【正文】 . ∵ OA=OB,∴∠ A=∠ OBA, ∴∠ EBD=∠ AEC. 又 ∵∠ AEC=∠ BED,∴∠ BED=∠ EBD,∴ DB=DE. (2)如圖 ,連接 OE,則 OE⊥ AB,AE=BE=6. 過點 D作 DM⊥ AB于點 M, ∵ DE=DB,∴ BM=? BE=3, 在 Rt△ BMD中 ,由勾股定理得 ,DM=4. 易證 ∠ OBE=∠ BDM,又 ∠ BEO=∠ DMB, 12∴ Rt△ OBE∽ Rt△ BDM, ∴ ? =? , ∴ OB=? . BD1529.(2022河北 ,23,9分 )如圖 ,AB=16,O是 AB的中點 ,點 C在線段 OB上 (不與點 O,B重合 ),將 OC繞點 O 逆時針旋轉 270176。 (2)連接 MD,求證 :MD=NB. ? 解析 (1)連接 ON,則 OC=ON. ∴∠ DCB=∠ ONC. ∵ 在 Rt△ ABC中 ,D為斜邊 AB的中點 , ∴ CD=DB, ∴∠ DCB=∠ B, ∴∠ ONC=∠ B, ∴ ON∥ AB.? (2分 ) ∵ NE是☉ O的切線 , ∴ NE⊥ ON, ∴ NE⊥ AB.? (4分 ) (2)連接 ND,則 ∠ CND=∠ CMD=90176。, ∴∠ A+∠ ABD=90176。 (2)若 ∠ APC=3∠ BPC,求 ? 的值 . ? PECE解析 (1)證法一 :連接 OP,OB. 在△ OAP和△ OBP中 ,? ∴ △ OAP≌ △ OBP, ∴∠ OAP=∠ OBP, ∵ PA是☉ O的切線 ,∴∠ OBP=∠ OAP=90176。. ∴∠ BEC=180176。 (2)若 AB=10,cos∠ ABC=? ,求 tan∠ DBC的值 . ? 35解析 (1)證明 :∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。,點 P在 BC上 ,點 Q在☉ O上 ,且 OP ⊥ PQ. (1)如圖 1,當 PQ∥ AB時 ,求 PQ長 。,所以 ∠ ADO+∠ AEO=(180176。,且 BE=2,則 CD= . ? 答案 4? 3解析 連接 OD,則 OA=OD,所以 ∠ ODA=∠ OAD=30176。,所以 ∠ DOB=180176。,∴∠ ACB=119176。28176。=50176。,因為 ? =cos 30176。cos∠ BOD=? . 連接 OA、 OC,則 ∠ AOC=2∠ D=90176。,∴∠ ADC=? ∠ AOC=5 0176。cos 30176。, BD39。,∴∠ ABC=∠ CBD39。,CD39。. ∵ DO⊥ AB,∴∠ B+∠ BFO=90176。.? (6分 ) 又 ∵∠ C=∠ ODC=90176。,即 OD⊥ CB, ∵ D在☉ O上 ,∴ 直線 BC是☉ O的切線 .? (4分 ) ? (2)在 Rt△ ACD中 ,設 CD=a(a0), 則 AC=2a,AD=? a, 連接 DE,∵ AE是☉ O的直徑 ,∴∠ ADE=90176。. 又 OA=OC,得 ∠ ACO=∠ BAC=38176。=52176。tan 30176。. 又 ∵ OP⊥ CD,∴∠ OQD=90176。,故選 C. ? 6.(2022黑龍江哈爾濱 ,18,3分 )如圖 ,AB為☉ O的直徑 ,直線 l與☉ O相切于點 C,AD⊥ l,垂足為 D, AD交☉ O于點 E,連接 OC、 AE=6,OA=5,則線段 DC的長為 . ? 答案 4 解析 設 OC與 BE相交于點 F, ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ AEB=90176。,則 ∠ C的大小等于 ? ( ) ? 176。 176。 (2)連接 CO,求證 :CO平分 ∠ BCE. ? ???不 平 行證明 (1)∵∠ B=∠ D,∠ B=∠ E,∴∠ D=∠ E. ∵ CE∥ AD,∴∠ E+∠ DAE=180176。+70176?；?130176。,連接 P是半徑 OC上任意 一點 ,連接 DP,BP,則 ∠ BPD可能為 度 (寫出一個即可 ). 答案 60(答案不唯一 ,大于等于 50且小于等于 100即可 ) 解析 連接 OB,OD, ∵ 四邊形 ABCD是圓內接四邊形 , ∴∠ DAB+∠ DCB=180176。30176。.∴∠ P=? ∠ AOB=70176。,則 ∠P的度數為 ? ( ) ? 176。,所以 ∠ DBC=∠ ABC∠ ABD=65176。 176。,即 x+2x+2x=180176。, ∵∠ FCA+∠ ACD=90176。, 即 BA⊥ AE. ∴ AE是☉ O的切線 . (2)連接 CO, ∵ AB=6, ∴ AO=3, ∵∠ D=60176。PA ,∴ ? PQ2=26,∴ PQ=2? . 22P OQ?2242?3312 6思路分析 (1)連接 OQ,利用切線的性質和勾股定理來求 PQ的長度 。. ∴ AE≥ AC. ∵∠ EAC是鈍角 ,∴∠ EAC∠ AOE,∴ OEAE, ∴ OEAC. 作 OH⊥ EF于 H,如圖所示 , ︵ ︵在 Rt△ OEH中 ,∵∠ OEH=30176。,∴ AC是圓 O的直徑 ,∴∠ ABC=90176。, ∴∠ 4=∠ 7, ∴ ?=?. 易知 AG∥ CH, BH︵HG︵AC︵AF︵FG︵GH︵∴ ?=?= ? , ∴ ?+ ? =?+ ? ,即 ? =?, ∴ AG=GB. ∵ AB為☉ O的直徑 , ∴∠ AGB=90176。,求 ∠ ACD的度數 。x. 又 ∵∠ AOD=2∠ ABD, ∴ 180176。,AC=2, ∴∠ ADB=∠ ACB=60176。. 設 DE交 AC于 N.∵ BC∥ DE,∴∠ ONH=∠ ACB=60176。. ∴∠ DEA=∠ ABC,∴ BC∥ DF, ∴∠ F=∠ PBC. ∵ 四邊形 BCDF是圓內接四邊形 , ∴∠ F+∠ DCB=180176。=36176。2代入 y=? 得 x=177。, ∴∠ AOC=50176。 176。 176。,由 OA=OD得 ∠ ODA=∠ BAC=40176。, 則 ∠ BOD等于 ? ( ) ? 176。,由三角形內角和為 180176。,故選 D. 3.(2022泉州 ,4,3分 )如圖 ,AB和☉ O切于點 B,∠ AOB=60176。,故選 B. 4.(2022三明 ,8,4分 )如圖 ,AB是☉ O的弦 ,半徑 OC⊥ AB于點 D,若☉ O的半徑為 5,AB=8,則 CD的長 是 ? ( ) ? 答案 A 已知 AB是☉ O的弦 ,半徑 OC⊥ AB于點 D,由垂徑定理可得 AD=BD=4,在 Rt△ ADO中 , 由勾股定理可得 OD=3,所以 CD=OCOD=53= A. 5.(2022福州 ,8,4分 )如圖 ,C,D分別是線段 AB,AC的中點 ,分別以點 C,D為圓心 ,BC長為半徑畫弧 , 兩弧交于點 M,測量 ∠ AMB的度數 ,結果為 ? ( ) 176。 176。4, ∴ D(0,4)或 (0,4)。,∴∠ BCE= ∠ A=50176。 (2)過點 B作 BG⊥ AD,垂足為 G,BG交 DE于點 H,且點 O和點 A都在 DE的左側 ,如圖 AB=? ,DH =1,∠ OHD=80176。,∠ CAB=30176。. ∵ BC∥ DE,∴∠ BDE=∠ CBD=20176。, ∴∠ OAD=∠ ODA=∠ ADB(∠ ODH+x) =60176。. CDBF3BE︵615.(2022漳州 ,23,10)如圖 ,AB為☉ O的直徑 ,點 E在☉ O上 ,C為 ? 的中點 ,過點 C作直線 CD⊥ AE 于 D,連接 AC、 BC. (1)試判斷直線 CD與☉ O的位置關系 ,并說明理由 。. (2)連接 AG,延長 CP交 BG于 Q,交☉ O于 H. ? ∵∠ 1=∠ 2,OC=OB,∠ OCD=∠ OBG, ∴ △ ODC≌ △ OQB. ∴ QB=CD=1. ∵ BG=2, ∴ GQ=BGQB=1, ∴ BQ=GQ. ∵ OH為半徑 , ∴ OH垂直平分 BG. ∴ ? =?, ∠ OQB=90176。 (2)如圖 2,連接 OE,過點 E作直線 EF,使得 ∠ OEF=30176?！?∠ DCE90176。 ② 求線段 PQ的長 . 解析 (1)連接 OQ,∵ 線段 PQ所在的直線與☉ O相切 ,點 Q在☉ O上 ,∴ OQ⊥ ∵ BP=OB= OQ=2,∴ PQ=?= ? =2? ,即 PQ=2? . (2)OQ⊥ AC,理由如下 : 連接 BC,∵ BP=OB,∴ 點 B是 OP的中點 ,又 ∵ PC=CQ,∴ 點 C是 PQ的中點 ,∴ BC是△ PQO的中位 線 ,∴ BC∥ OQ. 又 ∵ AB是直徑 ,∴∠ ACB=90176。,AB=6,求劣弧 ? 的長 (結果保留 π). ? AC︵解析 (1)證明 :∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ ACB=90176。, ∴ AC、 BD是☉ O的直徑 , ∴∠ DAB=∠ ABC=90176。, ∴∠ ODC=45176。 (2)① 連接 OE,證明△ AOE≌ △ OCD,即可得 AE=OD。,∴∠ BAC=50176。,作 OD⊥ BC交 BC于點 D, ? ∴ BC=2BD.∵ OB=OC, ∴∠ OBD=∠ OCD=? =30176。,CD⊥ OA,CE⊥ OB,∴∠ DOE=180176。.又 ∵∠ BDC=∠ BAC=30176。,則 ∠ BDC= 度 . ? AB︵BC︵答案 29 解析 連接 OC(圖略 ),∵ ? =? ,∴∠ AOB=∠ BOC=58176。≤ ∠ BPD≤ 100176。,則 ∠ B+∠ E= 176。,所以 AB=? OA=2? . 故四邊形 MANB面積的最大值為 ? AB,∴ DO∥ BC,∴ △ POD∽ △ PBC,∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ PA =4,故選 A. POPBODBC48PA??46思路分析 利用切線的性質得出 ∠ PDO=90176。,∴∠ ADB=90176。,因為 ∠ AOC是△ OAB的外角 ,所以 ∠ AOC=∠ B+∠ BAO=50176。, ∵∠ CBA=70176。=1. ∵ PD是切線 ,∴∠ PDO=90176。. 又 ∠ BAC=38176。, ∴∠ P=∠ BAC=38176。(2)連接 OD,根 據平行線的性質 ,圓的切線的性質求得 ∠ P,∠ AOD的度數 ,即可求得 ∠ OCD的大小 . 10.(2022烏魯木齊 ,23,10分 )如圖 ,AG是 ∠ HAF的平分線 ,點 E在 AF上 ,以 AE為直徑的☉ O交 AG于 點 D,過點 D作 AH的垂線 ,垂足為點 C,交 AF于點 B. (1)求證 :直線 BC是☉ O的切線 。,BD是角平分線 ,點 O在 AB上 ,以點 O為圓 心 ,OB為半徑的圓經過點 D,交 BC于點 E. (1)求證 :AC是☉ O的切線 。. ︵ ︵DA︵ ︵ ︵ ︵ ︵在 Rt△ BDE中 ,DE=2,可得 BE=4,BD=2? . 在 Rt△ ABD中 ,可得 AB=4? . ∴ OB=2? . 在 Rt△ OBE中 ,由勾股定理可得 OE=2? . 333 713.(2022河南 ,19,9分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,DO⊥ AB于點 O,連接 DA交☉ O于點 C,過點 C作☉ O 的切線交 DO于點 E,連接 BC交 DO于點 F. (1)求證 :CE=EF。,則 ∠ ABD39。,顯然點 D與點 D39。,∴ CD39。,☉ O的半徑為 P是☉ O上的 一點 ,在△ ABP中 ,PB=AB,則 PA的長為 ? ( ) ? B.? ? ? 5323答案 D 連接 OB、 OA、 OP, ? ∵∠ C=30176。 176。.故選 D. ? 124.(2022浙江紹興 ,8,4分 )如圖 ,四邊形 ABCD是☉ O的內接四邊形 ,☉ O的半徑為 2,∠ B=135176。sin∠ BOD=? ,弦 AD平分 ∠ CAB,若 AD=6,則 AC= . ? 答案 2? 3解析 連接 BD,因為 AB為☉ O的直徑 ,所以 ∠ ADB=90176。,∴∠ ABC=90176。. ? 答案 62 解析 ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。. ? AB︵答案 119 解析 如圖 ,在扇形 AOB所在圓優(yōu)弧 AB上取一點 D,連接 DA,DB.∵∠ AOB=122176。,則 ∠ ADC的度數為 . ? 答案 110176。+80176。. ? 答案 50 解析 因為 ∠ A=65176?！?A(∠ ADO+∠ AEO)=50176。sin∠ ABC=3∠ D=50176。,以點 A為圓心 ,以 3 cm為半徑作☉ A, 當 AB= cm時 ,BC與☉ A相切 . 答案 6 解析 作 AD⊥ BC于點 BC與☉ A相切時 ,AD=3 cm. 在 Rt△ ABD中 ,AD=3 cm,∠ B=30176。PO, 即 (2t)2=PF.? (6分 ) 13 13∴∠ C=60176。 (2)若 AB=12,BD=5,