【正文】 1,∵ AB=? ,∴∠ CAB=30176。+x)=40176。,∠ CDO=70176。. ∵ OA為半徑 , ∴ OA垂直平分 CF, ∴ ?= ? . ∵∠ 6=∠ CPF,∠ 5=∠ CPF, ∴∠ 5=∠ 6, ∵∠ 3=∠ 7, ∴∠ 7+∠ 6=∠ 3+∠ 5=90176。時(shí) ,判斷直線 EF與☉ O的位 置關(guān)系 ,并說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ CA平分 ∠ DCB, ∴∠ ACD=∠ ACB. ∴ ?=?, ∴ AD=AB. ∵ BE=AD,∴ AB=BE. ∵∠ ADC=90176。∠ AEC≤ 30176。PQ=PB, ∵∠ EAC=∠ B, ∴∠ CAE+∠ BAC=90176。, ∴ FB⊥ DB, 又 ∵ AC⊥ BD, ∴ BF∥ AC,∠ BDC+∠ ACD=90176。2x. 在△ AOE與△ OCD中 , ? ∴ △ AOE≌ △ OCD(SAS), ∴ AE=OD. ② ∠ 6=∠ 1+∠ 2=2x. ∵ OE=OC,∴∠ 5=∠ 6=2x. ∵ AE∥ OC, ,O A O CA O E O C DO E C D???? ? ?????∴∠ 4+∠ 5+∠ 6=180176。,作 CD∥ AB,并與☉ O 相交于點(diǎn) D,連接 BD,則 ∠ DBC的大小為 ? ( ) ? 176。,根據(jù)圓周角定理的推論得 ∠ ABD=∠ ACD=50176。=2? ,∴ BC=2BD=4? ,故選 B. 180 2 BOC???3 34.(2022廣西南寧 ,9,3分 )如圖 ,點(diǎn) A,B,C,P在☉ O上 ,CD⊥ OA,CE⊥ OB,垂足分別為 D,E,∠ DCE=40176。=140176。,∴∠ ADB=180176。. AB︵BC︵ 1思路分析 連接 OC,由 ? 與 ? 相等可得圓心角 ∠ AOB=∠ BOC,再根據(jù)同弧所對(duì)的的圓周角 是圓心角的一半即可求得 ∠ BDC的度數(shù) . ︵ ︵7.(2022吉林 ,13,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,∠ DAB=130176。,則 ∠ A的度數(shù)為 . 答案 50176。,又因?yàn)?∠ B=? (∠ AOD+∠ COD),∠ E=? (∠ AOC+∠ COD),所以 ∠ B+∠ E=? (∠ AOD+∠ COD+∠ AOC+∠ COD)=? (360176。 (2)若 (1)中的點(diǎn) E到弦 BC的距離為 3,求弦 CE的長(zhǎng) . ? BC︵解析 (1)尺規(guī)作圖如圖所示 .? (4分 ) ? (2)連接 OE交 BC于 M,連接 OC. 因?yàn)?∠ BAE=∠ CAE,所以 ? =?, 易得 OE⊥ BC,所以 EM=3. Rt△ OMC中 ,OM=OEEM=53=2,OC=5, 所以 MC2=OC2OM2=254=21. Rt△ EMC中 ,CE2=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦 CE的長(zhǎng)為 ? .? (10分 ) BE︵EC︵30思路分析 對(duì)于 (2),連接 OE交 BC于點(diǎn) M,再連接 OC,由 ∠ BAE=∠ CAE可得 ? =?, 可推出 OE ⊥ BC,最后利用勾股定理求出 CE. BE︵EC︵12.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AD=BC,∠ B=∠ D,AD? 于 BC,過點(diǎn) C作 CE∥ AD交△ ABC的外接圓 O于點(diǎn) E,連接 AE. (1)求證 :四邊形 AECD為平行四邊形 。,則 ∠ ADB的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。,故 選 B. 124.(2022江蘇南京 ,6,2分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=4,AD=5,AD、 AB、 BC分別與☉ O相切于 E、 F、 G三點(diǎn) ,過點(diǎn) D作☉ O的切線交 BC于點(diǎn) M,切點(diǎn)為 N,則 DM的長(zhǎng)為 ? ( ) ? A.? B.? C.? ? ? 13392 43 135答案 A 在矩形 ABCD中 ,☉ O分別與邊 AD、 AB、 BC相切 ,又 DM為☉ O的切線 ,所以由切線 長(zhǎng)定理得 AE=AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知 BG=2,DN=3,設(shè) MN=MG=x,在 Rt△ DCM中 ,DM2=MC2+DC2,即 (3+x)2=(3x)2+42,解得 x=? ,則 DM=3+? =? .故選 A. 4 43 35.(2022天津 ,7,3分 )如圖 ,AB是☉ O的弦 ,AC是☉ O的切線 ,A為切點(diǎn) ,BC經(jīng)過圓心 ,若 ∠ B=25176?！?AOC =40176。,∴∠ ODC=60176。, ∴ PQ=DQ38176。. ∴∠ ACD=? ∠ AOD=64176。,∴∠ ODB=∠ ACD=90176。, ∴ OD⊥ AC.? (4分 ) 又 ∵ 點(diǎn) D在☉ O上 ,∴ AC是☉ O的切線 .? (5分 ) ? (2)過點(diǎn) O作 OF⊥ BC于點(diǎn) F, ∴ BF=EF,∠ OFC=90176。 ② 當(dāng) ∠ D的度數(shù)為 時(shí) ,四邊形 ECOG為正方形 . ? 解析 (1)證明 :連接 OC. ∵ CE是☉ O的切線 ,∴ OC⊥ CE. ∴∠ FCO+∠ ECF=90176。.連接 BD39。=90176。=45176。,∵ OA=OB,∴ △ OAB是等邊三角形 ,∴ AB=5.∵ PB=AB=OA=OP,∴ OB ⊥ AP,∴ AP=2AB 答案 D 如圖 ,在優(yōu)弧 AC上任取一點(diǎn) D,連接 AD、 CD.∵∠ AOC=100176。,所以 ∠ D=45176。=? , OD=OB,弦 AD平分 ∠ CAB,所以 ∠ BAD=30176。40176。, ∴∠ ACD=90176。,∵ ∠ ACB+∠ D=180176。=100176。. 評(píng)析 本題考查同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理的推論 ,屬容易題 . 14.(2022上海 ,17,4分 )在矩形 ABCD中 ,AB=5,BC=12,點(diǎn) A在☉ B上 .如果☉ D與☉ B相交 ,且點(diǎn) B在 ☉ D內(nèi) ,那么☉ D的半徑長(zhǎng)可以等于 .(只需寫出一個(gè)符合要求的數(shù) ) 答案 14(大于 13且小于 18的數(shù) ) 解析 由題意可知☉ B的半徑長(zhǎng)為 5,BD=13,由點(diǎn) B在☉ D內(nèi) ,得☉ D的半徑長(zhǎng) r☉ B與☉ D 相交 ,所以 8r18,所以 13r18,我們?nèi)〉臄?shù)字在這個(gè)范圍內(nèi)就可以了 . 評(píng)析 本題重點(diǎn)考查點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系 ,圓與圓之間的位置關(guān)系 ,題目雖小 ,但知識(shí)點(diǎn)眾 多 ,需要學(xué)生有較強(qiáng)的綜合應(yīng)用能力 ,屬于中等難度題 . 15.(2022湖北黃岡 ,14,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,弦 CD垂直于直徑 AB于點(diǎn) E,若 ∠ BAD=30176。,因?yàn)?BO=OD,CO=EO,所以 ∠ BDO=∠ B,∠ OEC=∠ C, 所以 ∠ BDO+∠ OEC=∠ B+∠ C=115176。 (2)若 AB=4,BC=2? ,求 CD的長(zhǎng) . ? 3解析 (1)證明 :∵ ED=EC, ∴∠ CDE=∠ C, 又 ∵ 四邊形 ABED是☉ O的內(nèi)接四邊形 , ∴∠ CDE=∠ B,∴∠ B=∠ C, ∴ AB=AC.? (4分 ) (2)連接 AE,則 AE⊥ BC, ? ∴ BE=EC=? BC, 在△ ABC與△ EDC中 ,∵∠ C=∠ C,∠ CDE=∠ B, ∴ △ ABC∽ △ EDC,? (6分 ) 12∴ ? =? ,得 DC=? =? , 由 AB=4,BC=2? ,得 DC=? =? .? (8分 ) ABDEBCBC DEAB?22BC3 2( 2 3 )24?32評(píng)析 本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) ,三角形相似的判定與性質(zhì) .屬中檔題 . 18.(2022安徽 ,20,10分 )在☉ O中 ,直徑 AB=6,BC是弦 ,∠ ABC=30176。=? . ∴ PQ長(zhǎng)的最大值為 ? =? .? (10分 ) 3 22OQ OP?3 ( 3)?6322392??? ????33219.(2022遼寧沈陽 ,22,10分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的外接圓 ,AB為直徑 ,OD∥ BC交☉ O于點(diǎn) D,交 AC 于點(diǎn) E,連接 AD,BD,CD. (1)求證 :AD=CD。∠ 1)=65176。,BC=3,AC=4,點(diǎn) P在以 C為圓心 ,5為半徑的圓 上 ,連接 PA , PB=4,則 PA的長(zhǎng)為 . 答案 3或 ? 73解析 由題意可知點(diǎn) P是以 C為圓心 ,5為半徑的圓和以 B為圓心 ,4為半徑的圓的交點(diǎn) ,連接 BP1, CP1,因?yàn)?B? +BC2=C? ,所以 CB⊥ BP1,同理 ,CB⊥ BP2,所以 B,P1,P2三點(diǎn)共線 ,因?yàn)?AC⊥ BC,BC⊥ BP1,AC=BP1=4,所以四邊形 ACBP1是矩形 ,所以 AP1=3,在 Rt△ AP1P2中 ,由勾股定理得 AP2= ? =? . ? 21P 21 2283?731454.(2022浙江溫州 ,16,5分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AD=8,E是邊 AB上一點(diǎn) ,且 AE=? AB.☉ O經(jīng)過 點(diǎn) E,與邊 CD所在直線相切于點(diǎn) G(∠ GEB為銳角 ),與邊 AB所在直線相交于另一點(diǎn) F,且 EG∶ EF =? ∶ AD或 BC所在的直線與☉ O相切時(shí) ,AB的長(zhǎng)是 . 答案 4或 12 解析 如圖 ,連接 EO,連接 GO并延長(zhǎng) ,交 EF于 N點(diǎn) ,則 GN⊥ AB.∴ EN=NF. 又 ∵ EG∶ EF=? ∶ 2, ∴ EG∶ EN=? ∶ 1. 又 ∵ GN=AD=8, ∴ 設(shè) EN=x,則 GE=? x,根據(jù)勾股定理得 (? x)2x2=64,解得 x=4,∴ GE=4? . 設(shè)☉ O的半徑為 r,由 OE2=EN2+ON2得 r2=16+(8r)2, ∴ r=5. 設(shè) BC所在的直線與☉ O相切于 K點(diǎn) ,連接 OK. ∴ OK=NB=5,∴ EB=9. 又 AE=? AB, ∴ AB=12. 當(dāng) AD與☉ O相切時(shí) ,同理可求出 AB=4. 5555 514評(píng)析 本題考查了切線的性質(zhì)以及勾股定理和垂徑定理的綜合應(yīng)用 ,解答本題的關(guān)鍵在于正 確添加輔助線 ,并進(jìn)行分類討論 ,利用勾股定理求出對(duì)應(yīng)圓的半徑 . 5.(2022湖北武漢 ,21,8分 )如圖 ,PA是☉ O的切線 ,A是切點(diǎn) ,AC是直徑 ,AB是弦 ,連接 PB、 PC,PC 交 AB于點(diǎn) E,且 PA =PB. (1)求證 :PB是☉ O的切線 。 (2)若 BF=BC=2,求圖中陰影部分的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ ADB=90176。,以斜邊 AB上的中線 CD為直徑作☉ O,分別 與 AC、 BC相交于點(diǎn) M,N. (1)過點(diǎn) N作☉ O的切線 NE與 AB相交于點(diǎn) E,求證 :NE⊥ AB。. ∴∠ OBA+∠ EBD=∠ A+∠ AEC=90176。后得到扇形 COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧 ? 于點(diǎn) P,Q,且點(diǎn) P,Q在 AB異側(cè) ,連接 OP. (1)求證 :AP=BQ。. ∵∠ ACB=90176。,? (1分 ) 又 ∵∠ A=∠ DEB,∠ DEB=∠ DBC, ∴∠ A=∠ DBC,? (2分 ) ∴∠ DBC+∠ ABD=90176。, ∴ PB是☉ O的切線 . 證法二 :連接 OB. ∵ PA是☉ O的切線 ,∴∠ PAO=90176。∠ 2=180176。. 又 ∵ OD∥ BC,∴∠ AEO=∠ ACB=90176。 (2)如圖 2,當(dāng)點(diǎn) P在 BC上移動(dòng)時(shí) ,求 PQ長(zhǎng)的最大值 . ? 解析 (1)∵ OP⊥ PQ,PQ∥ AB, ∴ OP⊥ AB. 在 Rt△ OPB中 , OP=OB∠ BDO)+(180176。,因?yàn)?∠ BOD是△ OAD的外角 ,所以 ∠ BOD =∠ ODA+∠ OAD=60176?！?BOC=180176。. ? 12.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,18,3分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的外接圓 ,AD是☉ O的直徑 ,若☉ O的半徑是 4, sin B=? ,則線段 AC的長(zhǎng)為 . ? 14答案 2 解析 連接 CD,在☉ O中 ,因?yàn)?AD為直徑 ,所以 ∠ ACD=90176。=62176。.∵ ? =? ,∴∠ ABD=∠ CBD=? ∠ ABC=25176。,所以 AB=? =? =4? .在 Rt△ ABC中 ,AC=ABcos 60176。cos 60176。, 所以 ? 的長(zhǎng)是 ? =π,故選 B. ? AC︵90 2180??5.(2022上海 ,6,4分 )如圖 ,已知在☉ O中 ,AB是弦 ,半徑 OC⊥ AB,垂足為點(diǎn) D,要使四邊形 OACB為 菱形 ,還需添加一個(gè)條件 ,這個(gè)條件可以是 ? ( ) ? =BD =CD C.∠ CAD=∠ CBD D.∠ OCA=∠ OCB 答案 B 根據(jù)垂徑定理知 OD垂直平分 AB,所以添加 OD=CD,即可判定四邊形 OACB是菱形 , 故選 B. 6.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,6,3分 )已知☉ O的面積為 2π,則其內(nèi)接正三角形的面積為 ? ( ) ? ? C.? D.? ? 3633232 6答案 C 如圖所示 ,連接 OB、 OC,過 O作 OD⊥ BC于 D, ∵ ☉ O的面積為 2π, ∴ ☉ O的半徑為 ? . ∵ △