【正文】 示 .? (4分 ) ? (2)連接 OE交 BC于 M,連接 OC. 因為 ∠ BAE=∠ CAE,所以 ? =?, 易得 OE⊥ BC,所以 EM=3. Rt△ OMC中 ,OM=OEEM=53=2,OC=5, 所以 MC2=OC2OM2=254=21. Rt△ EMC中 ,CE2=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦 CE的長為 ? .? (10分 ) BE︵EC︵30思路分析 對于 (2),連接 OE交 BC于點 M,再連接 OC,由 ∠ BAE=∠ CAE可得 ? =?, 可推出 OE ⊥ BC,最后利用勾股定理求出 CE. BE︵EC︵12.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AD=BC,∠ B=∠ D,AD? 于 BC,過點 C作 CE∥ AD交△ ABC的外接圓 O于點 E,連接 AE. (1)求證 :四邊形 AECD為平行四邊形 。,則 ∠ A的度數(shù)為 . 答案 50176。,∴∠ ADB=180176。=2? ,∴ BC=2BD=4? ,故選 B. 180 2 BOC???3 34.(2022廣西南寧 ,9,3分 )如圖 ,點 A,B,C,P在☉ O上 ,CD⊥ OA,CE⊥ OB,垂足分別為 D,E,∠ DCE=40176。,作 CD∥ AB,并與☉ O 相交于點 D,連接 BD,則 ∠ DBC的大小為 ? ( ) ? 176。, ∴ FB⊥ DB, 又 ∵ AC⊥ BD, ∴ BF∥ AC,∠ BDC+∠ ACD=90176。PQ=PB時 ,判斷直線 EF與☉ O的位 置關系 ,并說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ CA平分 ∠ DCB, ∴∠ ACD=∠ ACB. ∴ ?=?, ∴ AD=AB. ∵ BE=AD,∴ AB=BE. ∵∠ ADC=90176。,∠ CDO=70176。x, 易證四邊形 BCDH為平行四邊形 , ∴ BC=DH=1,∵ AB=? ,∴∠ CAB=30176。. 又 ∵ DE⊥ AB,∴∠ DEA=90176。2, 把 y=177。 176?？傻? ∠ BAC=40176。 及 ∠ ACB=50176。 176。 當☉ P與 x軸相切于點 D時 ,得 y=177。,求 ∠ BDE的大小 . ? 圖 1 圖 2 3解析 (1)證明 :∵ AC是☉ O的直徑 ,∴∠ ABC=90176。. 3AB312一題多解 (1)證明 :易證 DF∥ BC,從而 CD=BF,且 ? =? =1,∴ PB=PC. (2)連接 OD,設 ∠ BDE=x,則 ∠ EBD=90176。 (2)若 AD=2,AC=? ,求 AB的長 . 解析 (1)相切 .理由如下 : 連接 OC,∵ C為 ? 的中點 , ∴∠ 1=∠ 2, ∵ OA=OC, ∴∠ 1=∠ ACO, ∴∠ 2=∠ ACO, ∴ AD∥ OC, ∵ CD⊥ AD, ∴ OC⊥ CD, ∴ 直線 CD與☉ O相切 . (2)∵∠ 1=∠ 2,∠ ADC=∠ ACB, ∴ △ ADC∽ △ ACB, ∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ AB=3. BE︵AC26616.(2022廈門 ,26,11分 )已知 AB是☉ O的直徑 ,點 C在☉ O上 ,點 D在半徑 OA上 (不與點 O,A重合 ). (1)如圖 1,若 ∠ COA=60176。,當 ∠ ACE≥ 30176。,即 BC⊥ AC,∴ OQ⊥ AC. (3)∵ PC, ∴ 四邊形 ABCD是矩形 , ∵ AD=CD, ∴ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AC⊥ BD. (2)連接 DO,并延長交圓 O于 F,連接 CF、 BF. ∵ DF是直徑 , ∴∠ DCF=∠ DBF=90176。② 利用等腰三角形及平行線的性質 ,可求 得 ∠ ODC的度數(shù) . 點評 本題考查了切線性質 ,全等三角形、等腰三角形的性質以及平行線的性質等 ,正確作出 輔助線是解題的關鍵 . B組 2022— 2022年全國中考題組 考點一 圓的有關概念及性質 1.(2022陜西 ,9,3分 )如圖 ,△ ABC是☉ O的內接三角形 ,AB=AC,∠ BCA=65176。, ∴ BD=OBcos 30176。,∠ ACD=50176。. 評析 本題考查圓內接四邊形的性質 ,圓周角定理 ,連接 OB,OD,利用圓周角定理是關鍵 ,屬容 易題 . 8.(2022新疆烏魯木齊 ,13,4分 )設 I為△ ABC的外心 ,若 ∠ BIC=100176。MN=? 2? 4=4? . 2212 1 2211.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,☉ O為銳角△ ABC的外接圓 ,半徑為 5. (1)用尺規(guī)作圖作出 ∠ BAC的平分線 ,并標出它與劣弧 ? 的交點 E(保留作圖痕跡 ,不寫作法 )?！?B=50176。,∴∠ ADC=110176。, ∴∠ ABC=90176。 (2)若 AC=2CD,設☉ O的半徑為 r,求 BD的長度 . ? 解析 (1)證明 :連接 OD,∵ AG是 ∠ HAF的平分線 ,∴∠ CAD=∠ BAD, ∵ OA=OD,∴∠ OAD=∠ ODA,∴∠ CAD=∠ ODA,∴ OD∥ AC, ∵∠ ACD=90176。 (2)連接 AF并延長 ,交☉ O于點 : ① 當 ∠ D的度數(shù)為 時 ,四邊形 ECFG為菱形 。關于直線 BC對稱 .∵∠ ABD39。,∴∠ AOB=60176。,則 ? 的長是 ? ( ) ? C.? D.? AC︵2? 3?答案 B 因為四邊形 ABCD是☉ O的內接四邊形 ,∠ B=135176。,因為 ∠ CAB=60176。.∵∠ BCD=28176。 解析 在☉ O中 ,∠ BOC=2∠ A=250176。,所以 ∠ B+∠ C=115176。sin 30176。,∴ AB=? =6 cm. ∴ 當 AB=6 cm時 ,BC與☉ A相切 . sin 3 0AD?3.(2022浙江紹興 ,14,5分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。, ∴ AB=? BC=2? , ∴ ☉ O的半徑為 ? .? (7分 ) 如圖 ,連接 OD, ? ∴ 陰影部分面積為 S扇形 OBDS△ OBD=? π(? )2? ? (? )2=? ? .? (8分 ) 33316 312 323?3347.(2022陜西 ,23,8分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。 (2)當 BQ=4? 時 ,求優(yōu)弧 ? 的長 (結果保留 π)。, ∴ BC是☉ O的切線 .? (3分 ) (2)∵ BF=BC=2且 ∠ ADB=90176。65176。tan∠ ABC=3,所以 ∠ ODE=30176。,因為 ∠ B=∠ D,所以 AC=AD,∴∠ CAD=∠ CBD=25176。=? , ∴ BC=2BD=? , ∴ △ BOC的面積 =? ,∴∠ ABC=180176。=? ,根據(jù)勾股定理得 CE=? =2? ,所以 BC=BE+CE=3? ,故選 B. ? 1 5 22OB BD?2102 39。,DD39。 (2)連接 OE,若 DE=2,求 OE的長 . ? DA︵DC︵解析 (1)證明 :∵ AB是☉ O的直徑 ,BM是☉ O的切線 , ∴ AB⊥ BM. ∵ CD∥ BM,∴ AB⊥ CD. ∴ ? =?. ∵ ? =?, ∴ ? =?=?. ∴ AD=AC=DC. ∴ △ ACD是等邊三角形 . (2)連接 BD,如圖 . ? ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ADB=90176。38176。. (1)如圖① ,若 D為 ? 的中點 ,求 ∠ ABC和 ∠ ABD的大小 。 (2)連接 AD,BC,若 ∠ DAB=50176。 176。. 12 1212 12評析 本題考查同弧所對的圓周角與圓心角的關系 . 10.(2022陜西 ,16,3分 )如圖 ,☉ O的半徑是 l與☉ O相交于 A、 B兩點 ,M、 N是☉ O上的兩個 動點 ,且在直線 l的異側 .若 ∠ AMB=45176?！?DAB=50176。,∠ ACD=50176。=15176。, ∴∠ ODC=36176。, ∴ ? 的長為 ? =2π. AC︵120 3180???21.(2022廈門 ,29,10分 )已知 A,B,C,D是☉ O上的四個點 . (1)如圖 1,若 ∠ ADC=∠ BCD=90176。cos∠ BOE=? . CE=OCOE=5? =? , 在 Rt△ BEO中 ,根據(jù)勾股定理得 BE=? =? =? , 在 Rt△ CEB中 ,根據(jù)勾股定理得 BC=? =? =4. ∵ OB2+BC2=32+42=25=OC2, ∴∠ OBC=90176。, ∴ △ OQB為等腰直角三角形 , ∴ OQ=QB=1, 在 Rt△ OQB中 ,OB=? =? . ∵ OC=OB=? , ∴ CQ=OC+OQ=? +1, 在 Rt△ CGQ中 ,CG=? =? . AC︵GH︵AF︵FG︵ ︵ ︵HB︵AG︵GB︵11?222 2( 2 1) 1??4 2?17.(2022廈門 ,27,12分 )已知四邊形 ABCD內接于☉ O,∠ ADC=90176。x)=2(90176。(∠ ONH+∠ OHD)=40176。,則弦 BC= . 答案 6? 2解析 連接 OB,OC, ∵∠ BAC=45176。,故選 D. AB︵AC︵128.(2022漳州 ,9,4分 )已知☉ P的半徑為 2,圓心在函數(shù) y=? 的圖象上運動 ,當☉ P與坐標軸相切于 點 D時 ,符合條件的點 D的個數(shù)為 ? ( ) 8x答案 D 根據(jù)題意可知 ,當☉ P與 y軸相切于點 D時 ,得 x=177。 答案 B ∵ AB是☉ O的切線 ,切點為 B,∴ OB⊥ AB, ∴∠ ABO=90176。 176。,∴∠ BAD+∠ B=90176。,則 ∠ ADC的度數(shù)是 ? ( ) 176。. ? 答案 50 解析 ∵ 四邊形 ABCD內接于☉ O,∴∠ A+∠ BCD=180176。, ? 又 ∵ BG⊥ AD,∴∠ AGB=90176。280176。. ∵∠ CDO=∠ CAO+∠ ACD=70176。,∠ ACD=∠ ACB,∠ ACE≥ 30176。 (3)利用割線定理來求 PQ的長度 . 20.(2022寧德 ,23,10分 )如圖 ,已知 AB是☉ O的直徑 ,點 C,D在☉ O上 ,點 E在☉ O外 ,∠ EAC=∠ B. (1)求證 :直線 AE是☉ O的切線 。,則 BF∥ AC,從而得 CF=AB,根據(jù)勾股定理即可求解 . 22.(2022三明 ,23,10分 )已知 AB是半圓 O的直徑 ,點 C是半圓 O上的動點 ,點 D是線段 AB延長線上 的動點 ,在運動過程中保持 CD=OA. (1)當直線 CD與半圓 O相切時 (如圖 1),求 ∠ ODC的度數(shù) 。 答案 A ∵ AB=AC,∠ BCA=65176。 176。=70176。,∴∠ A=130176。(2)作 OM⊥ CE,ON⊥ BC,垂足分別為 M、 N,由已知及 (1) 得出 CE=BC,再根據(jù)“同一個圓內等弦對應的弦心距相等”可得 OM=ON,從而由角平分線的 判定定理可得結論 . 解題關鍵 抓住“在同一個圓中同一段弧所對的圓周角相等及同圓內等弦對應的弦心距相 等”是解決本題的關鍵 . 考點二 與圓有關的位置關系 1.(2022重慶 ,9,4分 )如圖 ,已知 AB是☉ O的直徑 ,點 P在 BA的延長線上 ,PD與☉ O相切于點 D,過點 B作 PD的垂線交 PD的延長線于點 ☉ O的半徑為 4,BC=6,則 PA的長為 ? ( ) ? ? 3答案 A 連接 DO,∵ PD與☉ O相切于點 D,∴∠ PDO=90176。 176。=2? =? ,DQ=OD. (2)如圖 ,連接 OD. ? ∵ DP切☉ O于點 D, ∴ OD⊥ DP,即 ∠ ODP=90176。(2)連接 DE,由 AE是圓 O的直徑可推 ∠ ADE=90176。.(注 :若填為 30,不扣分 )(7分 ) ② 176。,∴∠ D39。,則 ∠ ABC等于 ? ( ) ? 176。, ∴∠ BOD=? ∠ BOC=60176。,則 ∠ CAD = 176。. 10.(2022湖南長沙 ,16,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,弦 AB=6,圓心 O到 AB的距離 OC=2,則☉ O的半徑長為 . ? 答案 ? 13解析 由題意得 OC⊥ AB,∴ AC=BC=? AB=3,在 Rt△ OCA中 ,OA=? =? =? .∴ ☉ O的半徑長為 ? . 12 22OC AC?2223?13評析 本題考查了垂徑定理、勾股定理 ,屬容易題 . 11.(2022江蘇南京 ,13,2分 )如圖 ,扇形 AOB的圓心角為 122176。=80176。 (∠ BDO+∠ OEC)=245176。,則 ∠ BEC= 度 . ? BC︵答案 115 解析 如圖 ,連接 OC,AC, ? ∵ CD是☉ O的切