【文章內(nèi)容簡介】 176。,又因為 ∠ B=? (∠ AOD+∠ COD),∠ E=? (∠ AOC+∠ COD),所以 ∠ B+∠ E=? (∠ AOD+∠ COD+∠ AOC+∠ COD)=? (360176。+70176。)=215176。. 12 1212 12評析 本題考查同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系 . 10.(2022陜西 ,16,3分 )如圖 ,☉ O的半徑是 l與☉ O相交于 A、 B兩點 ,M、 N是☉ O上的兩個 動點 ,且在直線 l的異側(cè) .若 ∠ AMB=45176。,則四邊形 MANB面積的最大值是 . ? 答案 4? 2解析 連接 OA, MANB面積的最大值取決于三角形 ABM和三角形 ABN的面積的最大 值 .當(dāng)點 M,N分別位于優(yōu)弧 AB和劣弧 AB的中點時 ,四邊形 MANB的面積取最大值 .連接 MN,此時 MN為☉ O的直徑 ,故 MN=4, ∵∠ AMB=45176。, ∴∠ AOB=90176。,所以 AB=? OA=2? . 故四邊形 MANB面積的最大值為 ? ABMN=? 2? 4=4? . 2212 1 2211.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,☉ O為銳角△ ABC的外接圓 ,半徑為 5. (1)用尺規(guī)作圖作出 ∠ BAC的平分線 ,并標(biāo)出它與劣弧 ? 的交點 E(保留作圖痕跡 ,不寫作法 )。 (2)若 (1)中的點 E到弦 BC的距離為 3,求弦 CE的長 . ? BC︵解析 (1)尺規(guī)作圖如圖所示 .? (4分 ) ? (2)連接 OE交 BC于 M,連接 OC. 因為 ∠ BAE=∠ CAE,所以 ? =?, 易得 OE⊥ BC,所以 EM=3. Rt△ OMC中 ,OM=OEEM=53=2,OC=5, 所以 MC2=OC2OM2=254=21. Rt△ EMC中 ,CE2=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦 CE的長為 ? .? (10分 ) BE︵EC︵30思路分析 對于 (2),連接 OE交 BC于點 M,再連接 OC,由 ∠ BAE=∠ CAE可得 ? =?, 可推出 OE ⊥ BC,最后利用勾股定理求出 CE. BE︵EC︵12.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AD=BC,∠ B=∠ D,AD? 于 BC,過點 C作 CE∥ AD交△ ABC的外接圓 O于點 E,連接 AE. (1)求證 :四邊形 AECD為平行四邊形 。 (2)連接 CO,求證 :CO平分 ∠ BCE. ? ???不 平 行證明 (1)∵∠ B=∠ D,∠ B=∠ E,∴∠ D=∠ E. ∵ CE∥ AD,∴∠ E+∠ DAE=180176。. ∴∠ D+∠ DAE=180176。.∴ AE∥ DC. ∴ 四邊形 AECD是平行四邊形 .? (5分 ) (2)過點 O作 OM⊥ EC,ON⊥ BC,垂足分別為 M、 N. ∵ 四邊形 AECD是平行四邊形 ,∴ AD=EC. 又 AD=BC,∴ EC=BC, ∴ OM=ON,∴ CO平分 ∠ BCE.? (10分 ) 思路分析 (1)根據(jù)“在同一個圓中同一段弧所對的圓周角相等”可推出 ∠ E=∠ B,再由 ∠ D= ∠ B,CE∥ AD可推出 AE∥ DC,問題得證 。(2)作 OM⊥ CE,ON⊥ BC,垂足分別為 M、 N,由已知及 (1) 得出 CE=BC,再根據(jù)“同一個圓內(nèi)等弦對應(yīng)的弦心距相等”可得 OM=ON,從而由角平分線的 判定定理可得結(jié)論 . 解題關(guān)鍵 抓住“在同一個圓中同一段弧所對的圓周角相等及同圓內(nèi)等弦對應(yīng)的弦心距相 等”是解決本題的關(guān)鍵 . 考點二 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 1.(2022重慶 ,9,4分 )如圖 ,已知 AB是☉ O的直徑 ,點 P在 BA的延長線上 ,PD與☉ O相切于點 D,過點 B作 PD的垂線交 PD的延長線于點 ☉ O的半徑為 4,BC=6,則 PA的長為 ? ( ) ? ? 3答案 A 連接 DO,∵ PD與☉ O相切于點 D,∴∠ PDO=90176。.∵ BC⊥ PC,∴∠ PCB=90176。,∴ DO∥ BC,∴ △ POD∽ △ PBC,∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ PA =4,故選 A. POPBODBC48PA??46思路分析 利用切線的性質(zhì)得出 ∠ PDO=90176。,再利用相似三角形的判定和性質(zhì)求出結(jié)果 . 2.(2022吉林 ,6,2分 )如圖 ,直線 l是☉ O的切線 ,A為切點 ,B為直線 l上一點 ,連接 OB交☉ O于點 AB=12,OA=5,則 BC的長為 ? ( ) ? 答案 D 因為 AB是圓 O的切線 ,所以 OA⊥ AB,由勾股定理可得 ,OB=13,又因為 OC=5,所以 BC= OBOC=135=8,故選 D. 3.(2022重慶 ,9,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,點 C在☉ O上 ,AE是☉ O的切線 ,A為切點 ,連接 BC并延 長交 AE于點 ∠ AOC=80176。,則 ∠ ADB的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B ∵ AE是☉ O的切線 ,∴∠ BAE=90176。,∵∠ B=? ∠ AOC=40176。,∴∠ ADB=90176?！?B=50176。,故 選 B. 124.(2022江蘇南京 ,6,2分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=4,AD=5,AD、 AB、 BC分別與☉ O相切于 E、 F、 G三點 ,過點 D作☉ O的切線交 BC于點 M,切點為 N,則 DM的長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? ? ? 13392 43 135答案 A 在矩形 ABCD中 ,☉ O分別與邊 AD、 AB、 BC相切 ,又 DM為☉ O的切線 ,所以由切線 長定理得 AE=AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知 BG=2,DN=3,設(shè) MN=MG=x,在 Rt△ DCM中 ,DM2=MC2+DC2,即 (3+x)2=(3x)2+42,解得 x=? ,則 DM=3+? =? .故選 A. 4 43 35.(2022天津 ,7,3分 )如圖 ,AB是☉ O的弦 ,AC是☉ O的切線 ,A為切點 ,BC經(jīng)過圓心 ,若 ∠ B=25176。,則 ∠ C的大小等于 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C 連接 OA,☉ O中 ,OA=OB,所以 ∠ B=∠ BAO=25176。,因為 ∠ AOC是△ OAB的外角 ,所以 ∠ AOC=∠ B+∠ BAO=50176。,又因為 AC是☉ O的切線 ,所以 OA⊥ AC,在 Rt△ OAC中 ,∠ C=90176?！?AOC =40176。,故選 C. ? 6.(2022黑龍江哈爾濱 ,18,3分 )如圖 ,AB為☉ O的直徑 ,直線 l與☉ O相切于點 C,AD⊥ l,垂足為 D, AD交☉ O于點 E,連接 OC、 AE=6,OA=5,則線段 DC的長為 . ? 答案 4 解析 設(shè) OC與 BE相交于點 F, ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ AEB=90176。, ∵ AO=5,∴ AB= Rt△ AEB中 ,AE=6, ∴ BE=? =8. ∵ 直線 l是☉ O的切線 ,∴ OC⊥ CD, 又 ∵ AD⊥ CD,AE⊥ EB, ∴ 四邊形 CDEF為矩形 , ∴ DC=EF=? BE=4. ? 22AB AE?127.(2022浙江寧波 ,17,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=8,AD=12,過 A,D兩點的☉ O與 BC邊相切于 點 E,則☉ O的半徑為 . ? 答案 ? 254解析 連接 EO,并延長交 AD于點 H,連接 AO. ? ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,☉ O與 BC邊相切于點 E, ∴ EH⊥ BC,∵ AD∥ BC,∴ EH⊥ ,得 AH=DH. ∵ AB=8,AD=12,∴ AH=6,HE=8. 設(shè)☉ O的半徑為 r,則 AO=r,OH=8r. 在 Rt△ OAH中 ,由勾股定理得 (8r)2+62=r2,解得 r=? . ∴ ☉ O的半徑為 ? . 2542548.(2022北京 ,22,5分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,過☉ O外一點 P作☉ O的兩條切線 PC,PD,切點分別 為 C,D,連接 OP,CD. (1)求證 :OP⊥ CD。 (2)連接 AD,BC,若 ∠ DAB=50176。,∠ CBA=70176。,OA=2,求 OP的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ PC,PD是☉ O的兩條切線 , ∴ PD=PC,∠ OPD=∠ OPC, ∴ OP⊥ CD. (2)設(shè) OP與 CD交于點 Q,連接 OD. ∵ OD=OA,∴∠ ODA=∠ OAD=50176。, ∵∠ CBA=70176。,∴∠ ADC=110176。,∴∠ ODC=60176。. 又 ∵ OP⊥ CD,∴∠ OQD=90176。, ∴ OQ=ODsin 60176。=2? =? ,DQ=ODcos 60176。=1. ∵ PD是切線 ,∴∠ PDO=90176。, 323∴∠ PDC=30176。, ∴ PQ=DQtan 30176。=1? =? . ∴ OP=PQ+QO=? . 33 33433思路分析 本題第 (1)問可以通過切線的相關(guān)定理和等腰三角形“三線合一”來解決 .本題第 (2)問需要添加輔助線構(gòu)造三角形來推導(dǎo)角的度數(shù) ,借助特殊角的三角函數(shù)解決問題 . 9.(2022天津 ,21,10分 )已知 AB是☉ O的直徑 ,弦 CD與 AB相交 ,∠ BAC=38176。. (1)如圖① ,若 D為 ? 的中點 ,求 ∠ ABC和 ∠ ABD的大小 。 (2)如圖② ,過點 D作☉ O的切線 ,與 AB的延長線交于點 P,若 DP∥ AC,求 ∠ OCD的大小 . ? ︵解析 (1)∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ ACB=90176。. ∴∠ BAC+∠ ABC=90176。. 又 ∠ BAC=38176。, ∴∠ ABC=90176。38176。=52176。. 由 D為 ? 的中點 ,得 ? =?. ∴∠ ACD=∠ BCD=? ∠ ACB=45176。. ∴∠ ABD=∠ ACD=45176。. (2)如圖 ,連接 OD. ? ∵ DP切☉ O于點 D, ∴ OD⊥ DP,即 ∠ ODP=90176。. AB︵ AD︵BD︵12由 DP∥ AC,又 ∠ BAC=38176。, ∴∠ P=∠ BAC=38176。. ∵∠ AOD是△ ODP的外角 , ∴∠ AOD=∠ ODP+∠ P=128176。. ∴∠ ACD=? ∠ AOD=64176。. 又 OA=OC,得 ∠ ACO=∠ BAC=38176。. ∴∠ OCD=∠ ACD∠ ACO=64176。38176。=26176。. 12思路分析 (1)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角 ,等弧所對的圓周角相等可以求解 。(2)連接 OD,根 據(jù)平行線的性質(zhì) ,圓的切線的性質(zhì)求得 ∠ P,∠ AOD的度數(shù) ,即可求得 ∠ OCD的大小 . 10.(2022烏魯木齊 ,23,10分 )如圖 ,AG是 ∠ HAF的平分線 ,點 E在 AF上 ,以 AE為直徑的☉ O交 AG于 點 D,過點 D作 AH的垂線 ,垂足為點 C,交 AF于點 B. (1)求證 :直線 BC是☉ O的切線 。 (2)若 AC=2CD,設(shè)☉ O的半徑為 r,求 BD的長度 . ? 解析 (1)證明 :連接 OD,∵ AG是 ∠ HAF的平分線 ,∴∠ CAD=∠ BAD, ∵ OA=OD,∴∠ OAD=∠ ODA,∴∠ CAD=∠ ODA,∴ OD∥ AC, ∵∠ ACD=90176。,∴∠ ODB=∠ ACD=90176。,即 OD⊥ CB, ∵ D在☉ O上 ,∴ 直線 BC是☉ O的切線 .? (4分 ) ? (2)在 Rt△ ACD中 ,設(shè) CD=a(a0), 則 AC=2a,AD=? a, 連接 DE,∵ AE是☉ O的直徑 ,∴∠ ADE=90176。, 由 ∠ CAD=∠ BAD,∠ ACD=∠ ADE=90176。, 得△ ACD∽ △ ADE,∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ a=? r, 5ADAEAC52 ar25aa45由 (1)知 ,OD∥ AC,∴ ? =? ,即 ? =? , ∵ a=? r,∴ BD=? r.? (10分 ) BDBCODACBDBD a?2ra45 43思路分析 (1)連接 OD,利用平行線的判定以及等腰三角形的性質(zhì)證明 OD∥ AC,從而證明直 線 BC是圓 O的切線 。(2)連接 DE,由 AE是圓 O的直徑可推 ∠ ADE=90176。,進一步可證△ ACD∽ △ ADE,再結(jié)合 (1)列等式即可求出 BD的長 . 11.(2022廣西南寧 ,23,8分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,BD是角平分線 ,點 O在 AB上 ,以點 O為圓 心 ,OB為半徑的圓經(jīng)過點 D,交 BC于點 E. (1)求證 :AC是☉ O的切線 。 (2)若 OB=10,CD=8,求 BE的長 . ? 解析 (1)證明 :連接 OD,? (1分 ) ∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ OBD=∠ CBD. ∵ 點 B,D在☉ O上 ,∴ OB=OD, ∴∠ ODB=∠