【正文】 AECD是平行四邊形 ,∴ AD=EC. 又 AD=BC,∴ EC=BC, ∴ OM=ON,∴ CO平分 ∠ BCE.? (10分 ) 思路分析 (1)根據(jù)“在同一個(gè)圓中同一段弧所對(duì)的圓周角相等”可推出 ∠ E=∠ B,再由 ∠ D= ∠ B,CE∥ AD可推出 AE∥ DC,問(wèn)題得證 。 176。 176。 (2)連接 AD,BC,若 ∠ DAB=50176。sin 60176。. (1)如圖① ,若 D為 ? 的中點(diǎn) ,求 ∠ ABC和 ∠ ABD的大小 。. ∴∠ ABD=∠ ACD=45176。38176。, 得△ ACD∽ △ ADE,∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ a=? r, 5ADAEAC52 ar25aa45由 (1)知 ,OD∥ AC,∴ ? =? ,即 ? =? , ∵ a=? r,∴ BD=? r.? (10分 ) BDBCODACBDBD a?2ra45 43思路分析 (1)連接 OD,利用平行線的判定以及等腰三角形的性質(zhì)證明 OD∥ AC,從而證明直 線 BC是圓 O的切線 。 (2)連接 OE,若 DE=2,求 OE的長(zhǎng) . ? DA︵DC︵解析 (1)證明 :∵ AB是☉ O的直徑 ,BM是☉ O的切線 , ∴ AB⊥ BM. ∵ CD∥ BM,∴ AB⊥ CD. ∴ ? =?. ∵ ? =?, ∴ ? =?=?. ∴ AD=AC=DC. ∴ △ ACD是等邊三角形 . (2)連接 BD,如圖 . ? ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ADB=90176。.? (3分 ) ∵ OC=OB,∴∠ FCO=∠ B. ∴∠ ECF=∠ CFE.∴ CE=EF.? (5分 ) (2)① 30176。,DD39。,根據(jù)圓周角定理得 ∠ AOC=90176。=? ,根據(jù)勾股定理得 CE=? =2? ,所以 BC=BE+CE=3? ,故選 B. ? 1 5 22OB BD?2102 39。=25? =5? .故選 D. 3233.(2022山東臨沂 ,8,3分 )如圖 ,A,B,C是☉ O上的三個(gè)點(diǎn) ,若 ∠ AOC=100176。,∴∠ ABC=180176。=120176。=? , ∴ BC=2BD=? , ∴ △ BOC的面積 =? =4? ? =2? . ADcos 30AD?6 32312 38.(2022北京 ,14,3分 )如圖 ,AB為☉ O的直徑 ,C,D為☉ O上的點(diǎn) ,? =?. 若 ∠ CAB=40176。,∴∠ CAD=∠ CBD=25176。,∴∠ ABD=∠ ACD=62176。,因?yàn)?∠ B=∠ D,所以 AC=AD100176。,所以 ∠ ODE=30176?！?OEC)=360176。tan∠ ABC=3. ∴ OD⊥ AC.∴ ? =?. ∴ AD=CD. (2)∵ AB=10, ∴ OA=OD=? AB=5. ∵ OD∥ BC,∴∠ AOE=∠ ABC. 在 Rt△ AEO中 , OE=OAcos∠ AOE=OAcos∠ ABC=5? =3. ∴ DE=ODOE=53=2. 由勾股定理得 ,AE=? =? =4. 在 Rt△ AED中 ,tan∠ DAE=? =? =? . 又 ∵∠ DBC=∠ DAE,∴ tan∠ DBC=? . ︵ ︵12 35 22AO OE?2253?DEAE241212評(píng)析 本題綜合考查了圓的知識(shí) ,解直角三角形 ,屬中等難度題 . 考點(diǎn)二 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 1.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,17,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) C在☉ O上 ,過(guò)點(diǎn) C的切線與 BA的延長(zhǎng)線交 于點(diǎn) D,點(diǎn) E在 ? 上 (不與點(diǎn) B,C重合 ),連接 BE, ∠ D=40176。65176。. ∵ OA=OB,PA =PB, ∴∠ OAB=∠ OBA,∠ PAB=∠ PBA. ∴∠ PBO=∠ PAO=90176。, ∴ BC是☉ O的切線 .? (3分 ) (2)∵ BF=BC=2且 ∠ ADB=90176。, ∴ 四邊形 CMDN是矩形 ,? (6分 ) ∴ MD=CN. 由 (1)知 ,CD=BD, ∴ CN=NB, ∴ MD=NB.? (8分 ) ? 思路分析 (1)連接 ON,由 OC=ON可得 ∠ DCB=∠ ONC,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜 邊的一半得出 CD=DB,進(jìn)而得出 ∠ DCB=∠ B,再推出 ON∥ AB,然后根據(jù)切線的性質(zhì)得出 ON⊥ NE,最后得到結(jié)論 。 (2)當(dāng) BQ=4? 時(shí) ,求優(yōu)弧 ? 的長(zhǎng) (結(jié)果保留 π)。. ∵ CE⊥ OA,∴∠ ACE=90176。, ∴ AB=? BC=2? , ∴ ☉ O的半徑為 ? .? (7分 ) 如圖 ,連接 OD, ? ∴ 陰影部分面積為 S扇形 OBDS△ OBD=? π(? )2? ? (? )2=? ? .? (8分 ) 33316 312 323?3347.(2022陜西 ,23,8分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。( PF+t). 解得 PF=? t(取正值 ). ∵ △ PFE∽ △ CBE, ∴ ? =? =? . 1 1 72??PECEBC1 7 14 ?6.(2022黑龍江齊齊哈爾 ,20,8分 )如圖 ,以△ ABC的邊 AB為直徑畫(huà)☉ O,交 AC于點(diǎn) D,半徑 OE∥ BD,連接 BE,DE,BD,設(shè) BE交 AC于點(diǎn) F,若 ∠ DEB=∠ DBC. (1)求證 :BC是☉ O的切線 。,∴ AB=? =6 cm. ∴ 當(dāng) AB=6 cm時(shí) ,BC與☉ A相切 . sin 3 0AD?3.(2022浙江紹興 ,14,5分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。. ∵ OA=OC,∴∠ 2=? (180176。sin 30176。. 17.(2022寧夏 ,23,8分 )已知△ ABC,以 AB為直徑的☉ O分別交 AC于 D,BC于 E,連接 ED=EC. (1)求證 :AB=AC。,所以 ∠ B+∠ C=115176。=110176。 解析 在☉ O中 ,∠ BOC=2∠ A=250176。,∴∠ D=61176。.∵∠ BCD=28176?！?CAB=90176。,因?yàn)?∠ CAB=60176。sin 60176。,則 ? 的長(zhǎng)是 ? ( ) ? C.? D.? AC︵2? 3?答案 B 因?yàn)樗倪呅?ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,∠ B=135176。 176。,∴∠ AOB=60176。=? OC=? ,∵∠ CBD39。關(guān)于直線 BC對(duì)稱(chēng) .∵∠ ABD39。=90176。 (2)連接 AF并延長(zhǎng) ,交☉ O于點(diǎn) : ① 當(dāng) ∠ D的度數(shù)為 時(shí) ,四邊形 ECFG為菱形 。 (2)若 OB=10,CD=8,求 BE的長(zhǎng) . ? 解析 (1)證明 :連接 OD,? (1分 ) ∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ OBD=∠ CBD. ∵ 點(diǎn) B,D在☉ O上 ,∴ OB=OD, ∴∠ ODB=∠ OBD,∴∠ ODB=∠ CBD,∴ OD∥ BC.? (3分 ) ∴∠ ODA=∠ C=90176。 (2)若 AC=2CD,設(shè)☉ O的半徑為 r,求 BD的長(zhǎng)度 . ? 解析 (1)證明 :連接 OD,∵ AG是 ∠ HAF的平分線 ,∴∠ CAD=∠ BAD, ∵ OA=OD,∴∠ OAD=∠ ODA,∴∠ CAD=∠ ODA,∴ OD∥ AC, ∵∠ ACD=90176。. ∵∠ AOD是△ ODP的外角 , ∴∠ AOD=∠ ODP+∠ P=128176。, ∴∠ ABC=90176。, 323∴∠ PDC=30176。,∴∠ ADC=110176。,又因?yàn)?AC是☉ O的切線 ,所以 OA⊥ AC,在 Rt△ OAC中 ,∠ C=90176。∠ B=50176。,再利用相似三角形的判定和性質(zhì)求出結(jié)果 . 2.(2022吉林 ,6,2分 )如圖 ,直線 l是☉ O的切線 ,A為切點(diǎn) ,B為直線 l上一點(diǎn) ,連接 OB交☉ O于點(diǎn) AB=12,OA=5,則 BC的長(zhǎng)為 ? ( ) ? 答案 D 因?yàn)?AB是圓 O的切線 ,所以 OA⊥ AB,由勾股定理可得 ,OB=13,又因?yàn)?OC=5,所以 BC= OBOC=135=8,故選 D. 3.(2022重慶 ,9,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) C在☉ O上 ,AE是☉ O的切線 ,A為切點(diǎn) ,連接 BC并延 長(zhǎng)交 AE于點(diǎn) ∠ AOC=80176。MN=? 2? 4=4? . 2212 1 2211.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,☉ O為銳角△ ABC的外接圓 ,半徑為 5. (1)用尺規(guī)作圖作出 ∠ BAC的平分線 ,并標(biāo)出它與劣弧 ? 的交點(diǎn) E(保留作圖痕跡 ,不寫(xiě)作法 )。. ? 答案 215 解析 連接 AO,CO,DO,則 ∠ COD=2∠ CAD=70176。. 評(píng)析 本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) ,圓周角定理 ,連接 OB,OD,利用圓周角定理是關(guān)鍵 ,屬容 易題 . 8.(2022新疆烏魯木齊 ,13,4分 )設(shè) I為△ ABC的外心 ,若 ∠ BIC=100176。,又點(diǎn) D在圓上 ,∴∠ BDC=? ∠ BOC=29176。,∠ ACD=50176。40176。, ∴ BD=OBcos 30176。,∵ CD∥ AB,∴∠ BAC= ∠ ACD=50176。② 利用等腰三角形及平行線的性質(zhì) ,可求 得 ∠ ODC的度數(shù) . 點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線性質(zhì) ,全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等 ,正確作出 輔助線是解題的關(guān)鍵 . B組 2022— 2022年全國(guó)中考題組 考點(diǎn)一 圓的有關(guān)概念及性質(zhì) 1.(2022陜西 ,9,3分 )如圖 ,△ ABC是☉ O的內(nèi)接三角形 ,AB=AC,∠ BCA=65176。. (2)① AE= : 如圖 ,連接 OE. ? ∵ CD=OA,∴ CD=OC=OE=OA, ∴∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4. ∵ AE∥ OC, ∴∠ 2=∠ 3. 設(shè) ∠ ODC=x,則 ∠ 2=∠ 3=∠ 4=x. ∴∠ AOE=∠ OCD=180176。, ∴ 四邊形 ABCD是矩形 , ∵ AD=CD, ∴ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AC⊥ BD. (2)連接 DO,并延長(zhǎng)交圓 O于 F,連接 CF、 BF. ∵ DF是直徑 , ∴∠ DCF=∠ DBF=90176。, ∴∠ B+∠ CAB=90176。,即 BC⊥ AC,∴ OQ⊥ AC. (3)∵ PC,則 0176。,當(dāng) ∠ ACE≥ 30176。, ∴∠ CDO=∠ OQB=90176。 (2)若 AD=2,AC=? ,求 AB的長(zhǎng) . 解析 (1)相切 .理由如下 : 連接 OC,∵ C為 ? 的中點(diǎn) , ∴∠ 1=∠ 2, ∵ OA=OC, ∴∠ 1=∠ ACO, ∴∠ 2=∠ ACO, ∴ AD∥ OC, ∵ CD⊥ AD, ∴ OC⊥ CD, ∴ 直線 CD與☉ O相切 . (2)∵∠ 1=∠ 2,∠ ADC=∠ ACB, ∴ △ ADC∽ △ ACB, ∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ AB=3. BE︵AC26616.(2022廈門(mén) ,26,11分 )已知 AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) C在☉ O上 ,點(diǎn) D在半徑 OA上 (不與點(diǎn) O,A重合 ). (1)如圖 1,若 ∠ COA=60176。(20176。. 3AB312一題多解 (1)證明 :易證 DF∥ BC,從而 CD=BF,且 ? =? =1,∴ PB=PC. (2)連接 OD,設(shè) ∠ BDE=x,則 ∠ EBD=90176。. 從而 BC=? AC=OD,∴ DH=OD. 在等腰三角形 DOH中 ,∠ DOH=∠ OHD=80176。,求 ∠ BDE的大小 . ? 圖 1 圖 2 3解析 (1)證明 :∵ AC是☉ O的直徑 ,∴∠ ABC=90176。. 11.(2022寧德 ,15,4分 )如圖 ,AB是半圓 O的直徑 ,OD⊥ AC,OD=2,則弦 BC的長(zhǎng)為 . 答案 4 解析 由垂徑定理知點(diǎn) D是 AC的中點(diǎn) ,∴ OD是△ ABC的中位線 ,∴ BC=4. 12.(2022三明 ,14,4分 )如圖 ,正五邊形 ABCDE內(nèi)接于☉ O,則 ∠ CAD= 度 . 答案 36 解析 ∵ 五邊形 ABCDE是正五邊形 ,∴ ? =? =? =? =? =72176。 當(dāng)☉ P與 x軸相切于點(diǎn) D時(shí) ,得 y=177。 176。 176。,則 ∠ A的大小為 ? ( ) ? 176。 及 ∠ ACB=50176。第五章 圓 圓的性質(zhì)及圓有關(guān)的位置關(guān)系 中考數(shù)學(xué) (福建專(zhuān)用 ) 1.(2022福建 ,9,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,BC與☉ O相切于點(diǎn) B,AC交☉ O于點(diǎn) ∠ ACB=50176?？傻? ∠ BAC=40176。 176。 176。 AB︵AC︵答案 D 連接 OC,∵ 在☉ O中 ,? =?, ∴∠ AOC=∠ AOB, ∵∠ AOB=50176。2, 把 y=177。,∴∠ CAD=? 72176。. 又 ∵ DE⊥ AB,∴∠ DEA=90176。, ∴∠ ODH=20176。x, 易證四邊形 BCDH為平行四邊形 , ∴ BC=DH=