【正文】 ≥ 50時 ,矩形菜園 ABCD面積的最大值是 1 250平方米 。(y1y2) O為圓心 ,OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為 B,C,且△ ABC有一個 內(nèi)角為 60176。,故△ ABC為等邊三角形 . 設(shè)線段 BC與 y軸的交點為 D,則 BD=CD,且 ∠ OCD=30176。sin 30176。? +4=? =? +2, 即點 N39。 (ii)求△ QMN面積的最小值 . 12解析 (1)因為拋物線過點 M(1,0),所以 a+a+b=0,即 b=2a. 所以 y=ax2+ax+b=ax2+ax2a=a? ? , 所以拋物線頂點 Q的坐標(biāo)為 ? . (2)因為直線 y=2x+m經(jīng)過點 M(1,0), 所以 0=21+m,解得 m=2. 把 y=2x2代入 y=ax2+ax2a,得 ax2+(a2)x2a+2=0,① 所以 Δ=(a2)24a(2a+2)=9a212a+4, 由 (1)知 b=2a,又 ab,所以 a0,b0. 所以 Δ0,所以方程①有兩個不相等的實數(shù)根 , 故直線與拋物線有兩個交點 . (3)把 y=2x2代入 y=ax2+ax2a, 得 ax2+(a2)x2a+2=0,即 x2+? x2+? =0, 所以 ? =? ,解得 x1=1,x2=? 2, 212x???????94a19,24a????????21 a???????2a2112x a??????????????2132a??????? 2a所以點 N? . (i)根據(jù)勾股定理得 ,MN2=? +? =? ? +45=20? , 因為 1≤ a≤ ? , 由反比例函數(shù)的性質(zhì)知 2≤ ? ≤ 1,所以 ? ? 0, 所以 MN=2? ? =3? ? , 所以 5? ≤ MN≤ 7? . (ii)作直線 x=? 交直線 y=2x2于點 E. ? 把 x=? 代入 y=2x2得 ,y=3,即 E? . 242, 6aa????????22 21a??????????????24 6a???????220a 60a 2132a???????121a 1a 325 312 a???????5 25a5 51212 1 ,32????????又因為 M(1,0),N? ,且由 (2)知 a0, 所以△ QMN的面積 S=S△ QEN+S△ QEM=? ? ② 當(dāng) 0h1時 ,由反比例函數(shù)性質(zhì)可知 ? 1,∴ a0. 綜上所述 ,a的取值范圍是 a≤ ? 或 a0. 1h1h 12321h32評析 本題考查二次函數(shù)等知識 ,解題的關(guān)鍵是會用參數(shù)解決問題 ,題目比較難 ,參數(shù)比較多 , 第 (3)問要注意分類討論 ,屬于中考壓軸題 . 9.(2022南平 ,24,12分 )已知拋物線 y=ax2(a≠ 0)經(jīng)過點 A(4,4). (1)求拋物線的解析式 。當(dāng) a+1≤ 1,即 a≤ 0時 ,函數(shù) y=x22x+1在 a≤ x≤ a+1內(nèi) ,y隨 x的增大而減小 ,其最小值為 (a+1)22(a+1)+1=a2,則 a2=1,解得 a=1或 a=1(舍去 ).當(dāng) 0a 1時 ,函數(shù) y=x22x+1在 x=1處取得最小值 ,最小值為 0,不合題意 .綜上 ,a的值為 1或 2,故選 D. 2.(2022陜西 ,10,3分 )對于拋物線 y=ax2+(2a1)x+a3,當(dāng) x=1時 ,y0,則這條拋物線的頂點一定在 ? ( ) 答案 C 當(dāng) x=1時 ,y=a+2a1+a30,解得 a1,又根據(jù)拋物線頂點坐標(biāo)公式可得 ? =? 0, ? =? =? 0,所以這條拋物線的頂點一定在第三象限 ,故選 C. 2ba212a a?244ac ba?24 ( 3) (2 1)4a a aa? ? ?814aa??3.(2022河北 ,16,2分 )對于題目“一段拋物線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共 點 .若 c為整數(shù) ,確定所有 c的值 .”甲的結(jié)果是 c=1,乙的結(jié)果是 c=3或 4,則 ? ( ) 、乙的結(jié)果合在一起才正確 、乙的結(jié)果合在一起也不正確 答案 D 拋物線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)可以看作拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)沿 y軸向上平移 c 個單位形成的 ,一段拋物線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共點可以看作直線 l: y=x+2沿 y軸向下平移 c個單位形成的直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點 .當(dāng) 直線 y=x+2c(即 l2)經(jīng)過原點時 ,0+2c=0,c=2。④ ? 的最小值為 3. 其中 ,正確結(jié)論的個數(shù)為 ? ( ) abcba???答案 D ∵ ba0,∴ ? 0,∴ ① 正確 。② 3a+b0。∵ 當(dāng) x=1時 ,ab+c=0,∴ 3a+c=0,∴ c=3a,即 2≤ 3a≤ 3,亦即 1≤ a≤ ? 。 (2)① 試說明無論 a為何值 ,拋物線 C1一定經(jīng)過兩個定點 ,并求出這兩個定點的坐標(biāo) 。 ② 設(shè)動點 A的坐標(biāo)為 (a,b),將矩形 ABCD的周長 L表示為 a的函數(shù)并寫出自變量的取值范圍 ,判斷 周長是否存在最大值 ,如果存在 ,求出這個最大值 ,并求出此時點 A的坐標(biāo) 。每減少 1盆 ,盆景的平均每盆利潤增加 2元 。 (2)設(shè)商品每天的總利潤為 W(元 ),求 W與 x之間的函數(shù)表達式 (利潤 =收入 成本 )。(銷售額 =單價 銷量 ) (2)通過對上面表格中的數(shù)據(jù)進行分析 ,發(fā)現(xiàn)銷量 y(件 )與單價 x(元 /件 )之間存在一次函數(shù)關(guān)系 , 求 y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式 。| x1x2|=? 12? =? . 212 122 22.(2022吉林 ,26,10分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,拋物線 y=ax2+2ax3a(a0)與 x軸相交于 A,B兩 點 ,與 y軸相交于點 C,頂點為 D,直線 DC與 x軸相交于點 E. (1)當(dāng) a=1時 ,拋物線頂點 D的坐標(biāo)為 ,OE= 。,求 a的取值范圍 。時 ,在 Rt△ OCE中 ,OC=? OE. ∵ OE=3,OC=3a, 3∴ 3a=3? .? (7分 ) ∴ a=? . ∴ 當(dāng) 45176。(2)求出 C、 D點坐標(biāo) ,從而可求直線 CD的表 達式 ,令 y=0,即可判斷 。(4)如解析圖 ,由 P(m,n)及二次函數(shù)對稱軸為 x=1可知 PM=1n,PN=m,由 ∠ DPE=∠ PMD=90176。,求 k的值 . ? 52AFFB 34解析 (1)由題可得 ? 解得 ? ∴ 拋物線的函數(shù)表達式為 y=x25x+5. (2)作 AM⊥ x軸 ,BN⊥ x軸 ,垂足分別為 M,N, ? 設(shè)對稱軸與 x軸交于 Q點 ,則 ? =? =? . ∵ MQ=? ,∴ QN=2,∴ B? , ∴ ? 解得 ? 5 ,225,1,bacabc? ???? ??? ? ? ???1,5,5,abc??????? ??AFFB MN 3432 9 1 1,24??????1,9 1 1 ,24kmkm????? ????1 ,21 ,2km? ????? ???∴ 直線 l的解析式為 y=? x+? ,則 D? . 易知直線 BC的解析式為 y=? x+5. ∵ S△ BCD=S△ BCG, ∴ ① DG1∥ BC(G1在 BC下方 ),直線 DG1的解析式為 y=? x+? , ∴ ? x+? =x25x+5,即 2x29x+9=0,∴ x1=? ,x2=3, ∵ x? ,∴ x=3,∴ G1(3,1). ② G在 BC上方時 ,直線 G2G3與 DG1關(guān)于 BC對稱 . ∴ 直線 G2G3的解析式為 y=? x+? , ∴ ? x+? =x25x+5,∴ 2x29x9=0. ∴ x1=? ,x2=? , ∵ x? ,∴ x=? ,∴ G2? . 12 12 10,2??????1212 1212 12 325212 19212 1929 3 1 74? 9 3 174?529 3 1 74? 9 3 17 67 3 17,48????????綜上所述 ,點 G的坐標(biāo)為 (3,1)或 ? . (3)由題意可知 ,k+m=1. ∴ m=1k,∴ y=kx+1k,∴ kx+1k=x25x+5, 即 x2(k+5)x+k+4=0, ∴ x1=1,x2=k+4,∴ B(k+4,k2+3k+1). 取 AB的中點 O39。BN=PN (2)① 直接寫出 P,D兩點的坐標(biāo) (用含 t的代數(shù)式表示 ,結(jié)果需化簡 )。 (2)① 過點 P作 PG⊥ x軸于點 G,由 AO=3,BO=9,OC=3? ,得到 ∠ CAO=60176。 (3)假設(shè)存在點 F為 PD的中點 ,由中點的特征結(jié)合 P、 D兩點的坐標(biāo) ,用含 t的式子表示出點 F的 坐標(biāo) ,將其代入直線 BC建立方程 t26t+9=0,求得 t=3,從而得到 F的坐標(biāo) . 312 32方法規(guī)律 若點 P1,P2的坐標(biāo)分別為 (x1,y1),(x2,y2),且線段 P1P2的中點 M的坐標(biāo)為 (x,y),則 ? 此公式為線段 P1P2的中點坐標(biāo)公式 . 1212,2.2xxxyyy?? ???? ?? ???解后反思 以二次函數(shù)圖象為背景的動點與幾何圖形結(jié)合的存在性問題 ,問題解決一般分為 兩個環(huán)節(jié) :(1)確定動點的位置 ,在動點變化的過程中尋找可確定的因素 (即可確定的量、可確 定的位置 )是突破問題的關(guān)鍵 。 ② 點 P在直線 y=2x上 ,點 Q在拋物線上 ,當(dāng)以 O,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形時 ,求點 Q的 坐標(biāo) . ? 解析 ∵ 拋物線 y=x2+2x+n過點 M(1,0), ∴ 0=(1)2+2(1)+n,解得 n=3, ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+2x+3. (1)∵ y=x2+2x+3=(x1)2+4, ∴ 拋物線的頂點 C的坐標(biāo)為 (1,4). (2)① 存在 .聯(lián)立 ? 解得 ?? ∴ A(? ,2? ),B(? ,2? ), ∴ 點 B(? ,2? )關(guān)于對稱軸 x=1的對稱點為 B39。? , ∴ Q1(? ,22? ),Q2(? ,2+2? )。 (2)張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題 :已知定點拋物線 y=x2+2bx+c+1,求該拋物線頂點 縱坐標(biāo)的值最小時的解析式 .請你解答 . 解析 (1)不唯一 ,如 y=x22x+2. (2)∵ 定點拋物線的頂點坐標(biāo)為 (b,c+b2+1),且 1+2b+c+1=1, ∴ c=12b, ∴ 頂點縱坐標(biāo) c+b2+1=22b+b2=(b1)2+1, ∴ 當(dāng) b=1時 ,c+b2+1最小 ,拋物線頂點縱坐標(biāo)的值最小 ,此時 c=1, ∴ 拋物線的解析式為 y=x2+2x. 考點二 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.(2022四川成都 ,10,3分 )關(guān)于二次函數(shù) y=2x2+4x1,下列說法正確的是 ? ( ) y軸的交點坐標(biāo)為 (0,1) y軸的右側(cè) x0時 ,y的值隨 x值的增大而減小 3 答案 D 因為 y=2x2+4x1=2(x+1)23,所以 ,當(dāng) x=0時 ,y=1,選項 A錯誤 。② 拋物線與 y軸交點坐標(biāo)為 (0,1)。拋物線與 y軸的交點坐標(biāo)是 (0,2n1), 所以②錯誤 。ymin=4,∴ 選項 C錯誤 ,故選 D. 評析 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) ,難度適中 . 7.(2022陜西 ,10,3分 )已知拋物線 y=x22x+3與 x軸交于 A、 B兩點 ,將這條拋物線的頂點記為 C,連 接 AC、 BC,則 tan∠ CAB的值為 ? ( ) A.? B.? C.? 12 55 255答案 D 不妨設(shè)點 A在點 B左側(cè) , 如圖 ,作 CD⊥ AB交 AB于點 D,當(dāng) y=0時 ,x22x+3=0, 解得 x1=3,x2=1,所以 A(3,0),B(1,0), 所以 AB=4,因為 y=x22x+3=(x+1)2+4, 所以頂點 C(1,4),所以 AD=2,CD=4, 所以 tan∠ CAB=? =2,故選 D. ? CDAD評析 本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) ,求某個角的三角函數(shù)值 .屬于容易題 . 8.(2022甘肅蘭州 ,14,4分 )二次函數(shù) y=x2+x+c的圖象與 x軸有兩個交點 A(x1,0),B(x2,0),且 x1x2,點 P (m,n)是圖象上一點 ,