【正文】 示 .? (4分 ) ? (2)連接 OE交 BC于 M,連接 OC. 因?yàn)?∠ BAE=∠ CAE,所以 ? =?, 易得 OE⊥ BC,所以 EM=3. Rt△ OMC中 ,OM=OEEM=53=2,OC=5, 所以 MC2=OC2OM2=254=21. Rt△ EMC中 ,CE2=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦 CE的長為 ? .? (10分 ) BE︵EC︵30思路分析 對于 (2),連接 OE交 BC于點(diǎn) M,再連接 OC,由 ∠ BAE=∠ CAE可得 ? =?, 可推出 OE ⊥ BC,最后利用勾股定理求出 CE. BE︵EC︵12.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AD=BC,∠ B=∠ D,AD? 于 BC,過點(diǎn) C作 CE∥ AD交△ ABC的外接圓 O于點(diǎn) E,連接 AE. (1)求證 :四邊形 AECD為平行四邊形 。,則 ∠ A的度數(shù)為 . 答案 50176。,∴∠ ADB=180176。=2? ,∴ BC=2BD=4? ,故選 B. 180 2 BOC???3 34.(2022廣西南寧 ,9,3分 )如圖 ,點(diǎn) A,B,C,P在☉ O上 ,CD⊥ OA,CE⊥ OB,垂足分別為 D,E,∠ DCE=40176。,作 CD∥ AB,并與☉ O 相交于點(diǎn) D,連接 BD,則 ∠ DBC的大小為 ? ( ) ? 176。, ∴ FB⊥ DB, 又 ∵ AC⊥ BD, ∴ BF∥ AC,∠ BDC+∠ ACD=90176。PQ=PB時 ,判斷直線 EF與☉ O的位 置關(guān)系 ,并說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ CA平分 ∠ DCB, ∴∠ ACD=∠ ACB. ∴ ?=?, ∴ AD=AB. ∵ BE=AD,∴ AB=BE. ∵∠ ADC=90176。,∠ CDO=70176。x, 易證四邊形 BCDH為平行四邊形 , ∴ BC=DH=1,∵ AB=? ,∴∠ CAB=30176。. 又 ∵ DE⊥ AB,∴∠ DEA=90176。2, 把 y=177。 176?？傻? ∠ BAC=40176。 及 ∠ ACB=50176。 176。 當(dāng)☉ P與 x軸相切于點(diǎn) D時 ,得 y=177。,求 ∠ BDE的大小 . ? 圖 1 圖 2 3解析 (1)證明 :∵ AC是☉ O的直徑 ,∴∠ ABC=90176。. 3AB312一題多解 (1)證明 :易證 DF∥ BC,從而 CD=BF,且 ? =? =1,∴ PB=PC. (2)連接 OD,設(shè) ∠ BDE=x,則 ∠ EBD=90176。 (2)若 AD=2,AC=? ,求 AB的長 . 解析 (1)相切 .理由如下 : 連接 OC,∵ C為 ? 的中點(diǎn) , ∴∠ 1=∠ 2, ∵ OA=OC, ∴∠ 1=∠ ACO, ∴∠ 2=∠ ACO, ∴ AD∥ OC, ∵ CD⊥ AD, ∴ OC⊥ CD, ∴ 直線 CD與☉ O相切 . (2)∵∠ 1=∠ 2,∠ ADC=∠ ACB, ∴ △ ADC∽ △ ACB, ∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ AB=3. BE︵AC26616.(2022廈門 ,26,11分 )已知 AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) C在☉ O上 ,點(diǎn) D在半徑 OA上 (不與點(diǎn) O,A重合 ). (1)如圖 1,若 ∠ COA=60176。,當(dāng) ∠ ACE≥ 30176。,即 BC⊥ AC,∴ OQ⊥ AC. (3)∵ PC, ∴ 四邊形 ABCD是矩形 , ∵ AD=CD, ∴ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AC⊥ BD. (2)連接 DO,并延長交圓 O于 F,連接 CF、 BF. ∵ DF是直徑 , ∴∠ DCF=∠ DBF=90176。② 利用等腰三角形及平行線的性質(zhì) ,可求 得 ∠ ODC的度數(shù) . 點(diǎn)評 本題考查了切線性質(zhì) ,全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等 ,正確作出 輔助線是解題的關(guān)鍵 . B組 2022— 2022年全國中考題組 考點(diǎn)一 圓的有關(guān)概念及性質(zhì) 1.(2022陜西 ,9,3分 )如圖 ,△ ABC是☉ O的內(nèi)接三角形 ,AB=AC,∠ BCA=65176。, ∴ BD=OBcos 30176。,∠ ACD=50176。. 評析 本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) ,圓周角定理 ,連接 OB,OD,利用圓周角定理是關(guān)鍵 ,屬容 易題 . 8.(2022新疆烏魯木齊 ,13,4分 )設(shè) I為△ ABC的外心 ,若 ∠ BIC=100176。MN=? 2? 4=4? . 2212 1 2211.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,☉ O為銳角△ ABC的外接圓 ,半徑為 5. (1)用尺規(guī)作圖作出 ∠ BAC的平分線 ,并標(biāo)出它與劣弧 ? 的交點(diǎn) E(保留作圖痕跡 ,不寫作法 )?！?B=50176。,∴∠ ADC=110176。, ∴∠ ABC=90176。 (2)若 AC=2CD,設(shè)☉ O的半徑為 r,求 BD的長度 . ? 解析 (1)證明 :連接 OD,∵ AG是 ∠ HAF的平分線 ,∴∠ CAD=∠ BAD, ∵ OA=OD,∴∠ OAD=∠ ODA,∴∠ CAD=∠ ODA,∴ OD∥ AC, ∵∠ ACD=90176。 (2)連接 AF并延長 ,交☉ O于點(diǎn) : ① 當(dāng) ∠ D的度數(shù)為 時 ,四邊形 ECFG為菱形 。關(guān)于直線 BC對稱 .∵∠ ABD39。,∴∠ AOB=60176。,則 ? 的長是 ? ( ) ? C.? D.? AC︵2? 3?答案 B 因?yàn)樗倪呅?ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,∠ B=135176。,因?yàn)?∠ CAB=60176。.∵∠ BCD=28176。 解析 在☉ O中 ,∠ BOC=2∠ A=250176。,所以 ∠ B+∠ C=115176。sin 30176。,∴ AB=? =6 cm. ∴ 當(dāng) AB=6 cm時 ,BC與☉ A相切 . sin 3 0AD?3.(2022浙江紹興 ,14,5分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。, ∴ AB=? BC=2? , ∴ ☉ O的半徑為 ? .? (7分 ) 如圖 ,連接 OD, ? ∴ 陰影部分面積為 S扇形 OBDS△ OBD=? π(? )2? ? (? )2=? ? .? (8分 ) 33316 312 323?3347.(2022陜西 ,23,8分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。 (2)當(dāng) BQ=4? 時 ,求優(yōu)弧 ? 的長 (結(jié)果保留 π)。, ∴ BC是☉ O的切線 .? (3分 ) (2)∵ BF=BC=2且 ∠ ADB=90176。65176。tan∠ ABC=3,所以 ∠ ODE=30176。,因?yàn)?∠ B=∠ D,所以 AC=AD,∴∠ CAD=∠ CBD=25176。=? , ∴ BC=2BD=? , ∴ △ BOC的面積 =? ,∴∠ ABC=180176。=? ,根據(jù)勾股定理得 CE=? =2? ,所以 BC=BE+CE=3? ,故選 B. ? 1 5 22OB BD?2102 39。,DD39。 (2)連接 OE,若 DE=2,求 OE的長 . ? DA︵DC︵解析 (1)證明 :∵ AB是☉ O的直徑 ,BM是☉ O的切線 , ∴ AB⊥ BM. ∵ CD∥ BM,∴ AB⊥ CD. ∴ ? =?. ∵ ? =?, ∴ ? =?=?. ∴ AD=AC=DC. ∴ △ ACD是等邊三角形 . (2)連接 BD,如圖 . ? ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ADB=90176。38176。. (1)如圖① ,若 D為 ? 的中點(diǎn) ,求 ∠ ABC和 ∠ ABD的大小 。 (2)連接 AD,BC,若 ∠ DAB=50176。 176。. 12 1212 12評析 本題考查同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系 . 10.(2022陜西 ,16,3分 )如圖 ,☉ O的半徑是 l與☉ O相交于 A、 B兩點(diǎn) ,M、 N是☉ O上的兩個 動點(diǎn) ,且在直線 l的異側(cè) .若 ∠ AMB=45176?！?DAB=50176。,∠ ACD=50176。=15176。, ∴∠ ODC=36176。, ∴ ? 的長為 ? =2π. AC︵120 3180???21.(2022廈門 ,29,10分 )已知 A,B,C,D是☉ O上的四個點(diǎn) . (1)如圖 1,若 ∠ ADC=∠ BCD=90176。cos∠ BOE=? . CE=OCOE=5? =? , 在 Rt△ BEO中 ,根據(jù)勾股定理得 BE=? =? =? , 在 Rt△ CEB中 ,根據(jù)勾股定理得 BC=? =? =4. ∵ OB2+BC2=32+42=25=OC2, ∴∠ OBC=90176。, ∴ △ OQB為等腰直角三角形 , ∴ OQ=QB=1, 在 Rt△ OQB中 ,OB=? =? . ∵ OC=OB=? , ∴ CQ=OC+OQ=? +1, 在 Rt△ CGQ中 ,CG=? =? . AC︵GH︵AF︵FG︵ ︵ ︵HB︵AG︵GB︵11?222 2( 2 1) 1??4 2?17.(2022廈門 ,27,12分 )已知四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,∠ ADC=90176。x)=2(90176。(∠ ONH+∠ OHD)=40176。,則弦 BC= . 答案 6? 2解析 連接 OB,OC, ∵∠ BAC=45176。,故選 D. AB︵AC︵128.(2022漳州 ,9,4分 )已知☉ P的半徑為 2,圓心在函數(shù) y=? 的圖象上運(yùn)動 ,當(dāng)☉ P與坐標(biāo)軸相切于 點(diǎn) D時 ,符合條件的點(diǎn) D的個數(shù)為 ? ( ) 8x答案 D 根據(jù)題意可知 ,當(dāng)☉ P與 y軸相切于點(diǎn) D時 ,得 x=177。 答案 B ∵ AB是☉ O的切線 ,切點(diǎn)為 B,∴ OB⊥ AB, ∴∠ ABO=90176。 176。,∴∠ BAD+∠ B=90176。,則 ∠ ADC的度數(shù)是 ? ( ) 176。. ? 答案 50 解析 ∵ 四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,∴∠ A+∠ BCD=180176。, ? 又 ∵ BG⊥ AD,∴∠ AGB=90176。280176。. ∵∠ CDO=∠ CAO+∠ ACD=70176。,∠ ACD=∠ ACB,∠ ACE≥ 30176。 (3)利用割線定理來求 PQ的長度 . 20.(2022寧德 ,23,10分 )如圖 ,已知 AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) C,D在☉ O上 ,點(diǎn) E在☉ O外 ,∠ EAC=∠ B. (1)求證 :直線 AE是☉ O的切線 。,則 BF∥ AC,從而得 CF=AB,根據(jù)勾股定理即可求解 . 22.(2022三明 ,23,10分 )已知 AB是半圓 O的直徑 ,點(diǎn) C是半圓 O上的動點(diǎn) ,點(diǎn) D是線段 AB延長線上 的動點(diǎn) ,在運(yùn)動過程中保持 CD=OA. (1)當(dāng)直線 CD與半圓 O相切時 (如圖 1),求 ∠ ODC的度數(shù) 。 答案 A ∵ AB=AC,∠ BCA=65176。 176。=70176。,∴∠ A=130176。(2)作 OM⊥ CE,ON⊥ BC,垂足分別為 M、 N,由已知及 (1) 得出 CE=BC,再根據(jù)“同一個圓內(nèi)等弦對應(yīng)的弦心距相等”可得 OM=ON,從而由角平分線的 判定定理可得結(jié)論 . 解題關(guān)鍵 抓住“在同一個圓中同一段弧所對的圓周角相等及同圓內(nèi)等弦對應(yīng)的弦心距相 等”是解決本題的關(guān)鍵 . 考點(diǎn)二 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 1.(2022重慶 ,9,4分 )如圖 ,已知 AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) P在 BA的延長線上 ,PD與☉ O相切于點(diǎn) D,過點(diǎn) B作 PD的垂線交 PD的延長線于點(diǎn) ☉ O的半徑為 4,BC=6,則 PA的長為 ? ( ) ? ? 3答案 A 連接 DO,∵ PD與☉ O相切于點(diǎn) D,∴∠ PDO=90176。 176。=2? =? ,DQ=OD. (2)如圖 ,連接 OD. ? ∵ DP切☉ O于點(diǎn) D, ∴ OD⊥ DP,即 ∠ ODP=90176。(2)連接 DE,由 AE是圓 O的直徑可推 ∠ ADE=90176。.(注 :若填為 30,不扣分 )(7分 ) ② 176。,∴∠ D39。,則 ∠ ABC等于 ? ( ) ? 176。, ∴∠ BOD=? ∠ BOC=60176。,則 ∠ CAD = 176。. 10.(2022湖南長沙 ,16,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,弦 AB=6,圓心 O到 AB的距離 OC=2,則☉ O的半徑長為 . ? 答案 ? 13解析 由題意得 OC⊥ AB,∴ AC=BC=? AB=3,在 Rt△ OCA中 ,OA=? =? =? .∴ ☉ O的半徑長為 ? . 12 22OC AC?2223?13評析 本題考查了垂徑定理、勾股定理 ,屬容易題 . 11.(2022江蘇南京 ,13,2分 )如圖 ,扇形 AOB的圓心角為 122176。=80176。 (∠ BDO+∠ OEC)=245176。,則 ∠ BEC= 度 . ? BC︵答案 115 解析 如圖 ,連接 OC,AC, ? ∵ CD是☉ O的切