【正文】 第五章 圓 圓的性質(zhì)及圓有關(guān)的位置關(guān)系 中考數(shù)學 (福建專用 ) 1.(2022福建 ,9,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,BC與☉ O相切于點 B,AC交☉ O于點 ∠ ACB=50176。, 則 ∠ BOD等于 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 A組 20222022年福建中考題組 五年中考 答案 D 由 BC與☉ O相切于點 B,可得 ∠ ABC=90176。,由三角形內(nèi)角和為 180176。 及 ∠ ACB=50176?？傻? ∠ BAC=40176。,由 OA=OD得 ∠ ODA=∠ BAC=40176。,由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi) 角的和可得 ∠ BOD=∠ ODA+∠ OAD=80176。. 2.(2022福建 ,8,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,C,D是☉ O上位于 AB異側(cè)的兩點 .下列四個角中 ,一定 與 ∠ ACD互余的角是 ? ( ) ? A.∠ ADC B.∠ ABD C.∠ BAC D.∠ BAD 答案 D ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ADB=90176。,∴∠ BAD+∠ B=90176。,易知 ∠ ACD=∠ B,∴∠ BAD+ ∠ ACD=90176。,故選 D. 3.(2022泉州 ,4,3分 )如圖 ,AB和☉ O切于點 B,∠ AOB=60176。,則 ∠ A的大小為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B ∵ AB是☉ O的切線 ,切點為 B,∴ OB⊥ AB, ∴∠ ABO=90176。,∵∠ AOB=60176。,∴∠ A=30176。,故選 B. 4.(2022三明 ,8,4分 )如圖 ,AB是☉ O的弦 ,半徑 OC⊥ AB于點 D,若☉ O的半徑為 5,AB=8,則 CD的長 是 ? ( ) ? 答案 A 已知 AB是☉ O的弦 ,半徑 OC⊥ AB于點 D,由垂徑定理可得 AD=BD=4,在 Rt△ ADO中 , 由勾股定理可得 OD=3,所以 CD=OCOD=53= A. 5.(2022福州 ,8,4分 )如圖 ,C,D分別是線段 AB,AC的中點 ,分別以點 C,D為圓心 ,BC長為半徑畫弧 , 兩弧交于點 M,測量 ∠ AMB的度數(shù) ,結(jié)果為 ? ( ) 176。 176。 176。 176。 答案 B 由作圖可知 ,點 M在以 AB為直徑的☉ C上 , 根據(jù)直徑所對的圓周角是直角 ,得 ∠ AMB=90176。.故選 B. 6.(2022廈門 ,10,4分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,D是邊 BC的中點 ,一個圓過點 A,交邊 AB于點 E,且 與 BC相切于點 D,則該圓的圓心是 ? ( ) AE的中垂線與線段 AC的中垂線的交點 AB的中垂線與線段 AC的中垂線的交點 AE的中垂線與線段 BC的中垂線的交點 AB的中垂線與線段 BC的中垂線的交點 答案 C 連接 AD,作 AE的中垂線交 AD于 O,連接 OE, ∵ AB=AC,D是邊 BC的中點 ,∴ AD⊥ BC. ∴ AD是 BC的中垂線 ,∵ BC是圓的切線 , ∴ AD必過圓心 ,∵ AE是圓的弦 , ∴ AE的中垂線必過圓心 , ∴ 該圓的圓心是線段 AE的中垂線與線段 BC的中垂線的交點 ,故選 C. ? 7.(2022莆田 ,8,4分 )如圖 ,在☉ O中 ,? =?, ∠ AOB=50176。,則 ∠ ADC的度數(shù)是 ? ( ) 176。 176。 176。 176。 AB︵AC︵答案 D 連接 OC,∵ 在☉ O中 ,? =?, ∴∠ AOC=∠ AOB, ∵∠ AOB=50176。, ∴∠ AOC=50176。, ∴∠ ADC=? ∠ AOC=25176。,故選 D. AB︵AC︵128.(2022漳州 ,9,4分 )已知☉ P的半徑為 2,圓心在函數(shù) y=? 的圖象上運動 ,當☉ P與坐標軸相切于 點 D時 ,符合條件的點 D的個數(shù)為 ? ( ) 8x答案 D 根據(jù)題意可知 ,當☉ P與 y軸相切于點 D時 ,得 x=177。2,把 x=177。2代入 y=? 得 y=177。4, ∴ D(0,4)或 (0,4)。 當☉ P與 x軸相切于點 D時 ,得 y=177。2, 把 y=177。2代入 y=? 得 x=177。4, ∴ D(4,0)或 (4,0), ∴ 符合條件的點 D的個數(shù)為 4,故選 D. 8x89.(2022泉州 ,15,4分 )如圖 ,☉ O的弦 AB、 CD相交于點 E,若 CE∶ BE=2∶ 3,則 AE∶ DE= . ? 答案 2∶ 3 解析 ∵ ☉ O的弦 AB、 CD相交于點 E,∠ A=∠ D,∠ C=∠ B,∴ △ ACE∽ △ DBE,∴ ? =? =? . DECEBE2310.(2022泉州 ,16,4分 )如圖 ,四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,點 E在 DC的延長線上 ,若 ∠ A=50176。,則 ∠ BCE = 176。. ? 答案 50 解析 ∵ 四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,∴∠ A+∠ BCD=180176。,又 ∵∠ BCD+∠ BCE=180176。,∴∠ BCE= ∠ A=50176。. 11.(2022寧德 ,15,4分 )如圖 ,AB是半圓 O的直徑 ,OD⊥ AC,OD=2,則弦 BC的長為 . 答案 4 解析 由垂徑定理知點 D是 AC的中點 ,∴ OD是△ ABC的中位線 ,∴ BC=4. 12.(2022三明 ,14,4分 )如圖 ,正五邊形 ABCDE內(nèi)接于☉ O,則 ∠ CAD= 度 . 答案 36 解析 ∵ 五邊形 ABCDE是正五邊形 ,∴ ? =? =? =? =? =72176。,∴∠ CAD=? 72176。=36176。. AB︵BC︵CD︵DE︵EA︵ 1213.(2022龍巖 ,15,3分 )如圖 ,A、 B、 C是半徑為 6的☉ O上三個點 ,若 ∠ BAC=45176。,則弦 BC= . 答案 6? 2解析 連接 OB,OC, ∵∠ BAC=45176。, ∴∠ BOC=2∠ BAC=90176。, ∵ OB=OC=6, ∴ BC=? =6? . ? 22OB OC?214.(2022福建 ,24,12分 )已知四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,AC是☉ O的直徑 ,DE⊥ AB,垂足 為 E. (1)延長 DE交☉ O于點 F,延長 DC,FB交于點 P,如圖 :PC=PB。 (2)過點 B作 BG⊥ AD,垂足為 G,BG交 DE于點 H,且點 O和點 A都在 DE的左側(cè) ,如圖 AB=? ,DH =1,∠ OHD=80176。,求 ∠ BDE的大小 . ? 圖 1 圖 2 3解析 (1)證明 :∵ AC是☉ O的直徑 ,∴∠ ABC=90176。. 又 ∵ DE⊥ AB,∴∠ DEA=90176。. ∴∠ DEA=∠ ABC,∴ BC∥ DF, ∴∠ F=∠ PBC. ∵ 四邊形 BCDF是圓內(nèi)接四邊形 , ∴∠ F+∠ DCB=180176。, 又 ∵∠ PCB+∠ DCB=180176。, ∴∠ F=∠ PCB,∴∠ PBC=∠ PCB, ∴ PC=PB. (2)連接 OD,∵ AC是☉ O的直徑 ,∴∠ ADC=90176。, ? 又 ∵ BG⊥ AD,∴∠ AGB=90176。,∴∠ ADC=∠ AGB,∴ BG∥ DC. 又由 (1)知 BC∥ DE,∴ 四邊形 DHBC為平行四邊形 ,∴ BC=DH=1. 在 Rt△ ABC中 ,AB=? ,tan∠ ACB=? =? , ∴∠ ACB=60176。,∠ CAB=30176。. 從而 BC=? AC=OD,∴ DH=OD. 在等腰三角形 DOH中 ,∠ DOH=∠ OHD=80176。, ∴∠ ODH=20176。. 設(shè) DE交 AC于 N.∵ BC∥ DE,∴∠ ONH=∠ ACB=60176。. ∴∠ NOH=180176。(∠ ONH+∠ OHD)=40176。, ∴∠ DOC=∠ DOH∠ NOH=40176。, ∴∠ CBD=∠ OAD=20176。. ∵ BC∥ DE,∴∠ BDE=∠ CBD=20176。. 3AB312一題多解 (1)證明 :易證 DF∥ BC,從而 CD=BF,且 ? =? =1,∴ PB=PC. (2)連接 OD,設(shè) ∠ BDE=x,則 ∠ EBD=90176。x, 易證四邊形 BCDH為平行四邊形 , ∴ BC=DH=1,∵ AB=? ,∴∠ CAB=30176。,AC=2, ∴∠ ADB=∠ ACB=60176。, ∵ OD=OA=1=DH, ∴∠ ODH=180176。2∠ OHD=180176。280176。=20176。, ∴∠ OAD=∠ ODA=∠ ADB(∠ ODH+x) =60176。(20176。+x)=40176。x. 又 ∵∠ AOD=2∠ ABD, ∴ 180176。2(40176。x)=2(90176。x),解得 x=20176。,即 ∠ BDE=20176。. CDBF3BE︵615.(2022漳州 ,23,10)如圖 ,AB為☉ O的直徑 ,點 E在☉ O上 ,C為 ? 的中點 ,過點 C作直線 CD⊥ AE 于 D,連接 AC、 BC. (1)試判斷直線 CD與☉ O的位置關(guān)系 ,并說明理由 。 (2)若 AD=2,AC=? ,求 AB的長 . 解析 (1)相切 .理由如下 : 連接 OC,∵ C為 ? 的中點 , ∴∠ 1=∠ 2, ∵ OA=OC, ∴∠ 1=∠ ACO, ∴∠ 2=∠ ACO, ∴ AD∥ OC, ∵ CD⊥ AD, ∴ OC⊥ CD, ∴ 直線 CD與☉ O相切 . (2)∵∠ 1=∠ 2,∠ ADC=∠ ACB, ∴ △ ADC∽ △ ACB, ∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ AB=3. BE︵AC26616.(2022廈門 ,26,11分 )已知 AB是☉ O的直徑 ,點 C在☉ O上 ,點 D在半徑 OA上 (不與點 O,A重合 ). (1)如圖 1,若 ∠ COA=60176。,∠ CDO=70176。,求 ∠ ACD的度數(shù) 。 (2)如圖 2,點 E在線段 OD上 (不與 O,D重合 ),CD、 CE的延長線分別交☉ O于點 F、 G,連接 BF,BG, 點 P是 CO的延長線與 BF的交點 ,若 CD=1,BG=2,∠ OCD=∠ OBG,∠ CFP=∠ CPF,求 CG的長 . 解析 (1)∵ OC=OA,∠ COA=60176。, ∴ △ ACO為等邊三角形 ,∴∠ CAO=60176。. ∵∠ CDO=∠ CAO+∠ ACD=70176。, ∴∠ ACD=10176。. (2)連接 AG,延長 CP交 BG于 Q,交☉ O于 H. ? ∵∠ 1=∠ 2,OC=OB,∠ OCD=∠ OBG, ∴ △ ODC≌ △ OQB. ∴ QB=CD=1. ∵ BG=2, ∴ GQ=BGQB=1, ∴ BQ=GQ. ∵ OH為半徑 , ∴ OH垂直平分 BG. ∴ ? =?, ∠ OQB=90176。, ∴∠ CDO=∠ OQB=90176。. ∵ OA為半徑 , ∴ OA垂直平分 CF, ∴ ?= ? . ∵∠ 6=∠ CPF,∠ 5=∠ CPF, ∴∠ 5=∠ 6, ∵∠ 3=∠ 7, ∴∠ 7+∠ 6=∠ 3+∠ 5=90176。, ∴∠ 4=∠ 7, ∴ ?=?. 易知 AG∥ CH, BH︵HG︵AC︵AF︵FG︵GH︵∴ ?=?= ? , ∴ ?+ ? =?+ ? ,即 ? =?, ∴ AG=GB. ∵ AB為☉ O的直徑 , ∴∠ AGB=90176。, ∴ △ ABG為等腰直角三角形 , ∴∠ ABG=45176。, ∴ △ OQB為等腰直角三角形 , ∴ OQ=QB=1, 在 Rt△ OQB中 ,OB=? =? . ∵ OC=OB=? , ∴ CQ=OC+OQ=? +1, 在 Rt△ CGQ中 ,CG=? =? . AC︵GH︵AF︵FG︵ ︵ ︵HB︵AG︵GB︵11?222 2( 2 1) 1??4 2?17.(2022廈門 ,27,12分 )已知四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,∠ ADC=90176。,∠ BCD90176。,對角線 CA平分 ∠ DCB,延長 DA,CB相交于點 E. (1)如圖 1,BE=AD,求證 :△ ABE是等腰直角三角形 。 (2)如圖 2,連接 OE,過點 E作直線 EF,使得 ∠ OEF=30176。,當 ∠ ACE≥ 30176。時 ,判斷直線 EF與☉ O的位 置關(guān)系 ,并說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ CA平分 ∠ DCB, ∴∠ ACD=∠ ACB. ∴ ?=?, ∴ AD=AB. ∵ BE=AD,∴ AB=BE. ∵∠ ADC=90176。,∴ AC是圓 O的直徑 ,∴∠ ABC=90176。, ∴∠ EBA=90176。, ∴ △ ABE是等腰直角三角形 . (2)直線 EF與☉ O相離 .理由如下 : ∵∠ BCD90176。,∠ ACD=∠ ACB,∠ ACE≥ 30176。, ∴