【正文】 60176。 (∠ BDO+∠ OEC)=245176。.在四邊形 ADOE中 ,∠ DOE=360176?！?A(∠ ADO+∠ AEO)=50176。. 17.(2022寧夏 ,23,8分 )已知△ ABC,以 AB為直徑的☉ O分別交 AC于 D,BC于 E,連接 ED=EC. (1)求證 :AB=AC。 (2)若 AB=4,BC=2? ,求 CD的長(zhǎng) . ? 3解析 (1)證明 :∵ ED=EC, ∴∠ CDE=∠ C, 又 ∵ 四邊形 ABED是☉ O的內(nèi)接四邊形 , ∴∠ CDE=∠ B,∴∠ B=∠ C, ∴ AB=AC.? (4分 ) (2)連接 AE,則 AE⊥ BC, ? ∴ BE=EC=? BC, 在△ ABC與△ EDC中 ,∵∠ C=∠ C,∠ CDE=∠ B, ∴ △ ABC∽ △ EDC,? (6分 ) 12∴ ? =? ,得 DC=? =? , 由 AB=4,BC=2? ,得 DC=? =? .? (8分 ) ABDEBCBC DEAB?22BC3 2( 2 3 )24?32評(píng)析 本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) ,三角形相似的判定與性質(zhì) .屬中檔題 . 18.(2022安徽 ,20,10分 )在☉ O中 ,直徑 AB=6,BC是弦 ,∠ ABC=30176。,點(diǎn) P在 BC上 ,點(diǎn) Q在☉ O上 ,且 OP ⊥ PQ. (1)如圖 1,當(dāng) PQ∥ AB時(shí) ,求 PQ長(zhǎng) 。 (2)如圖 2,當(dāng)點(diǎn) P在 BC上移動(dòng)時(shí) ,求 PQ長(zhǎng)的最大值 . ? 解析 (1)∵ OP⊥ PQ,PQ∥ AB, ∴ OP⊥ AB. 在 Rt△ OPB中 , OP=OBtan∠ ABC=3tan 30176。=? .? (3分 ) 如圖 ,連接 OQ,在 Rt△ OPQ中 , ? PQ=? =? =? .? (5分 ) (2)∵ PQ2=OQ2OP2=9OP2, ∴ 當(dāng) OP最小時(shí) ,PQ最大 .此時(shí) ,OP⊥ BC.? (7分 ) OP=OBsin∠ ABC=3sin 30176。=? . ∴ PQ長(zhǎng)的最大值為 ? =? .? (10分 ) 3 22OQ OP?3 ( 3)?6322392??? ????33219.(2022遼寧沈陽(yáng) ,22,10分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的外接圓 ,AB為直徑 ,OD∥ BC交☉ O于點(diǎn) D,交 AC 于點(diǎn) E,連接 AD,BD,CD. (1)求證 :AD=CD。 (2)若 AB=10,cos∠ ABC=? ,求 tan∠ DBC的值 . ? 35解析 (1)證明 :∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。. 又 ∵ OD∥ BC,∴∠ AEO=∠ ACB=90176。. ∴ OD⊥ AC.∴ ? =?. ∴ AD=CD. (2)∵ AB=10, ∴ OA=OD=? AB=5. ∵ OD∥ BC,∴∠ AOE=∠ ABC. 在 Rt△ AEO中 , OE=OAcos∠ AOE=OAcos∠ ABC=5? =3. ∴ DE=ODOE=53=2. 由勾股定理得 ,AE=? =? =4. 在 Rt△ AED中 ,tan∠ DAE=? =? =? . 又 ∵∠ DBC=∠ DAE,∴ tan∠ DBC=? . ︵ ︵12 35 22AO OE?2253?DEAE241212評(píng)析 本題綜合考查了圓的知識(shí) ,解直角三角形 ,屬中等難度題 . 考點(diǎn)二 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 1.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,17,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) C在☉ O上 ,過(guò)點(diǎn) C的切線與 BA的延長(zhǎng)線交 于點(diǎn) D,點(diǎn) E在 ? 上 (不與點(diǎn) B,C重合 ),連接 BE, ∠ D=40176。,則 ∠ BEC= 度 . ? BC︵答案 115 解析 如圖 ,連接 OC,AC, ? ∵ CD是☉ O的切線 ,∴∠ DCO=90176。, ∴∠ 1=90176?！?D=50176。. ∵ OA=OC,∴∠ 2=? (180176?！?1)=65176。. ∴∠ BEC=180176?！?2=180176。65176。=115176。. 122.(2022遼寧沈陽(yáng) ,11,4分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ B=30176。,以點(diǎn) A為圓心 ,以 3 cm為半徑作☉ A, 當(dāng) AB= cm時(shí) ,BC與☉ A相切 . 答案 6 解析 作 AD⊥ BC于點(diǎn) BC與☉ A相切時(shí) ,AD=3 cm. 在 Rt△ ABD中 ,AD=3 cm,∠ B=30176。,∴ AB=? =6 cm. ∴ 當(dāng) AB=6 cm時(shí) ,BC與☉ A相切 . sin 3 0AD?3.(2022浙江紹興 ,14,5分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,BC=3,AC=4,點(diǎn) P在以 C為圓心 ,5為半徑的圓 上 ,連接 PA , PB=4,則 PA的長(zhǎng)為 . 答案 3或 ? 73解析 由題意可知點(diǎn) P是以 C為圓心 ,5為半徑的圓和以 B為圓心 ,4為半徑的圓的交點(diǎn) ,連接 BP1, CP1,因?yàn)?B? +BC2=C? ,所以 CB⊥ BP1,同理 ,CB⊥ BP2,所以 B,P1,P2三點(diǎn)共線 ,因?yàn)?AC⊥ BC,BC⊥ BP1,AC=BP1=4,所以四邊形 ACBP1是矩形 ,所以 AP1=3,在 Rt△ AP1P2中 ,由勾股定理得 AP2= ? =? . ? 21P 21 2283?731454.(2022浙江溫州 ,16,5分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AD=8,E是邊 AB上一點(diǎn) ,且 AE=? AB.☉ O經(jīng)過(guò) 點(diǎn) E,與邊 CD所在直線相切于點(diǎn) G(∠ GEB為銳角 ),與邊 AB所在直線相交于另一點(diǎn) F,且 EG∶ EF =? ∶ AD或 BC所在的直線與☉ O相切時(shí) ,AB的長(zhǎng)是 . 答案 4或 12 解析 如圖 ,連接 EO,連接 GO并延長(zhǎng) ,交 EF于 N點(diǎn) ,則 GN⊥ AB.∴ EN=NF. 又 ∵ EG∶ EF=? ∶ 2, ∴ EG∶ EN=? ∶ 1. 又 ∵ GN=AD=8, ∴ 設(shè) EN=x,則 GE=? x,根據(jù)勾股定理得 (? x)2x2=64,解得 x=4,∴ GE=4? . 設(shè)☉ O的半徑為 r,由 OE2=EN2+ON2得 r2=16+(8r)2, ∴ r=5. 設(shè) BC所在的直線與☉ O相切于 K點(diǎn) ,連接 OK. ∴ OK=NB=5,∴ EB=9. 又 AE=? AB, ∴ AB=12. 當(dāng) AD與☉ O相切時(shí) ,同理可求出 AB=4. 5555 514評(píng)析 本題考查了切線的性質(zhì)以及勾股定理和垂徑定理的綜合應(yīng)用 ,解答本題的關(guān)鍵在于正 確添加輔助線 ,并進(jìn)行分類討論 ,利用勾股定理求出對(duì)應(yīng)圓的半徑 . 5.(2022湖北武漢 ,21,8分 )如圖 ,PA是☉ O的切線 ,A是切點(diǎn) ,AC是直徑 ,AB是弦 ,連接 PB、 PC,PC 交 AB于點(diǎn) E,且 PA =PB. (1)求證 :PB是☉ O的切線 。 (2)若 ∠ APC=3∠ BPC,求 ? 的值 . ? PECE解析 (1)證法一 :連接 OP,OB. 在△ OAP和△ OBP中 ,? ∴ △ OAP≌ △ OBP, ∴∠ OAP=∠ OBP, ∵ PA是☉ O的切線 ,∴∠ OBP=∠ OAP=90176。, ∴ PB是☉ O的切線 . 證法二 :連接 OB. ∵ PA是☉ O的切線 ,∴∠ PAO=90176。. ∵ OA=OB,PA =PB, ∴∠ OAB=∠ OBA,∠ PAB=∠ PBA. ∴∠ PBO=∠ PAO=90176。, ∴ PB是☉ O的切線 . (2)連接 BC,設(shè) OP交 AB于點(diǎn) F, ,A P B PO A O BO P O P?????? ??∵ AC是☉ O的直徑 ,∴∠ ABC=90176。. ∵ PA ,PB是☉ O的切線 , ∴ PO垂直平分 AB,PO平分 ∠ APB, ∴ BC∥ PO, ∴∠ OPC=∠ PCB. ∵∠ APC=3∠ BPC, ∴∠ OPC=∠ BPC,∴∠ PCB=∠ BPC, ∴ BC=BP. 設(shè) OF=t,則 BC=BP=2t, 由△ PBF∽ △ POB,得 PB2=PFPO, 即 (2t)2=PF( PF+t). 解得 PF=? t(取正值 ). ∵ △ PFE∽ △ CBE, ∴ ? =? =? . 1 1 72??PECEBC1 7 14 ?6.(2022黑龍江齊齊哈爾 ,20,8分 )如圖 ,以△ ABC的邊 AB為直徑畫☉ O,交 AC于點(diǎn) D,半徑 OE∥ BD,連接 BE,DE,BD,設(shè) BE交 AC于點(diǎn) F,若 ∠ DEB=∠ DBC. (1)求證 :BC是☉ O的切線 。 (2)若 BF=BC=2,求圖中陰影部分的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ ADB=90176。, ∴∠ A+∠ ABD=90176。,? (1分 ) 又 ∵∠ A=∠ DEB,∠ DEB=∠ DBC, ∴∠ A=∠ DBC,? (2分 ) ∴∠ DBC+∠ ABD=90176。, ∴ BC是☉ O的切線 .? (3分 ) (2)∵ BF=BC=2且 ∠ ADB=90176。, ∴∠ CBD=∠ FBD,? (4分 ) 又 ∵ OE∥ BD, ∴∠ FBD=∠ OEB, ∵ OE=OB, ∴∠ OEB=∠ OBE,? (5分 ) ∴∠ CBD=∠ FBD=∠ OBE=? ∠ ABC=? 90176。=30176。.? (6分 ) 13 13∴∠ C=60176。, ∴ AB=? BC=2? , ∴ ☉ O的半徑為 ? .? (7分 ) 如圖 ,連接 OD, ? ∴ 陰影部分面積為 S扇形 OBDS△ OBD=? π(? )2? ? (? )2=? ? .? (8分 ) 33316 312 323?3347.(2022陜西 ,23,8分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,以斜邊 AB上的中線 CD為直徑作☉ O,分別 與 AC、 BC相交于點(diǎn) M,N. (1)過(guò)點(diǎn) N作☉ O的切線 NE與 AB相交于點(diǎn) E,求證 :NE⊥ AB。 (2)連接 MD,求證 :MD=NB. ? 解析 (1)連接 ON,則 OC=ON. ∴∠ DCB=∠ ONC. ∵ 在 Rt△ ABC中 ,D為斜邊 AB的中點(diǎn) , ∴ CD=DB, ∴∠ DCB=∠ B, ∴∠ ONC=∠ B, ∴ ON∥ AB.? (2分 ) ∵ NE是☉ O的切線 , ∴ NE⊥ ON, ∴ NE⊥ AB.? (4分 ) (2)連接 ND,則 ∠ CND=∠ CMD=90176。. ∵∠ ACB=90176。, ∴ 四邊形 CMDN是矩形 ,? (6分 ) ∴ MD=CN. 由 (1)知 ,CD=BD, ∴ CN=NB, ∴ MD=NB.? (8分 ) ? 思路分析 (1)連接 ON,由 OC=ON可得 ∠ DCB=∠ ONC,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜 邊的一半得出 CD=DB,進(jìn)而得出 ∠ DCB=∠ B,再推出 ON∥ AB,然后根據(jù)切線的性質(zhì)得出 ON⊥ NE,最后得到結(jié)論 。(2)根據(jù)圓周角定理可得 ∠ CND=∠ CMD=90176。,進(jìn)而判斷四邊形 CMDN為矩 形 ,得出 MD=CN,然后根據(jù)等腰三角形三線合一推出 CN=NB,從而得到結(jié)論 . 解題技巧 針對(duì)含有切線的解答題 ,首先要想到的是作“輔助線” ,由此獲得更多能夠證明題 目要求的條件 .一般作“輔助線”的方法為“見切點(diǎn) ,連圓心” ,從而構(gòu)造直角 (垂直 ),然后利用 切線性質(zhì)及其他幾何知識(shí)進(jìn)行證明或計(jì)算 . 8.(2022北京 ,24,5分 )如圖 ,AB是☉ O的一條弦 ,E是 AB的中點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) E作 EC⊥ OA于點(diǎn) C,過(guò)點(diǎn) B作☉ O的切線交 CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D. (1)求證 :DB=DE。 (2)若 AB=12,BD=5,求☉ O的半徑 . ? 解析 (1)證明 :∵ BD是☉ O的切線 ,∴∠ OBD=90176。. ∵ CE⊥ OA,∴∠ ACE=90176。. ∴∠ OBA+∠ EBD=∠ A+∠ AEC=90176。. ∵ OA=OB,∴∠ A=∠ OBA, ∴∠ EBD=∠ AEC. 又 ∵∠ AEC=∠ BED,∴∠ BED=∠ EBD,∴ DB=DE. (2)如圖 ,連接 OE,則 OE⊥ AB,AE=BE=6. 過(guò)點(diǎn) D作 DM⊥ AB于點(diǎn) M, ∵ DE=DB,∴ BM=? BE=3, 在 Rt△ BMD中 ,由勾股定理得 ,DM=4. 易證 ∠ OBE=∠ BDM,又 ∠ BEO=∠ DMB, 12∴ Rt△ OBE∽ Rt△ BDM, ∴ ? =? , ∴ OB=? . BD1529.(2022河北 ,23,9分 )如圖 ,AB=16,O是 AB的中點(diǎn) ,點(diǎn) C在線段 OB上 (不與點(diǎn) O,B重合 ),將 OC繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 270176。后得到扇形 COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧 ? 于點(diǎn) P,Q,且點(diǎn) P,Q在 AB異側(cè) ,連接 OP. (1)求證 :AP=BQ。 (2)當(dāng) BQ=4? 時(shí) ,求優(yōu)弧 ? 的長(zhǎng) (結(jié)果保留 π)。 (3)若△ APO的外心在扇形 COD的內(nèi)部 ,求 OC的取值范圍 . ? CD︵3QD︵解析 (1)證明 :連接 OQ.? (1分 ) ∵ AP,BQ分別與優(yōu)弧 ? 相切 , ∴ OP⊥ AP,OQ⊥ B