【正文】 ☉ O的切線交 BC于點(diǎn) M,切點(diǎn)為 N,則 DM的長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? ? ? 13392 43 135答案 A 在矩形 ABCD中 ,☉ O分別與邊 AD、 AB、 BC相切 ,又 DM為☉ O的切線 ,所以由切線 長定理得 AE=AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知 BG=2,DN=3,設(shè) MN=MG=x,在 Rt△ DCM中 ,DM2=MC2+DC2,即 (3+x)2=(3x)2+42,解得 x=? ,則 DM=3+? =? .故選 A. 4 43 35.(2022天津 ,7,3分 )如圖 ,AB是☉ O的弦 ,AC是☉ O的切線 ,A為切點(diǎn) ,BC經(jīng)過圓心 ,若 ∠ B=25176。 176?！?AOC =40176。,∠ CBA=70176。,∴∠ ODC=60176。=2? =? ,DQ=OD, ∴ PQ=DQ (2)如圖② ,過點(diǎn) D作☉ O的切線 ,與 AB的延長線交于點(diǎn) P,若 DP∥ AC,求 ∠ OCD的大小 . ? ︵解析 (1)∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ ACB=90176。38176。. (2)如圖 ,連接 OD. ? ∵ DP切☉ O于點(diǎn) D, ∴ OD⊥ DP,即 ∠ ODP=90176。. ∴∠ ACD=? ∠ AOD=64176。=26176。,∴∠ ODB=∠ ACD=90176。(2)連接 DE,由 AE是圓 O的直徑可推 ∠ ADE=90176。, ∴ OD⊥ AC.? (4分 ) 又 ∵ 點(diǎn) D在☉ O上 ,∴ AC是☉ O的切線 .? (5分 ) ? (2)過點(diǎn) O作 OF⊥ BC于點(diǎn) F, ∴ BF=EF,∠ OFC=90176。. ∵∠ ABD=∠ C=60176。 ② 當(dāng) ∠ D的度數(shù)為 時 ,四邊形 ECOG為正方形 . ? 解析 (1)證明 :連接 OC. ∵ CE是☉ O的切線 ,∴ OC⊥ CE. ∴∠ FCO+∠ ECF=90176。.(注 :若填為 30,不扣分 )(7分 ) ② 176。.連接 BD39。交 BC于點(diǎn) E,連接 OD,OB,OC,∵ D為 AB的中點(diǎn) ,∴ OD⊥ AB,∵ AB=4,∴ BD=? AB=2,∵ OB=? ,∴ OD=? = 1,∴ BD39。=90176。,∴∠ D39。=45176。39。,∵ OA=OB,∴ △ OAB是等邊三角形 ,∴ AB=5.∵ PB=AB=OA=OP,∴ OB ⊥ AP,∴ AP=2AB,則 ∠ ABC等于 ? ( ) ? 176。 答案 D 如圖 ,在優(yōu)弧 AC上任取一點(diǎn) D,連接 AD、 CD.∵∠ AOC=100176。50176。,所以 ∠ D=45176。, ∴∠ BOD=? ∠ BOC=60176。=? , OD=OBBC,弦 AD平分 ∠ CAB,所以 ∠ BAD=30176。,則 ∠ CAD = 176。40176。. ? AD︵CD︵ 19.(2022山東青島 ,11,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,C,D是☉ O上的兩點(diǎn) ,若 ∠ BCD=28176。, ∴∠ ACD=90176。. 10.(2022湖南長沙 ,16,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,弦 AB=6,圓心 O到 AB的距離 OC=2,則☉ O的半徑長為 . ? 答案 ? 13解析 由題意得 OC⊥ AB,∴ AC=BC=? AB=3,在 Rt△ OCA中 ,OA=? =? =? .∴ ☉ O的半徑長為 ? . 12 22OC AC?2223?13評析 本題考查了垂徑定理、勾股定理 ,屬容易題 . 11.(2022江蘇南京 ,13,2分 )如圖 ,扇形 AOB的圓心角為 122176。,∵ ∠ ACB+∠ D=180176。sin D=8 ? =2. 1413.(2022江西南昌 ,10,3分 )如圖 ,點(diǎn) A,B,C在☉ O上 ,CO的延長線交 AB于點(diǎn) D,∠ A=50176。=100176。=80176。. 評析 本題考查同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理的推論 ,屬容易題 . 14.(2022上海 ,17,4分 )在矩形 ABCD中 ,AB=5,BC=12,點(diǎn) A在☉ B上 .如果☉ D與☉ B相交 ,且點(diǎn) B在 ☉ D內(nèi) ,那么☉ D的半徑長可以等于 .(只需寫出一個符合要求的數(shù) ) 答案 14(大于 13且小于 18的數(shù) ) 解析 由題意可知☉ B的半徑長為 5,BD=13,由點(diǎn) B在☉ D內(nèi) ,得☉ D的半徑長 r☉ B與☉ D 相交 ,所以 8r18,所以 13r18,我們?nèi)〉臄?shù)字在這個范圍內(nèi)就可以了 . 評析 本題重點(diǎn)考查點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系 ,圓與圓之間的位置關(guān)系 ,題目雖小 ,但知識點(diǎn)眾 多 ,需要學(xué)生有較強(qiáng)的綜合應(yīng)用能力 ,屬于中等難度題 . 15.(2022湖北黃岡 ,14,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,弦 CD垂直于直徑 AB于點(diǎn) E,若 ∠ BAD=30176。,在 Rt△ ODE中 ,設(shè) OE=x,則 OD=2OE=2x,因?yàn)?OB=OD,所 以 2x=x+2,所以 x=2,所以 OE=2,OD=4,根據(jù)勾股定理得 ,DE=2? .因?yàn)?AB是直徑 ,AB⊥ CD,所以 根據(jù)垂徑定理可知 ,CD=2DE=4? . 3316.(2022江蘇揚(yáng)州 ,15,3分 )如圖 ,以△ ABC的邊 BC為直徑的☉ O分別交 AB、 AC于點(diǎn) D、 E,連接 OD、 OE,若 ∠ A=65176。,因?yàn)?BO=OD,CO=EO,所以 ∠ BDO=∠ B,∠ OEC=∠ C, 所以 ∠ BDO+∠ OEC=∠ B+∠ C=115176。 (∠ BDO+∠ OEC)=245176。 (2)若 AB=4,BC=2? ,求 CD的長 . ? 3解析 (1)證明 :∵ ED=EC, ∴∠ CDE=∠ C, 又 ∵ 四邊形 ABED是☉ O的內(nèi)接四邊形 , ∴∠ CDE=∠ B,∴∠ B=∠ C, ∴ AB=AC.? (4分 ) (2)連接 AE,則 AE⊥ BC, ? ∴ BE=EC=? BC, 在△ ABC與△ EDC中 ,∵∠ C=∠ C,∠ CDE=∠ B, ∴ △ ABC∽ △ EDC,? (6分 ) 12∴ ? =? ,得 DC=? =? , 由 AB=4,BC=2? ,得 DC=? =? .? (8分 ) ABDEBCBC DEAB?22BC3 2( 2 3 )24?32評析 本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) ,三角形相似的判定與性質(zhì) .屬中檔題 . 18.(2022安徽 ,20,10分 )在☉ O中 ,直徑 AB=6,BC是弦 ,∠ ABC=30176。tan 30176。=? . ∴ PQ長的最大值為 ? =? .? (10分 ) 3 22OQ OP?3 ( 3)?6322392??? ????33219.(2022遼寧沈陽 ,22,10分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的外接圓 ,AB為直徑 ,OD∥ BC交☉ O于點(diǎn) D,交 AC 于點(diǎn) E,連接 AD,BD,CD. (1)求證 :AD=CD。,則 ∠ BEC= 度 . ? BC︵答案 115 解析 如圖 ,連接 OC,AC, ? ∵ CD是☉ O的切線 ,∴∠ DCO=90176?！?1)=65176。=115176。,BC=3,AC=4,點(diǎn) P在以 C為圓心 ,5為半徑的圓 上 ,連接 PA , PB=4,則 PA的長為 . 答案 3或 ? 73解析 由題意可知點(diǎn) P是以 C為圓心 ,5為半徑的圓和以 B為圓心 ,4為半徑的圓的交點(diǎn) ,連接 BP1, CP1,因?yàn)?B? +BC2=C? ,所以 CB⊥ BP1,同理 ,CB⊥ BP2,所以 B,P1,P2三點(diǎn)共線 ,因?yàn)?AC⊥ BC,BC⊥ BP1,AC=BP1=4,所以四邊形 ACBP1是矩形 ,所以 AP1=3,在 Rt△ AP1P2中 ,由勾股定理得 AP2= ? =? . ? 21P 21 2283?731454.(2022浙江溫州 ,16,5分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AD=8,E是邊 AB上一點(diǎn) ,且 AE=? AB.☉ O經(jīng)過 點(diǎn) E,與邊 CD所在直線相切于點(diǎn) G(∠ GEB為銳角 ),與邊 AB所在直線相交于另一點(diǎn) F,且 EG∶ EF =? ∶ AD或 BC所在的直線與☉ O相切時 ,AB的長是 . 答案 4或 12 解析 如圖 ,連接 EO,連接 GO并延長 ,交 EF于 N點(diǎn) ,則 GN⊥ AB.∴ EN=NF. 又 ∵ EG∶ EF=? ∶ 2, ∴ EG∶ EN=? ∶ 1. 又 ∵ GN=AD=8, ∴ 設(shè) EN=x,則 GE=? x,根據(jù)勾股定理得 (? x)2x2=64,解得 x=4,∴ GE=4? . 設(shè)☉ O的半徑為 r,由 OE2=EN2+ON2得 r2=16+(8r)2, ∴ r=5. 設(shè) BC所在的直線與☉ O相切于 K點(diǎn) ,連接 OK. ∴ OK=NB=5,∴ EB=9. 又 AE=? AB, ∴ AB=12. 當(dāng) AD與☉ O相切時 ,同理可求出 AB=4. 5555 514評析 本題考查了切線的性質(zhì)以及勾股定理和垂徑定理的綜合應(yīng)用 ,解答本題的關(guān)鍵在于正 確添加輔助線 ,并進(jìn)行分類討論 ,利用勾股定理求出對應(yīng)圓的半徑 . 5.(2022湖北武漢 ,21,8分 )如圖 ,PA是☉ O的切線 ,A是切點(diǎn) ,AC是直徑 ,AB是弦 ,連接 PB、 PC,PC 交 AB于點(diǎn) E,且 PA =PB. (1)求證 :PB是☉ O的切線 。, ∴ PB是☉ O的切線 . (2)連接 BC,設(shè) OP交 AB于點(diǎn) F, ,A P B PO A O BO P O P?????? ??∵ AC是☉ O的直徑 ,∴∠ ABC=90176。 (2)若 BF=BC=2,求圖中陰影部分的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ ADB=90176。, ∴∠ CBD=∠ FBD,? (4分 ) 又 ∵ OE∥ BD, ∴∠ FBD=∠ OEB, ∵ OE=OB, ∴∠ OEB=∠ OBE,? (5分 ) ∴∠ CBD=∠ FBD=∠ OBE=? ∠ ABC=? 90176。,以斜邊 AB上的中線 CD為直徑作☉ O,分別 與 AC、 BC相交于點(diǎn) M,N. (1)過點(diǎn) N作☉ O的切線 NE與 AB相交于點(diǎn) E,求證 :NE⊥ AB。(2)根據(jù)圓周角定理可得 ∠ CND=∠ CMD=90176。. ∴∠ OBA+∠ EBD=∠ A+∠ AEC=90176。 (3)若△ APO的外心在扇形 COD的內(nèi)部 ,求 OC的取值范圍 . ? CD︵3QD︵解析 (1)證明 :連接 OQ.? (1分 ) ∵ AP,BQ分別與優(yōu)弧 ? 相切 , ∴ OP⊥ AP,OQ⊥ BQ,。后得到扇形 COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧 ? 于點(diǎn) P,Q,且點(diǎn) P,Q在 AB異側(cè) ,連接 OP. (1)求證 :AP=BQ。 (2)若 AB=12,BD=5,求☉ O的半徑 . ? 解析 (1)證明 :∵ BD是☉ O的切線 ,∴∠ OBD=90176。. ∵∠ ACB=90176。.? (6分 ) 13 13∴∠ C=60176。,? (1分 ) 又 ∵∠ A=∠ DEB,∠ DEB=∠ DBC, ∴∠ A=∠ DBC,? (2分 ) ∴∠ DBC+∠ ABD=90176。PO, 即 (2t)2=PF, ∴ PB是☉ O的切線 . 證法二 :連接 OB. ∵ PA是☉ O的切線 ,∴∠ PAO=90176。,以點(diǎn) A為圓心 ,以 3 cm為半徑作☉ A, 當(dāng) AB= cm時 ,BC與☉ A相切 . 答案 6 解析 作 AD⊥ BC于點(diǎn) BC與☉ A相切時 ,AD=3 cm. 在 Rt△ ABD中 ,AD=3 cm,∠ B=30176。∠ 2=180176?！?D=50176。. 又 ∵ OD∥ BC,∴∠ AEO=∠ ACB=90176。sin∠ ABC=3 (2)如圖 2,當(dāng)點(diǎn) P在 BC上移動時 ,求 PQ長的最大值 . ? 解析 (1)∵ OP⊥ PQ,PQ∥ AB, ∴ OP⊥ AB. 在 Rt△ OPB中 , OP=OB∠ A(∠ ADO+∠ AEO)=50176。∠ BDO)+(180176。. ? 答案 50 解析 因?yàn)?∠ A=65176。,因?yàn)?∠ BOD是△ OAD的外角 ,所以 ∠ BOD =∠ ODA+∠ OAD=60176。+80176?！?BOC=180176。,則 ∠ ADC的度數(shù)為 . ? 答案 110176。. ? 12.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,18,3分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的外接圓 ,AD是☉ O的直徑 ,若☉ O的半徑是 4, sin B=? ,則線段 AC的長為 . ? 14答案 2 解析 連接 CD,在☉ O中 ,因?yàn)?AD為直徑 ,所以 ∠ ACD=90176。. ? AB︵答案 119 解析 如圖 ,在扇形 AOB所在圓優(yōu)弧 AB上取一點(diǎn) D,連接 DA,DB.∵∠ AOB=122176。=62176。. ? 答案 62 解析 ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。.∵ ? =? ,∴∠ ABD=∠ CBD=? ∠ ABC=25176。,∴∠ ABC=90176。,所以 AB=? =? =4? .在 Rt△ ABC中 ,AC=