【正文】 ABcos 60176。,弦 AD平分 ∠ CAB,若 AD=6,則 AC= . ? 答案 2? 3解析 連接 BD,因?yàn)?AB為☉ O的直徑 ,所以 ∠ ADB=90176。cos 60176。sin∠ BOD=? , 所以 ? 的長(zhǎng)是 ? =π,故選 B. ? AC︵90 2180??5.(2022上海 ,6,4分 )如圖 ,已知在☉ O中 ,AB是弦 ,半徑 OC⊥ AB,垂足為點(diǎn) D,要使四邊形 OACB為 菱形 ,還需添加一個(gè)條件 ,這個(gè)條件可以是 ? ( ) ? =BD =CD C.∠ CAD=∠ CBD D.∠ OCA=∠ OCB 答案 B 根據(jù)垂徑定理知 OD垂直平分 AB,所以添加 OD=CD,即可判定四邊形 OACB是菱形 , 故選 B. 6.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,6,3分 )已知☉ O的面積為 2π,則其內(nèi)接正三角形的面積為 ? ( ) ? ? C.? D.? ? 3633232 6答案 C 如圖所示 ,連接 OB、 OC,過(guò) O作 OD⊥ BC于 D, ∵ ☉ O的面積為 2π, ∴ ☉ O的半徑為 ? . ∵ △ ABC為正三角形 , ∴∠ BOC=260176。.故選 D. ? 124.(2022浙江紹興 ,8,4分 )如圖 ,四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,☉ O的半徑為 2,∠ B=135176。.∵∠ ADC+∠ ABC=180176。 176。=25cos 30176。,☉ O的半徑為 P是☉ O上的 一點(diǎn) ,在△ ABP中 ,PB=AB,則 PA的長(zhǎng)為 ? ( ) ? B.? ? ? 5323答案 D 連接 OB、 OA、 OP, ? ∵∠ C=30176。=2,∴ BE=ED39。,∴ CD39。=45176。,顯然點(diǎn) D與點(diǎn) D39。,DD39。,則 ∠ ABD39。. ∵∠ CFE=∠ BFO,∴∠ B+∠ CFE=90176。. ︵ ︵DA︵ ︵ ︵ ︵ ︵在 Rt△ BDE中 ,DE=2,可得 BE=4,BD=2? . 在 Rt△ ABD中 ,可得 AB=4? . ∴ OB=2? . 在 Rt△ OBE中 ,由勾股定理可得 OE=2? . 333 713.(2022河南 ,19,9分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,DO⊥ AB于點(diǎn) O,連接 DA交☉ O于點(diǎn) C,過(guò)點(diǎn) C作☉ O 的切線交 DO于點(diǎn) E,連接 BC交 DO于點(diǎn) F. (1)求證 :CE=EF。,∴ 四邊形 CDOF是矩形 . ∴ OF=CD=8,? (7分 ) 在 Rt△ BOF中 ,BF=? =? =6, ∴ BE=2BF=12.? (8分 ) 22OB OF?10 8?12.(2022北京 ,24,5分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,過(guò)點(diǎn) B作☉ O的切線 BM,弦 CD∥ BM,交 AB于點(diǎn) F,且 ? =?, 連接 AC,AD,延長(zhǎng) AD交 BM于點(diǎn) E. (1)求證 :△ ACD是等邊三角形 。,BD是角平分線 ,點(diǎn) O在 AB上 ,以點(diǎn) O為圓 心 ,OB為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) D,交 BC于點(diǎn) E. (1)求證 :AC是☉ O的切線 。, 由 ∠ CAD=∠ BAD,∠ ACD=∠ ADE=90176。(2)連接 OD,根 據(jù)平行線的性質(zhì) ,圓的切線的性質(zhì)求得 ∠ P,∠ AOD的度數(shù) ,即可求得 ∠ OCD的大小 . 10.(2022烏魯木齊 ,23,10分 )如圖 ,AG是 ∠ HAF的平分線 ,點(diǎn) E在 AF上 ,以 AE為直徑的☉ O交 AG于 點(diǎn) D,過(guò)點(diǎn) D作 AH的垂線 ,垂足為點(diǎn) C,交 AF于點(diǎn) B. (1)求證 :直線 BC是☉ O的切線 。. ∴∠ OCD=∠ ACD∠ ACO=64176。, ∴∠ P=∠ BAC=38176。. 由 D為 ? 的中點(diǎn) ,得 ? =?. ∴∠ ACD=∠ BCD=? ∠ ACB=45176。. 又 ∠ BAC=38176。=1? =? . ∴ OP=PQ+QO=? . 33 33433思路分析 本題第 (1)問(wèn)可以通過(guò)切線的相關(guān)定理和等腰三角形“三線合一”來(lái)解決 .本題第 (2)問(wèn)需要添加輔助線構(gòu)造三角形來(lái)推導(dǎo)角的度數(shù) ,借助特殊角的三角函數(shù)解決問(wèn)題 . 9.(2022天津 ,21,10分 )已知 AB是☉ O的直徑 ,弦 CD與 AB相交 ,∠ BAC=38176。=1. ∵ PD是切線 ,∴∠ PDO=90176。, ∴ OQ=OD, ∵∠ CBA=70176。, ∵ AO=5,∴ AB= Rt△ AEB中 ,AE=6, ∴ BE=? =8. ∵ 直線 l是☉ O的切線 ,∴ OC⊥ CD, 又 ∵ AD⊥ CD,AE⊥ EB, ∴ 四邊形 CDEF為矩形 , ∴ DC=EF=? BE=4. ? 22AB AE?127.(2022浙江寧波 ,17,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=8,AD=12,過(guò) A,D兩點(diǎn)的☉ O與 BC邊相切于 點(diǎn) E,則☉ O的半徑為 . ? 答案 ? 254解析 連接 EO,并延長(zhǎng)交 AD于點(diǎn) H,連接 AO. ? ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,☉ O與 BC邊相切于點(diǎn) E, ∴ EH⊥ BC,∵ AD∥ BC,∴ EH⊥ ,得 AH=DH. ∵ AB=8,AD=12,∴ AH=6,HE=8. 設(shè)☉ O的半徑為 r,則 AO=r,OH=8r. 在 Rt△ OAH中 ,由勾股定理得 (8r)2+62=r2,解得 r=? . ∴ ☉ O的半徑為 ? . 2542548.(2022北京 ,22,5分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,過(guò)☉ O外一點(diǎn) P作☉ O的兩條切線 PC,PD,切點(diǎn)分別 為 C,D,連接 OP,CD. (1)求證 :OP⊥ CD。,因?yàn)?∠ AOC是△ OAB的外角 ,所以 ∠ AOC=∠ B+∠ BAO=50176。 176。,∴∠ ADB=90176。 176。,∴ DO∥ BC,∴ △ POD∽ △ PBC,∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ PA =4,故選 A. POPBODBC48PA??46思路分析 利用切線的性質(zhì)得出 ∠ PDO=90176。. ∴∠ D+∠ DAE=180176。,所以 AB=? OA=2? . 故四邊形 MANB面積的最大值為 ? AB)=215176。,則 ∠ B+∠ E= 176。 解析 當(dāng) I在△ ABC的內(nèi)部時(shí) ,如圖 1,∠ A=? ∠ BIC=50176?！?∠ BPD≤ 100176。. ∴∠ DCB=180176。,則 ∠ BDC= 度 . ? AB︵BC︵答案 29 解析 連接 OC(圖略 ),∵ ? =? ,∴∠ AOB=∠ BOC=58176。30176。.又 ∵∠ BDC=∠ BAC=30176。.故選 B. 125.(2022北京 ,12,2分 )如圖 ,點(diǎn) A,B,C,D在☉ O上 ,?=?, ∠ CAD=30176。,CD⊥ OA,CE⊥ OB,∴∠ DOE=180176。 176。,作 OD⊥ BC交 BC于點(diǎn) D, ? ∴ BC=2BD.∵ OB=OC, ∴∠ OBD=∠ OCD=? =30176。5 0176。,∴∠ BAC=50176。 176。 (2)① 連接 OE,證明△ AOE≌ △ OCD,即可得 AE=OD。, ∴ x=36176。, ∴∠ ODC=45176。, ∴∠ BDC=∠ FCA=∠ BAC, ∴ 四邊形 ACFB是等腰梯形 , ∴ CF=AB. 根據(jù)勾股定理 ,得 CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=20, ∴ DF=2? , ∴ OD=? ,即☉ O的半徑為 ? . ? 55 5思路分析 (1)根據(jù)題意證明四邊形 ABCD是正方形 。, ∴ AC、 BD是☉ O的直徑 , ∴∠ DAB=∠ ABC=90176。, ∴∠ AOC=120176。,AB=6,求劣弧 ? 的長(zhǎng) (結(jié)果保留 π). ? AC︵解析 (1)證明 :∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ ACB=90176。 (2)連接 BC,由三角形中位線得到 BC∥ OQ,利用 ∠ ACB=90176。 ② 求線段 PQ的長(zhǎng) . 解析 (1)連接 OQ,∵ 線段 PQ所在的直線與☉ O相切 ,點(diǎn) Q在☉ O上 ,∴ OQ⊥ ∵ BP=OB= OQ=2,∴ PQ=?= ? =2? ,即 PQ=2? . (2)OQ⊥ AC,理由如下 : 連接 BC,∵ BP=OB,∴ 點(diǎn) B是 OP的中點(diǎn) ,又 ∵ PC=CQ,∴ 點(diǎn) C是 PQ的中點(diǎn) ,∴ BC是△ PQO的中位 線 ,∴ BC∥ OQ. 又 ∵ AB是直徑 ,∴∠ ACB=90176。,∴ OH=? OE. ∴ 2OHAC=2OA, ∴ OHOA, ∴ 直線 EF與☉ O相離 . ? 1218.(2022莆田 ,22,8分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB=AD,對(duì)角線 AC,BD交于點(diǎn) E,點(diǎn) O在線段 AE上 , ☉ O過(guò) B,D兩點(diǎn) ,若 OC=5,OB=3,且 cos∠ BOE=? ,求證 :CB是☉ O的切線 . ? 35證明 連接 OD,則 OB=OD. ∵ AB=AD,∴ AE垂直平分 BD. 在 Rt△ BOE中 ,∵ OB=3,cos∠ BOE=? , ∴ OE=OB≤ ∠ DCE90176。, ∴∠ EBA=90176。 (2)如圖 2,連接 OE,過(guò)點(diǎn) E作直線 EF,使得 ∠ OEF=30176。, ∴ △ ABG為等腰直角三角形 , ∴∠ ABG=45176。. (2)連接 AG,延長(zhǎng) CP交 BG于 Q,交☉ O于 H. ? ∵∠ 1=∠ 2,OC=OB,∠ OCD=∠ OBG, ∴ △ ODC≌ △ OQB. ∴ QB=CD=1. ∵ BG=2, ∴ GQ=BGQB=1, ∴ BQ=GQ. ∵ OH為半徑 , ∴ OH垂直平分 BG. ∴ ? =?, ∠ OQB=90176。 (2)如圖 2,點(diǎn) E在線段 OD上 (不與 O,D重合 ),CD、 CE的延長(zhǎng)線分別交☉ O于點(diǎn) F、 G,連接 BF,BG, 點(diǎn) P是 CO的延長(zhǎng)線與 BF的交點(diǎn) ,若 CD=1,BG=2,∠ OCD=∠ OBG,∠ CFP=∠ CPF,求 CG的長(zhǎng) . 解析 (1)∵ OC=OA,∠ COA=60176。. CDBF3BE︵615.(2022漳州 ,23,10)如圖 ,AB為☉ O的直徑 ,點(diǎn) E在☉ O上 ,C為 ? 的中點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) C作直線 CD⊥ AE 于 D,連接 AC、 BC. (1)試判斷直線 CD與☉ O的位置關(guān)系 ,并說(shuō)明理由 。2(40176。, ∴∠ OAD=∠ ODA=∠ ADB(∠ ODH+x) =60176。, ∵ OD=OA=1=DH, ∴∠ ODH=180176。. ∵ BC∥ DE,∴∠ BDE=∠ CBD=20176。. ∴∠ NOH=180176。,∠ CAB=30176。, 又 ∵∠ PCB+∠ DCB=180176。 (2)過(guò)點(diǎn) B作 BG⊥ AD,垂足為 G,BG交 DE于點(diǎn) H,且點(diǎn) O和點(diǎn) A都在 DE的左側(cè) ,如圖 AB=? ,DH =1,∠ OHD=80176。. AB︵BC︵CD︵DE︵EA︵ 1213.(2022龍巖 ,15,3分 )如圖 ,A、 B、 C是半徑為 6的☉ O上三個(gè)點(diǎn) ,若 ∠ BAC=45176。,∴∠ BCE= ∠ A=50176。4, ∴ D(4,0)或 (4,0), ∴ 符合條件的點(diǎn) D的個(gè)數(shù)為 4,故選 D. 8x89.(2022泉州 ,15,4分 )如圖 ,☉ O的弦 AB、 CD相交于點(diǎn) E,若 CE∶ BE=2∶ 3,則 AE∶ DE= . ? 答案 2∶ 3 解析 ∵ ☉ O的弦 AB、 CD相交于點(diǎn) E,∠ A=∠ D,∠ C=∠ B,∴ △ ACE∽ △ DBE,∴ ? =? =? . DECEBE2310.(2022泉州 ,16,4分 )如圖 ,四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,點(diǎn) E在 DC的延長(zhǎng)線上 ,若 ∠ A=50176。4, ∴ D(0,4)或 (0,4)。, ∴∠ ADC=? ∠ AOC=25176。 176。 答案 B 由作圖可知 ,點(diǎn) M在以 AB為直徑的☉ C上 , 根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角 ,得 ∠ AMB=90176。,故選 B. 4.(2022三明 ,8,4分 )如圖 ,AB是☉ O的弦 ,半徑 OC⊥ AB于點(diǎn) D,若☉ O的半徑為 5,AB=8,則 CD的長(zhǎng) 是 ? ( ) ? 答案 A 已知 AB是☉ O的弦 ,半徑 OC⊥ AB于點(diǎn) D,由垂徑定理可得 AD=BD=4,在 Rt△ ADO中 , 由勾股定理可得 OD=3,所以 CD=OCOD=53= A. 5.(2022福州 ,8,4分 )如圖 ,C,D分別是線段 AB,AC的中點(diǎn) ,分別以點(diǎn) C,D為圓心 ,BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 , 兩弧交于點(diǎn) M,測(cè)量 ∠ AMB的度數(shù) ,結(jié)果為 ? ( ) 176。 176。,故選 D. 3.(2022泉州 ,4,3分 )如圖 ,AB和☉ O切于點(diǎn) B,∠ AOB=60176。,由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi) 角的和可得 ∠ BOD=∠ ODA+∠ OAD=80176。,由三角形內(nèi)角和為 180176。 176。, 則 ∠ BOD等于 ? ( ) ? 176。 A組