【正文】 60176?！?∠ DCE90176。,則 0176?！?AEC≤ 30176。. ∴ AE≥ AC. ∵∠ EAC是鈍角 ,∴∠ EAC∠ AOE,∴ OEAE, ∴ OEAC. 作 OH⊥ EF于 H,如圖所示 , ︵ ︵在 Rt△ OEH中 ,∵∠ OEH=30176。,∴ OH=? OE. ∴ 2OHAC=2OA, ∴ OHOA, ∴ 直線 EF與☉ O相離 . ? 1218.(2022莆田 ,22,8分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB=AD,對角線 AC,BD交于點(diǎn) E,點(diǎn) O在線段 AE上 , ☉ O過 B,D兩點(diǎn) ,若 OC=5,OB=3,且 cos∠ BOE=? ,求證 :CB是☉ O的切線 . ? 35證明 連接 OD,則 OB=OD. ∵ AB=AD,∴ AE垂直平分 BD. 在 Rt△ BOE中 ,∵ OB=3,cos∠ BOE=? , ∴ OE=OBcos∠ BOE=? . CE=OCOE=5? =? , 在 Rt△ BEO中 ,根據(jù)勾股定理得 BE=? =? =? , 在 Rt△ CEB中 ,根據(jù)勾股定理得 BC=? =? =4. ∵ OB2+BC2=32+42=25=OC2, ∴∠ OBC=90176。,即 BC⊥ OB,又 OB為半徑 , ∴ BC為圓 O的切線 . 359595165 22B OE?22 935??? ????125BE C?221 2 1 655? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? 思路分析 連接 OD,可得 OB=OD,由 AB=AD,得到 AE垂直平分 BD,在直角三角形 BOE中 ,利用銳 角三角函數(shù)定義求出 OE的長 ,根據(jù)勾股定理求出 BE的長 ,由 OCOE求出 CE的長 ,再利用勾股定 理求出 BC的長 ,利用勾股定理的逆定理得到 BC與 OB垂直 ,即可確定出 BC為圓 O的切線 . 點(diǎn)評 此題考查了切線的判定 ,勾股定理及其逆定理 ,熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān) 鍵 . 19.(2022三明 ,23,10分 )已知 :AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) P在線段 AB的延長線上 ,BP=OB=2,點(diǎn) Q在☉ O 上 ,連接 PQ. (1)如圖 1,線段 PQ所在的直線與☉ O相切 ,求線段 PQ的長 。 (2)如圖 2,線段 PQ與☉ O還有一個公共點(diǎn) C,且 PC=CQ,連接 OQ,AC,交于點(diǎn) D. ① 判斷 OQ與 AC的位置關(guān)系 ,并說明理由 。 ② 求線段 PQ的長 . 解析 (1)連接 OQ,∵ 線段 PQ所在的直線與☉ O相切 ,點(diǎn) Q在☉ O上 ,∴ OQ⊥ ∵ BP=OB= OQ=2,∴ PQ=?= ? =2? ,即 PQ=2? . (2)OQ⊥ AC,理由如下 : 連接 BC,∵ BP=OB,∴ 點(diǎn) B是 OP的中點(diǎn) ,又 ∵ PC=CQ,∴ 點(diǎn) C是 PQ的中點(diǎn) ,∴ BC是△ PQO的中位 線 ,∴ BC∥ OQ. 又 ∵ AB是直徑 ,∴∠ ACB=90176。,即 BC⊥ AC,∴ OQ⊥ AC. (3)∵ PCPQ=PBPA ,∴ ? PQ2=26,∴ PQ=2? . 22P OQ?2242?3312 6思路分析 (1)連接 OQ,利用切線的性質(zhì)和勾股定理來求 PQ的長度 。 (2)連接 BC,由三角形中位線得到 BC∥ OQ,利用 ∠ ACB=90176。得到 BC⊥ AC,故 OQ⊥ AC。 (3)利用割線定理來求 PQ的長度 . 20.(2022寧德 ,23,10分 )如圖 ,已知 AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) C,D在☉ O上 ,點(diǎn) E在☉ O外 ,∠ EAC=∠ B. (1)求證 :直線 AE是☉ O的切線 。 (2)若 ∠ D=60176。,AB=6,求劣弧 ? 的長 (結(jié)果保留 π). ? AC︵解析 (1)證明 :∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ ACB=90176。, ∴∠ B+∠ CAB=90176。, ∵∠ EAC=∠ B, ∴∠ CAE+∠ BAC=90176。, 即 BA⊥ AE. ∴ AE是☉ O的切線 . (2)連接 CO, ∵ AB=6, ∴ AO=3, ∵∠ D=60176。, ∴∠ AOC=120176。, ∴ ? 的長為 ? =2π. AC︵120 3180???21.(2022廈門 ,29,10分 )已知 A,B,C,D是☉ O上的四個點(diǎn) . (1)如圖 1,若 ∠ ADC=∠ BCD=90176。,AD=CD,求證 :AC⊥ BD。 (2)如圖 2,若 AC⊥ BD,垂足為 E,AB=2,DC=4,求☉ O的半徑 . ? 解析 (1)證明 :∵∠ ADC=∠ BCD=90176。, ∴ AC、 BD是☉ O的直徑 , ∴∠ DAB=∠ ABC=90176。, ∴ 四邊形 ABCD是矩形 , ∵ AD=CD, ∴ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AC⊥ BD. (2)連接 DO,并延長交圓 O于 F,連接 CF、 BF. ∵ DF是直徑 , ∴∠ DCF=∠ DBF=90176。, ∴ FB⊥ DB, 又 ∵ AC⊥ BD, ∴ BF∥ AC,∠ BDC+∠ ACD=90176。, ∵∠ FCA+∠ ACD=90176。, ∴∠ BDC=∠ FCA=∠ BAC, ∴ 四邊形 ACFB是等腰梯形 , ∴ CF=AB. 根據(jù)勾股定理 ,得 CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=20, ∴ DF=2? , ∴ OD=? ,即☉ O的半徑為 ? . ? 55 5思路分析 (1)根據(jù)題意證明四邊形 ABCD是正方形 。 (2)連接 DO,并延長交圓 O于 F,連接 CF、 ,得 ∠ DCF=∠ DBF= 90176。,則 BF∥ AC,從而得 CF=AB,根據(jù)勾股定理即可求解 . 22.(2022三明 ,23,10分 )已知 AB是半圓 O的直徑 ,點(diǎn) C是半圓 O上的動點(diǎn) ,點(diǎn) D是線段 AB延長線上 的動點(diǎn) ,在運(yùn)動過程中保持 CD=OA. (1)當(dāng)直線 CD與半圓 O相切時 (如圖 1),求 ∠ ODC的度數(shù) 。 (2)當(dāng)直線 CD與半圓 O相交時 (如圖 2),設(shè)另一交點(diǎn)為 E,連接 AE,AE∥ OC. ① AE與 OD的大小有什么關(guān)系 ?為什么 ? ② 求 ∠ ODC的度數(shù) . 解析 (1)連接 OC, ∵ OC=OA,CD=OA, ∴ OC=CD, ∴∠ ODC=∠ COD, ∵ CD是☉ O的切線 , ∴∠ OCD=90176。, ∴∠ ODC=45176。. (2)① AE= : 如圖 ,連接 OE. ? ∵ CD=OA,∴ CD=OC=OE=OA, ∴∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4. ∵ AE∥ OC, ∴∠ 2=∠ 3. 設(shè) ∠ ODC=x,則 ∠ 2=∠ 3=∠ 4=x. ∴∠ AOE=∠ OCD=180176。2x. 在△ AOE與△ OCD中 , ? ∴ △ AOE≌ △ OCD(SAS), ∴ AE=OD. ② ∠ 6=∠ 1+∠ 2=2x. ∵ OE=OC,∴∠ 5=∠ 6=2x. ∵ AE∥ OC, ,O A O CA O E O C DO E C D???? ? ?????∴∠ 4+∠ 5+∠ 6=180176。,即 x+2x+2x=180176。, ∴ x=36176。, ∴∠ ODC=36176。. 思路分析 (1)連接 OC,由 CD是☉ O的切線 ,得出 ∠ OCD=90176。,易得 OC=CD,從而得 ∠ ODC=45176。 (2)① 連接 OE,證明△ AOE≌ △ OCD,即可得 AE=OD。② 利用等腰三角形及平行線的性質(zhì) ,可求 得 ∠ ODC的度數(shù) . 點(diǎn)評 本題考查了切線性質(zhì) ,全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等 ,正確作出 輔助線是解題的關(guān)鍵 . B組 2022— 2022年全國中考題組 考點(diǎn)一 圓的有關(guān)概念及性質(zhì) 1.(2022陜西 ,9,3分 )如圖 ,△ ABC是☉ O的內(nèi)接三角形 ,AB=AC,∠ BCA=65176。,作 CD∥ AB,并與☉ O 相交于點(diǎn) D,連接 BD,則 ∠ DBC的大小為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 A ∵ AB=AC,∠ BCA=65176。,∴∠ BCA=∠ ABC=65176。,∴∠ BAC=50176。,∵ CD∥ AB,∴∠ BAC= ∠ ACD=50176。,根據(jù)圓周角定理的推論得 ∠ ABD=∠ ACD=50176。,所以 ∠ DBC=∠ ABC∠ ABD=65176。5 0176。=15176。,故選 A. 2.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,7,3分 )如圖 ,CD為☉ O的直徑 ,弦 AB⊥ CD,垂足為 AB=12,OM∶ MD =5∶ 8,則☉ O的周長為 ? ( ) ? C.? D.? 965?3 9 1 05 ?答案 B 連接 OA,設(shè) OM=5x(x0),則 MD=8x,∴ OA=OD=13x,又 ∵ AB=12,AB⊥ CD,∴ AM= Rt△ AOM中 ,(5x)2+62=(13x)2,解得 x=? (舍負(fù) ),∴ 半徑 OA=? ,∴ ☉ O的周長為 13π. 12 132方法規(guī)律 如圖 ,設(shè)圓的半徑為 r、弦長為 a、弦心距為 d,弓形的高為 h,則 ? +d2=r2(h=rd或 h= r+d).已知其中任意兩個量即可求出其余兩個量 . ? 22a??????3.(2022陜西 ,9,3分 )如圖 ,☉ O的半徑為 4,△ ABC是☉ O的內(nèi)接三角形 ,連接 OB、 ∠ BAC與 ∠ BOC互補(bǔ) ,則弦 BC的長為 ( ) ? ? ? ? ? 3333答案 B ∵∠ BOC+∠ CAB=180176。,∠ BOC=2∠ CAB, ∴∠ BOC=120176。,作 OD⊥ BC交 BC于點(diǎn) D, ? ∴ BC=2BD.∵ OB=OC, ∴∠ OBD=∠ OCD=? =30176。, ∴ BD=OBcos 30176。=2? ,∴ BC=2BD=4? ,故選 B. 180 2 BOC???3 34.(2022廣西南寧 ,9,3分 )如圖 ,點(diǎn) A,B,C,P在☉ O上 ,CD⊥ OA,CE⊥ OB,垂足分別為 D,E,∠ DCE=40176。,則 ∠P的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B ∵∠ DCE=40176。,CD⊥ OA,CE⊥ OB,∴∠ DOE=180176。40176。=140176。.∴∠ P=? ∠ AOB=70176。.故選 B. 125.(2022北京 ,12,2分 )如圖 ,點(diǎn) A,B,C,D在☉ O上 ,?=?, ∠ CAD=30176。,∠ ACD=50176。,則 ∠ ADB= 176。. ? CB︵CD︵答案 70 解析 ∵ ? =?, ∴∠ BAC=∠ CAD=30176。.又 ∵∠ BDC=∠ BAC=30176。,∠ ACD=50176。,∴∠ ADB=180176。30176。30176。50176。=70176。. CB︵CD︵6.(2022吉林 ,13,3分 )如圖 ,A,B,C,D是☉ O上的四個點(diǎn) ,? =?. 若 ∠ AOB=58176。,則 ∠ BDC= 度 . ? AB︵BC︵答案 29 解析 連接 OC(圖略 ),∵ ? =? ,∴∠ AOB=∠ BOC=58176。,又點(diǎn) D在圓上 ,∴∠ BDC=? ∠ BOC=29176。. AB︵BC︵ 1思路分析 連接 OC,由 ? 與 ? 相等可得圓心角 ∠ AOB=∠ BOC,再根據(jù)同弧所對的的圓周角 是圓心角的一半即可求得 ∠ BDC的度數(shù) . ︵ ︵7.(2022吉林 ,13,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,∠ DAB=130176。,連接 P是半徑 OC上任意 一點(diǎn) ,連接 DP,BP,則 ∠ BPD可能為 度 (寫出一個即可 ). 答案 60(答案不唯一 ,大于等于 50且小于等于 100即可 ) 解析 連接 OB,OD, ∵ 四邊形 ABCD是圓內(nèi)接四邊形 , ∴∠ DAB+∠ DCB=180176。. ∴∠ DCB=180176。∠ DAB=50176。. ∴∠ DOB=2∠ DCB=100176。. ∴ 50176?！?∠ BPD≤ 100176。. 評析 本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) ,圓周角定理 ,連接 OB,OD,利用圓周角定理是關(guān)鍵 ,屬容 易題 . 8.(2022新疆烏魯木齊 ,13,4分 )設(shè) I為△ ABC的外心 ,若 ∠ BIC=100176。,則 ∠ A的度數(shù)為 . 答案 50176?；?130176。 解析 當(dāng) I在△ ABC的內(nèi)部時 ,如圖 1,∠ A=? ∠ BIC=50176。 當(dāng) I在△ ABC的外部時 ,如圖 2,∠ A+? ∠ BIC=180176。,∴∠ A=130176。. ? 圖 1 圖 2 12129.(2022江蘇南京 ,15,2分 )如圖 ,在☉ O的內(nèi)接五邊形 ABCDE中 ,∠ CAD=35176。,則 ∠ B+∠ E= 176。. ? 答案 215 解析 連接 AO,CO,DO,則 ∠ COD=2∠ CAD=70