【正文】 ,進(jìn)而判斷四邊形 CMDN為矩 形 ,得出 MD=CN,然后根據(jù)等腰三角形三線合一推出 CN=NB,從而得到結(jié)論 . 解題技巧 針對(duì)含有切線的解答題 ,首先要想到的是作“輔助線” ,由此獲得更多能夠證明題 目要求的條件 .一般作“輔助線”的方法為“見(jiàn)切點(diǎn) ,連圓心” ,從而構(gòu)造直角 (垂直 ),然后利用 切線性質(zhì)及其他幾何知識(shí)進(jìn)行證明或計(jì)算 . 8.(2022北京 ,24,5分 )如圖 ,AB是☉ O的一條弦 ,E是 AB的中點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) E作 EC⊥ OA于點(diǎn) C,過(guò)點(diǎn) B作☉ O的切線交 CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D. (1)求證 :DB=DE。. ∵ PA ,PB是☉ O的切線 , ∴ PO垂直平分 AB,PO平分 ∠ APB, ∴ BC∥ PO, ∴∠ OPC=∠ PCB. ∵∠ APC=3∠ BPC, ∴∠ OPC=∠ BPC,∴∠ PCB=∠ BPC, ∴ BC=BP. 設(shè) OF=t,則 BC=BP=2t, 由△ PBF∽ △ POB,得 PB2=PF, ∴∠ 1=90176。.在四邊形 ADOE中 ,∠ DOE=360176。, 所以 ∠ ADC=∠ B+∠ DOB=30176。,C是 ? 上一點(diǎn) ,則 ∠ ACB= 176。. ? AD︵CD︵答案 25 解析 連接 BC,BD,∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。.∵ OB=? , ∴ BD=OB 176。OC=90176。.(注 :若填為 ,不扣分 )(9分 ) C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 圓的有關(guān)概念及性質(zhì) 1.(2022湖北武漢 ,10,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,點(diǎn) C在優(yōu)弧 ? 上 ,將弧 ? 折疊后剛好經(jīng)過(guò) AB的中點(diǎn) D. 若☉ O的半徑為 ? ,AB=4,則 BC的長(zhǎng)是 ? ( ) ? ? ? C.? D.? AB︵ BC︵532532 652答案 B 連接 AO,并延長(zhǎng)交☉ O于點(diǎn) D39。,進(jìn)一步可證△ ACD∽ △ ADE,再結(jié)合 (1)列等式即可求出 BD的長(zhǎng) . 11.(2022廣西南寧 ,23,8分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。. AB︵ AD︵BD︵12由 DP∥ AC,又 ∠ BAC=38176。cos 60176。 答案 C 連接 OA,☉ O中 ,OA=OB,所以 ∠ B=∠ BAO=25176。.∵ BC⊥ PC,∴∠ PCB=90176。. ? 圖 1 圖 2 12129.(2022江蘇南京 ,15,2分 )如圖 ,在☉ O的內(nèi)接五邊形 ABCDE中 ,∠ CAD=35176。. CB︵CD︵6.(2022吉林 ,13,3分 )如圖 ,A,B,C,D是☉ O上的四個(gè)點(diǎn) ,? =?. 若 ∠ AOB=58176。 答案 B ∵∠ DCE=40176。,∴∠ BCA=∠ ABC=65176。 (2)當(dāng)直線 CD與半圓 O相交時(shí) (如圖 2),設(shè)另一交點(diǎn)為 E,連接 AE,AE∥ OC. ① AE與 OD的大小有什么關(guān)系 ?為什么 ? ② 求 ∠ ODC的度數(shù) . 解析 (1)連接 OC, ∵ OC=OA,CD=OA, ∴ OC=CD, ∴∠ ODC=∠ COD, ∵ CD是☉ O的切線 , ∴∠ OCD=90176。 (2)若 ∠ D=60176。, ∴ 60176。, ∴∠ ACD=10176。=20176。,∴∠ ADC=∠ AGB,∴ BG∥ DC. 又由 (1)知 BC∥ DE,∴ 四邊形 DHBC為平行四邊形 ,∴ BC=DH=1. 在 Rt△ ABC中 ,AB=? ,tan∠ ACB=? =? , ∴∠ ACB=60176。,又 ∵∠ BCD+∠ BCE=180176。 176。,易知 ∠ ACD=∠ B,∴∠ BAD+ ∠ ACD=90176。 176。 176。, ∴∠ ADC=? ∠ AOC=25176。. AB︵BC︵CD︵DE︵EA︵ 1213.(2022龍巖 ,15,3分 )如圖 ,A、 B、 C是半徑為 6的☉ O上三個(gè)點(diǎn) ,若 ∠ BAC=45176。. ∴∠ NOH=180176。2(40176。, ∴ △ ABG為等腰直角三角形 , ∴∠ ABG=45176。,∴ OH=? OE. ∴ 2OHAC=2OA, ∴ OHOA, ∴ 直線 EF與☉ O相離 . ? 1218.(2022莆田 ,22,8分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB=AD,對(duì)角線 AC,BD交于點(diǎn) E,點(diǎn) O在線段 AE上 , ☉ O過(guò) B,D兩點(diǎn) ,若 OC=5,OB=3,且 cos∠ BOE=? ,求證 :CB是☉ O的切線 . ? 35證明 連接 OD,則 OB=OD. ∵ AB=AD,∴ AE垂直平分 BD. 在 Rt△ BOE中 ,∵ OB=3,cos∠ BOE=? , ∴ OE=OB, ∴∠ AOC=120176。, ∴ x=36176。5 0176。.故選 B. 125.(2022北京 ,12,2分 )如圖 ,點(diǎn) A,B,C,D在☉ O上 ,?=?, ∠ CAD=30176。. ∴∠ DCB=180176。)=215176。 176。, ∵ AO=5,∴ AB= Rt△ AEB中 ,AE=6, ∴ BE=? =8. ∵ 直線 l是☉ O的切線 ,∴ OC⊥ CD, 又 ∵ AD⊥ CD,AE⊥ EB, ∴ 四邊形 CDEF為矩形 , ∴ DC=EF=? BE=4. ? 22AB AE?127.(2022浙江寧波 ,17,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=8,AD=12,過(guò) A,D兩點(diǎn)的☉ O與 BC邊相切于 點(diǎn) E,則☉ O的半徑為 . ? 答案 ? 254解析 連接 EO,并延長(zhǎng)交 AD于點(diǎn) H,連接 AO. ? ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,☉ O與 BC邊相切于點(diǎn) E, ∴ EH⊥ BC,∵ AD∥ BC,∴ EH⊥ ,得 AH=DH. ∵ AB=8,AD=12,∴ AH=6,HE=8. 設(shè)☉ O的半徑為 r,則 AO=r,OH=8r. 在 Rt△ OAH中 ,由勾股定理得 (8r)2+62=r2,解得 r=? . ∴ ☉ O的半徑為 ? . 2542548.(2022北京 ,22,5分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,過(guò)☉ O外一點(diǎn) P作☉ O的兩條切線 PC,PD,切點(diǎn)分別 為 C,D,連接 OP,CD. (1)求證 :OP⊥ CD。=1? =? . ∴ OP=PQ+QO=? . 33 33433思路分析 本題第 (1)問(wèn)可以通過(guò)切線的相關(guān)定理和等腰三角形“三線合一”來(lái)解決 .本題第 (2)問(wèn)需要添加輔助線構(gòu)造三角形來(lái)推導(dǎo)角的度數(shù) ,借助特殊角的三角函數(shù)解決問(wèn)題 . 9.(2022天津 ,21,10分 )已知 AB是☉ O的直徑 ,弦 CD與 AB相交 ,∠ BAC=38176。. ∴∠ OCD=∠ ACD∠ ACO=64176。,∴ 四邊形 CDOF是矩形 . ∴ OF=CD=8,? (7分 ) 在 Rt△ BOF中 ,BF=? =? =6, ∴ BE=2BF=12.? (8分 ) 22OB OF?10 8?12.(2022北京 ,24,5分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,過(guò)點(diǎn) B作☉ O的切線 BM,弦 CD∥ BM,交 AB于點(diǎn) F,且 ? =?, 連接 AC,AD,延長(zhǎng) AD交 BM于點(diǎn) E. (1)求證 :△ ACD是等邊三角形 。,DD39。=2,∴ BE=ED39。.∵∠ ADC+∠ ABC=180176。cos 60176。.∵ ? =? ,∴∠ ABD=∠ CBD=? ∠ ABC=25176。. ? 12.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,18,3分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的外接圓 ,AD是☉ O的直徑 ,若☉ O的半徑是 4, sin B=? ,則線段 AC的長(zhǎng)為 . ? 14答案 2 解析 連接 CD,在☉ O中 ,因?yàn)?AD為直徑 ,所以 ∠ ACD=90176。,因?yàn)?∠ BOD是△ OAD的外角 ,所以 ∠ BOD =∠ ODA+∠ OAD=60176。 (2)如圖 2,當(dāng)點(diǎn) P在 BC上移動(dòng)時(shí) ,求 PQ長(zhǎng)的最大值 . ? 解析 (1)∵ OP⊥ PQ,PQ∥ AB, ∴ OP⊥ AB. 在 Rt△ OPB中 , OP=OB∠ 2=180176。,? (1分 ) 又 ∵∠ A=∠ DEB,∠ DEB=∠ DBC, ∴∠ A=∠ DBC,? (2分 ) ∴∠ DBC+∠ ABD=90176。后得到扇形 COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧 ? 于點(diǎn) P,Q,且點(diǎn) P,Q在 AB異側(cè) ,連接 OP. (1)求證 :AP=BQ。,以斜邊 AB上的中線 CD為直徑作☉ O,分別 與 AC、 BC相交于點(diǎn) M,N. (1)過(guò)點(diǎn) N作☉ O的切線 NE與 AB相交于點(diǎn) E,求證 :NE⊥ AB。,BC=3,AC=4,點(diǎn) P在以 C為圓心 ,5為半徑的圓 上 ,連接 PA , PB=4,則 PA的長(zhǎng)為 . 答案 3或 ? 73解析 由題意可知點(diǎn) P是以 C為圓心 ,5為半徑的圓和以 B為圓心 ,4為半徑的圓的交點(diǎn) ,連接 BP1, CP1,因?yàn)?B? +BC2=C? ,所以 CB⊥ BP1,同理 ,CB⊥ BP2,所以 B,P1,P2三點(diǎn)共線 ,因?yàn)?AC⊥ BC,BC⊥ BP1,AC=BP1=4,所以四邊形 ACBP1是矩形 ,所以 AP1=3,在 Rt△ AP1P2中 ,由勾股定理得 AP2= ? =? . ? 21P 21 2283?731454.(2022浙江溫州 ,16,5分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AD=8,E是邊 AB上一點(diǎn) ,且 AE=? AB.☉ O經(jīng)過(guò) 點(diǎn) E,與邊 CD所在直線相切于點(diǎn) G(∠ GEB為銳角 ),與邊 AB所在直線相交于另一點(diǎn) F,且 EG∶ EF =? ∶ AD或 BC所在的直線與☉ O相切時(shí) ,AB的長(zhǎng)是 . 答案 4或 12 解析 如圖 ,連接 EO,連接 GO并延長(zhǎng) ,交 EF于 N點(diǎn) ,則 GN⊥ AB.∴ EN=NF. 又 ∵ EG∶ EF=? ∶ 2, ∴ EG∶ EN=? ∶ 1. 又 ∵ GN=AD=8, ∴ 設(shè) EN=x,則 GE=? x,根據(jù)勾股定理得 (? x)2x2=64,解得 x=4,∴ GE=4? . 設(shè)☉ O的半徑為 r,由 OE2=EN2+ON2得 r2=16+(8r)2, ∴ r=5. 設(shè) BC所在的直線與☉ O相切于 K點(diǎn) ,連接 OK. ∴ OK=NB=5,∴ EB=9. 又 AE=? AB, ∴ AB=12. 當(dāng) AD與☉ O相切時(shí) ,同理可求出 AB=4. 5555 514評(píng)析 本題考查了切線的性質(zhì)以及勾股定理和垂徑定理的綜合應(yīng)用 ,解答本題的關(guān)鍵在于正 確添加輔助線 ,并進(jìn)行分類討論 ,利用勾股定理求出對(duì)應(yīng)圓的半徑 . 5.(2022湖北武漢 ,21,8分 )如圖 ,PA是☉ O的切線 ,A是切點(diǎn) ,AC是直徑 ,AB是弦 ,連接 PB、 PC,PC 交 AB于點(diǎn) E,且 PA =PB. (1)求證 :PB是☉ O的切線 。=? . ∴ PQ長(zhǎng)的最大值為 ? =? .? (10分 ) 3 22OQ OP?3 ( 3)?6322392??? ????33219.(2022遼寧沈陽(yáng) ,22,10分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的外接圓 ,AB為直徑 ,OD∥ BC交☉ O于點(diǎn) D,交 AC 于點(diǎn) E,連接 AD,BD,CD. (1)求證 :AD=CD。,因?yàn)?BO=OD,CO=EO,所以 ∠ BDO=∠ B,∠ OEC=∠ C, 所以 ∠ BDO+∠ OEC=∠ B+∠ C=115176。=100176。, ∴∠ ACD=90176。,弦 AD平分 ∠ CAB,所以 ∠ BAD=30176。,所以 ∠ D=45176。,∵ OA=OB,∴ △ OAB是等邊三角形 ,∴ AB=5.∵ PB=AB=OA=OP,∴ OB ⊥ AP,∴ AP=2AB=90176。 ② 當(dāng) ∠ D的度數(shù)為 時(shí) ,四邊形 ECOG為正方形 . ? 解析 (1)證明 :連接 OC. ∵ CE是☉ O的切線 ,∴ OC⊥ CE. ∴∠ FCO+∠ ECF=90176。,∴∠ ODB=∠ ACD=90176。38176。,∴∠ ODC=60176。,故 選 B. 124.(2022江蘇南京 ,6,2分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=4,AD=5,AD、 AB、 BC分別與☉ O相切于 E、 F、 G三點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn) D作☉ O的切線交 BC于點(diǎn) M,切點(diǎn)為 N,則 DM的長(zhǎng)為 ? ( ) ? A.? B.? C.? ? ? 13392 43 135答案 A 在矩形 ABCD中 ,☉ O分別與邊 AD、 AB、 BC相切 ,又 DM為☉ O的切線 ,所以由切線 長(zhǎng)定理得 AE=AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知 BG=2,DN=3,設(shè) MN=MG=x,在 Rt△ DCM中 ,DM2=MC2+DC2,即 (3+x)2=(3x)2+42,解得 x=? ,則 DM=3+? =? .故選 A. 4 43 35.(2022天津 ,7,3分 )如圖 ,AB是☉ O的弦 ,AC是☉ O的切線 ,A為切點(diǎn) ,BC經(jīng)過(guò)圓心 ,若 ∠ B=25176。 (2)若 (1)中的點(diǎn) E到弦 BC的距離為 3,求弦 CE的長(zhǎng) . ? BC︵解析 (1)尺規(guī)作圖如圖所