【正文】 (1)如圖 1,若 ∠ COA=60176。x)=2(90176。(20176。2∠ OHD=180176。. 3AB312一題多解 (1)證明 :易證 DF∥ BC,從而 CD=BF,且 ? =? =1,∴ PB=PC. (2)連接 OD,設(shè) ∠ BDE=x,則 ∠ EBD=90176。(∠ ONH+∠ OHD)=40176。. 從而 BC=? AC=OD,∴ DH=OD. 在等腰三角形 DOH中 ,∠ DOH=∠ OHD=80176。, ∴∠ F=∠ PCB,∴∠ PBC=∠ PCB, ∴ PC=PB. (2)連接 OD,∵ AC是☉ O的直徑 ,∴∠ ADC=90176。,求 ∠ BDE的大小 . ? 圖 1 圖 2 3解析 (1)證明 :∵ AC是☉ O的直徑 ,∴∠ ABC=90176。,則弦 BC= . 答案 6? 2解析 連接 OB,OC, ∵∠ BAC=45176。. 11.(2022寧德 ,15,4分 )如圖 ,AB是半圓 O的直徑 ,OD⊥ AC,OD=2,則弦 BC的長為 . 答案 4 解析 由垂徑定理知點 D是 AC的中點 ,∴ OD是△ ABC的中位線 ,∴ BC=4. 12.(2022三明 ,14,4分 )如圖 ,正五邊形 ABCDE內(nèi)接于☉ O,則 ∠ CAD= 度 . 答案 36 解析 ∵ 五邊形 ABCDE是正五邊形 ,∴ ? =? =? =? =? =72176。,則 ∠ BCE = 176。 當(dāng)☉ P與 x軸相切于點 D時 ,得 y=177。,故選 D. AB︵AC︵128.(2022漳州 ,9,4分 )已知☉ P的半徑為 2,圓心在函數(shù) y=? 的圖象上運動 ,當(dāng)☉ P與坐標(biāo)軸相切于 點 D時 ,符合條件的點 D的個數(shù)為 ? ( ) 8x答案 D 根據(jù)題意可知 ,當(dāng)☉ P與 y軸相切于點 D時 ,得 x=177。 176。.故選 B. 6.(2022廈門 ,10,4分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,D是邊 BC的中點 ,一個圓過點 A,交邊 AB于點 E,且 與 BC相切于點 D,則該圓的圓心是 ? ( ) AE的中垂線與線段 AC的中垂線的交點 AB的中垂線與線段 AC的中垂線的交點 AE的中垂線與線段 BC的中垂線的交點 AB的中垂線與線段 BC的中垂線的交點 答案 C 連接 AD,作 AE的中垂線交 AD于 O,連接 OE, ∵ AB=AC,D是邊 BC的中點 ,∴ AD⊥ BC. ∴ AD是 BC的中垂線 ,∵ BC是圓的切線 , ∴ AD必過圓心 ,∵ AE是圓的弦 , ∴ AE的中垂線必過圓心 , ∴ 該圓的圓心是線段 AE的中垂線與線段 BC的中垂線的交點 ,故選 C. ? 7.(2022莆田 ,8,4分 )如圖 ,在☉ O中 ,? =?, ∠ AOB=50176。 176。 答案 B ∵ AB是☉ O的切線 ,切點為 B,∴ OB⊥ AB, ∴∠ ABO=90176。,則 ∠ A的大小為 ? ( ) ? 176。. 2.(2022福建 ,8,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,C,D是☉ O上位于 AB異側(cè)的兩點 .下列四個角中 ,一定 與 ∠ ACD互余的角是 ? ( ) ? A.∠ ADC B.∠ ABD C.∠ BAC D.∠ BAD 答案 D ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ADB=90176。 及 ∠ ACB=50176。 176。第五章 圓 圓的性質(zhì)及圓有關(guān)的位置關(guān)系 中考數(shù)學(xué) (福建專用 ) 1.(2022福建 ,9,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,BC與☉ O相切于點 B,AC交☉ O于點 ∠ ACB=50176。 176?？傻? ∠ BAC=40176。,∴∠ BAD+∠ B=90176。 176。,∵∠ AOB=60176。 176。,則 ∠ ADC的度數(shù)是 ? ( ) 176。 AB︵AC︵答案 D 連接 OC,∵ 在☉ O中 ,? =?, ∴∠ AOC=∠ AOB, ∵∠ AOB=50176。2,把 x=177。2, 把 y=177。. ? 答案 50 解析 ∵ 四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,∴∠ A+∠ BCD=180176。,∴∠ CAD=? 72176。, ∴∠ BOC=2∠ BAC=90176。. 又 ∵ DE⊥ AB,∴∠ DEA=90176。, ? 又 ∵ BG⊥ AD,∴∠ AGB=90176。, ∴∠ ODH=20176。, ∴∠ DOC=∠ DOH∠ NOH=40176。x, 易證四邊形 BCDH為平行四邊形 , ∴ BC=DH=1,∵ AB=? ,∴∠ CAB=30176。280176。+x)=40176。x),解得 x=20176。,∠ CDO=70176。. ∵∠ CDO=∠ CAO+∠ ACD=70176。. ∵ OA為半徑 , ∴ OA垂直平分 CF, ∴ ?= ? . ∵∠ 6=∠ CPF,∠ 5=∠ CPF, ∴∠ 5=∠ 6, ∵∠ 3=∠ 7, ∴∠ 7+∠ 6=∠ 3+∠ 5=90176。,∠ BCD90176。時 ,判斷直線 EF與☉ O的位 置關(guān)系 ,并說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ CA平分 ∠ DCB, ∴∠ ACD=∠ ACB. ∴ ?=?, ∴ AD=AB. ∵ BE=AD,∴ AB=BE. ∵∠ ADC=90176。,∠ ACD=∠ ACB,∠ ACE≥ 30176。∠ AEC≤ 30176。,即 BC⊥ OB,又 OB為半徑 , ∴ BC為圓 O的切線 . 359595165 22B OE?22 935??? ????125BE C?221 2 1 655? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? 思路分析 連接 OD,可得 OB=OD,由 AB=AD,得到 AE垂直平分 BD,在直角三角形 BOE中 ,利用銳 角三角函數(shù)定義求出 OE的長 ,根據(jù)勾股定理求出 BE的長 ,由 OCOE求出 CE的長 ,再利用勾股定 理求出 BC的長 ,利用勾股定理的逆定理得到 BC與 OB垂直 ,即可確定出 BC為圓 O的切線 . 點評 此題考查了切線的判定 ,勾股定理及其逆定理 ,熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān) 鍵 . 19.(2022三明 ,23,10分 )已知 :AB是☉ O的直徑 ,點 P在線段 AB的延長線上 ,BP=OB=2,點 Q在☉ O 上 ,連接 PQ. (1)如圖 1,線段 PQ所在的直線與☉ O相切 ,求線段 PQ的長 。PQ=PB (3)利用割線定理來求 PQ的長度 . 20.(2022寧德 ,23,10分 )如圖 ,已知 AB是☉ O的直徑 ,點 C,D在☉ O上 ,點 E在☉ O外 ,∠ EAC=∠ B. (1)求證 :直線 AE是☉ O的切線 。, ∵∠ EAC=∠ B, ∴∠ CAE+∠ BAC=90176。,AD=CD,求證 :AC⊥ BD。, ∴ FB⊥ DB, 又 ∵ AC⊥ BD, ∴ BF∥ AC,∠ BDC+∠ ACD=90176。,則 BF∥ AC,從而得 CF=AB,根據(jù)勾股定理即可求解 . 22.(2022三明 ,23,10分 )已知 AB是半圓 O的直徑 ,點 C是半圓 O上的動點 ,點 D是線段 AB延長線上 的動點 ,在運動過程中保持 CD=OA. (1)當(dāng)直線 CD與半圓 O相切時 (如圖 1),求 ∠ ODC的度數(shù) 。2x. 在△ AOE與△ OCD中 , ? ∴ △ AOE≌ △ OCD(SAS), ∴ AE=OD. ② ∠ 6=∠ 1+∠ 2=2x. ∵ OE=OC,∴∠ 5=∠ 6=2x. ∵ AE∥ OC, ,O A O CA O E O C DO E C D???? ? ?????∴∠ 4+∠ 5+∠ 6=180176。. 思路分析 (1)連接 OC,由 CD是☉ O的切線 ,得出 ∠ OCD=90176。,作 CD∥ AB,并與☉ O 相交于點 D,連接 BD,則 ∠ DBC的大小為 ? ( ) ? 176。 答案 A ∵ AB=AC,∠ BCA=65176。,根據(jù)圓周角定理的推論得 ∠ ABD=∠ ACD=50176。,故選 A. 2.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,7,3分 )如圖 ,CD為☉ O的直徑 ,弦 AB⊥ CD,垂足為 AB=12,OM∶ MD =5∶ 8,則☉ O的周長為 ? ( ) ? C.? D.? 965?3 9 1 05 ?答案 B 連接 OA,設(shè) OM=5x(x0),則 MD=8x,∴ OA=OD=13x,又 ∵ AB=12,AB⊥ CD,∴ AM= Rt△ AOM中 ,(5x)2+62=(13x)2,解得 x=? (舍負(fù) ),∴ 半徑 OA=? ,∴ ☉ O的周長為 13π. 12 132方法規(guī)律 如圖 ,設(shè)圓的半徑為 r、弦長為 a、弦心距為 d,弓形的高為 h,則 ? +d2=r2(h=rd或 h= r+d).已知其中任意兩個量即可求出其余兩個量 . ? 22a??????3.(2022陜西 ,9,3分 )如圖 ,☉ O的半徑為 4,△ ABC是☉ O的內(nèi)接三角形 ,連接 OB、 ∠ BAC與 ∠ BOC互補 ,則弦 BC的長為 ( ) ? ? ? ? ? 3333答案 B ∵∠ BOC+∠ CAB=180176。=2? ,∴ BC=2BD=4? ,故選 B. 180 2 BOC???3 34.(2022廣西南寧 ,9,3分 )如圖 ,點 A,B,C,P在☉ O上 ,CD⊥ OA,CE⊥ OB,垂足分別為 D,E,∠ DCE=40176。 176。=140176。,則 ∠ ADB= 176。,∴∠ ADB=180176。=70176。. AB︵BC︵ 1思路分析 連接 OC,由 ? 與 ? 相等可得圓心角 ∠ AOB=∠ BOC,再根據(jù)同弧所對的的圓周角 是圓心角的一半即可求得 ∠ BDC的度數(shù) . ︵ ︵7.(2022吉林 ,13,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,∠ DAB=130176。. ∴∠ DOB=2∠ DCB=100176。,則 ∠ A的度數(shù)為 . 答案 50176。,∴∠ A=130176。,又因為 ∠ B=? (∠ AOD+∠ COD),∠ E=? (∠ AOC+∠ COD),所以 ∠ B+∠ E=? (∠ AOD+∠ COD+∠ AOC+∠ COD)=? (360176。,則四邊形 MANB面積的最大值是 . ? 答案 4? 2解析 連接 OA, MANB面積的最大值取決于三角形 ABM和三角形 ABN的面積的最大 值 .當(dāng)點 M,N分別位于優(yōu)弧 AB和劣弧 AB的中點時 ,四邊形 MANB的面積取最大值 .連接 MN,此時 MN為☉ O的直徑 ,故 MN=4, ∵∠ AMB=45176。 (2)若 (1)中的點 E到弦 BC的距離為 3,求弦 CE的長 . ? BC︵解析 (1)尺規(guī)作圖如圖所示 .? (4分 ) ? (2)連接 OE交 BC于 M,連接 OC. 因為 ∠ BAE=∠ CAE,所以 ? =?, 易得 OE⊥ BC,所以 EM=3. Rt△ OMC中 ,OM=OEEM=53=2,OC=5, 所以 MC2=OC2OM2=254=21. Rt△ EMC中 ,CE2=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦 CE的長為 ? .? (10分 ) BE︵EC︵30思路分析 對于 (2),連接 OE交 BC于點 M,再連接 OC,由 ∠ BAE=∠ CAE可得 ? =?, 可推出 OE ⊥ BC,最后利用勾股定理求出 CE. BE︵EC︵12.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AD=BC,∠ B=∠ D,AD? 于 BC,過點 C作 CE∥ AD交△ ABC的外接圓 O于點 E,連接 AE. (1)求證 :四邊形 AECD為平行四邊形 。(2)作 OM⊥ CE,ON⊥ BC,垂足分別為 M、 N,由已知及 (1) 得出 CE=BC,再根據(jù)“同一個圓內(nèi)等弦對應(yīng)的弦心距相等”可得 OM=ON,從而由角平分線的 判定定理可得結(jié)論 . 解題關(guān)鍵 抓住“在同一個圓中同一段弧所對的圓周角相等及同圓內(nèi)等弦對應(yīng)的弦心距相 等”是解決本題的關(guān)鍵 . 考點二 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 1.(2022重慶 ,9,4分 )如圖 ,已知 AB是☉ O的直徑 ,點 P在 BA的延長線上 ,PD與☉ O相切于點 D,過點 B作 PD的垂線交 PD的延長線于點 ☉ O的半徑為 4,BC=6,則 PA的長為 ? ( ) ? ? 3答案 A 連接 DO,∵ PD與☉ O相切于點 D,∴∠ PDO=90176。,則 ∠ ADB的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 答案 B ∵ AE是☉ O的切線 ,∴∠ BAE=90176。,故 選 B. 124.(2022江蘇南京 ,6,2分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=4,AD=5,AD、 AB、 BC分別與☉ O相切于 E、 F、 G三點 ,過點 D作