DG的長 . ? 513解析 (1)如圖 ,連接 OD. ∵ AD為 ∠ BAC的平分線 ,∴∠ BAD=∠ CAD, ∵ OA=OD,∴∠ ODA=∠ OAD,∴∠ ODA=∠ CAD,∴ OD∥ AC. 又 ∵∠ C=90176。,AD平分 ∠ BAC交 BC于點 D,O為 AB上一 點 ,經(jīng)過點 A,D的☉ O分別交 AB,AC于點 E,F,連接 OF交 AD于點 G. (1)求證 :BC是☉ O的切線 。(2)根據(jù)圓周角定理可得 ∠ CND=∠ CMD=90176。. ∵∠ ACB=90176。,以斜邊 AB上的中線 CD為直徑作☉ O,分別 與 AC、 BC相交于點 M,N. (1)過點 N作☉ O的切線 NE與 AB相交于點 E,求證 :NE⊥ AB。=60176。90176。,∴ 在四邊 形 ADOE中 ,∠ DOE=360176。,∴∠ B=60176。(或 60).? (9分 ) 考點二 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 1.(2022江蘇南京 ,6,2分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=4,AD=5,AD、 AB、 BC分別與☉ O相切于 E、 F、 G三點 ,過點 D作☉ O的切線交 BC于點 M,切點為 N,則 DM的長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? ? ? 13392 43 135答案 A 在矩形 ABCD中 ,☉ O分別與邊 AD、 AB、 BC相切 ,又 DM為☉ O的切線 ,所以由切線 長定理得 AE=AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知 BG=2,DN=3,設 MN=MG=x,在 Rt△ DCM中 , DM2=MC2+DC2,即 (3+x)2=(3x)2+42,解得 x=? ,則 DM=3+? =? .故選 A. 43 431332.(2022安徽 ,12,5分 )如圖 ,菱形 ABOC的邊 AB,AC分別與☉ O相切于點 D, D是 AB的中點 , 則 ∠ DOE= 176。. 又 ∵∠ ADE+∠ MDE=180176。 ②連接 OD,OE,當 ∠ A的度數(shù)為 時 ,四邊形 ODME是菱形 . ? 解析 (1)證明 :在 Rt△ ABC中 ,∠ ABC=90176。,點 M是 AC的中點 ,以 AB為直徑作☉ O分別 交 AC,BM于點 D,E. (1)求證 :MD=ME。,即 ∠ BDE=20176。x)=2(90176。x. 又 ∵∠ AOD=2∠ ABD, ∴ 180176。(20176。=20176。2∠ OHD=180176。,AC=2, ∴∠ ADB=∠ ACB=60176。. 3AB312一題多解 (1)證明 :易證 DF∥ BC,從而 CD=BF,且 ? =? =1,∴ PB=PC. (2)連接 OD,設 ∠ BDE=x,則 ∠ EBD=90176。, ∴∠ CBD=∠ OAD=20176。(∠ ONH+∠ OHD)=40176。. 設 DE交 AC于 N.∵ BC∥ DE,∴∠ ONH=∠ ACB=60176。. 從而 BC=? AC=OD,∴ DH=OD. 在等腰三角形 DOH中 ,∠ DOH=∠ OHD=80176。,∴∠ ADC=∠ AGB,∴ BG∥ DC. 又由 (1)知 BC∥ DE,∴ 四邊形 DHBC為平行四邊形 ,∴ BC=DH=1. 在 Rt△ ABC中 ,AB=? ,tan∠ ACB=? =? , ∴∠ ACB=60176。, ∴∠ F=∠ PCB,∴∠ PBC=∠ PCB, ∴ PC=PB.