【正文】 ABC為正三角形 , ∴∠ BOC=260176。.∵∠ ADC+∠ ABC=180176。=25cos 30176。=2,∴ BE=ED39。=45176。,DD39。. ∵∠ CFE=∠ BFO,∴∠ B+∠ CFE=90176。,∴ 四邊形 CDOF是矩形 . ∴ OF=CD=8,? (7分 ) 在 Rt△ BOF中 ,BF=? =? =6, ∴ BE=2BF=12.? (8分 ) 22OB OF?10 8?12.(2022北京 ,24,5分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,過點(diǎn) B作☉ O的切線 BM,弦 CD∥ BM,交 AB于點(diǎn) F,且 ? =?, 連接 AC,AD,延長(zhǎng) AD交 BM于點(diǎn) E. (1)求證 :△ ACD是等邊三角形 。, 由 ∠ CAD=∠ BAD,∠ ACD=∠ ADE=90176。. ∴∠ OCD=∠ ACD∠ ACO=64176。. 由 D為 ? 的中點(diǎn) ,得 ? =?. ∴∠ ACD=∠ BCD=? ∠ ACB=45176。=1? =? . ∴ OP=PQ+QO=? . 33 33433思路分析 本題第 (1)問可以通過切線的相關(guān)定理和等腰三角形“三線合一”來解決 .本題第 (2)問需要添加輔助線構(gòu)造三角形來推導(dǎo)角的度數(shù) ,借助特殊角的三角函數(shù)解決問題 . 9.(2022天津 ,21,10分 )已知 AB是☉ O的直徑 ,弦 CD與 AB相交 ,∠ BAC=38176。, ∴ OQ=OD, ∵ AO=5,∴ AB= Rt△ AEB中 ,AE=6, ∴ BE=? =8. ∵ 直線 l是☉ O的切線 ,∴ OC⊥ CD, 又 ∵ AD⊥ CD,AE⊥ EB, ∴ 四邊形 CDEF為矩形 , ∴ DC=EF=? BE=4. ? 22AB AE?127.(2022浙江寧波 ,17,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=8,AD=12,過 A,D兩點(diǎn)的☉ O與 BC邊相切于 點(diǎn) E,則☉ O的半徑為 . ? 答案 ? 254解析 連接 EO,并延長(zhǎng)交 AD于點(diǎn) H,連接 AO. ? ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,☉ O與 BC邊相切于點(diǎn) E, ∴ EH⊥ BC,∵ AD∥ BC,∴ EH⊥ ,得 AH=DH. ∵ AB=8,AD=12,∴ AH=6,HE=8. 設(shè)☉ O的半徑為 r,則 AO=r,OH=8r. 在 Rt△ OAH中 ,由勾股定理得 (8r)2+62=r2,解得 r=? . ∴ ☉ O的半徑為 ? . 2542548.(2022北京 ,22,5分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,過☉ O外一點(diǎn) P作☉ O的兩條切線 PC,PD,切點(diǎn)分別 為 C,D,連接 OP,CD. (1)求證 :OP⊥ CD。 176。 176。. ∴∠ D+∠ DAE=180176。)=215176。 解析 當(dāng) I在△ ABC的內(nèi)部時(shí) ,如圖 1,∠ A=? ∠ BIC=50176。. ∴∠ DCB=180176。30176。.故選 B. 125.(2022北京 ,12,2分 )如圖 ,點(diǎn) A,B,C,D在☉ O上 ,?=?, ∠ CAD=30176。 176。5 0176。 176。, ∴ x=36176。, ∴∠ BDC=∠ FCA=∠ BAC, ∴ 四邊形 ACFB是等腰梯形 , ∴ CF=AB. 根據(jù)勾股定理 ,得 CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=20, ∴ DF=2? , ∴ OD=? ,即☉ O的半徑為 ? . ? 55 5思路分析 (1)根據(jù)題意證明四邊形 ABCD是正方形 。, ∴∠ AOC=120176。 (2)連接 BC,由三角形中位線得到 BC∥ OQ,利用 ∠ ACB=90176。,∴ OH=? OE. ∴ 2OHAC=2OA, ∴ OHOA, ∴ 直線 EF與☉ O相離 . ? 1218.(2022莆田 ,22,8分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB=AD,對(duì)角線 AC,BD交于點(diǎn) E,點(diǎn) O在線段 AE上 , ☉ O過 B,D兩點(diǎn) ,若 OC=5,OB=3,且 cos∠ BOE=? ,求證 :CB是☉ O的切線 . ? 35證明 連接 OD,則 OB=OD. ∵ AB=AD,∴ AE垂直平分 BD. 在 Rt△ BOE中 ,∵ OB=3,cos∠ BOE=? , ∴ OE=OB, ∴∠ EBA=90176。, ∴ △ ABG為等腰直角三角形 , ∴∠ ABG=45176。 (2)如圖 2,點(diǎn) E在線段 OD上 (不與 O,D重合 ),CD、 CE的延長(zhǎng)線分別交☉ O于點(diǎn) F、 G,連接 BF,BG, 點(diǎn) P是 CO的延長(zhǎng)線與 BF的交點(diǎn) ,若 CD=1,BG=2,∠ OCD=∠ OBG,∠ CFP=∠ CPF,求 CG的長(zhǎng) . 解析 (1)∵ OC=OA,∠ COA=60176。2(40176。, ∵ OD=OA=1=DH, ∴∠ ODH=180176。. ∴∠ NOH=180176。, 又 ∵∠ PCB+∠ DCB=180176。. AB︵BC︵CD︵DE︵EA︵ 1213.(2022龍巖 ,15,3分 )如圖 ,A、 B、 C是半徑為 6的☉ O上三個(gè)點(diǎn) ,若 ∠ BAC=45176。4, ∴ D(4,0)或 (4,0), ∴ 符合條件的點(diǎn) D的個(gè)數(shù)為 4,故選 D. 8x89.(2022泉州 ,15,4分 )如圖 ,☉ O的弦 AB、 CD相交于點(diǎn) E,若 CE∶ BE=2∶ 3,則 AE∶ DE= . ? 答案 2∶ 3 解析 ∵ ☉ O的弦 AB、 CD相交于點(diǎn) E,∠ A=∠ D,∠ C=∠ B,∴ △ ACE∽ △ DBE,∴ ? =? =? . DECEBE2310.(2022泉州 ,16,4分 )如圖 ,四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,點(diǎn) E在 DC的延長(zhǎng)線上 ,若 ∠ A=50176。, ∴∠ ADC=? ∠ AOC=25176。 答案 B 由作圖可知 ,點(diǎn) M在以 AB為直徑的☉ C上 , 根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角 ,得 ∠ AMB=90176。 176。,由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi) 角的和可得 ∠ BOD=∠ ODA+∠ OAD=80176。 176。 A組 20222022年福建中考題組 五年中考 答案 D 由 BC與☉ O相切于點(diǎn) B,可得 ∠ ABC=90176。,易知 ∠ ACD=∠ B,∴∠ BAD+ ∠ ACD=90176。,∴∠ A=30176。 176。2代入 y=? 得 y=177。,又 ∵∠ BCD+∠ BCE=180176。, ∵ OB=OC=6, ∴ BC=? =6? . ? 22OB OC?214.(2022福建 ,24,12分 )已知四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,AC是☉ O的直徑 ,DE⊥ AB,垂足 為 E. (1)延長(zhǎng) DE交☉ O于點(diǎn) F,延長(zhǎng) DC,FB交于點(diǎn) P,如圖 :PC=PB。,∴∠ ADC=∠ AGB,∴ BG∥ DC. 又由 (1)知 BC∥ DE,∴ 四邊形 DHBC為平行四邊形 ,∴ BC=DH=1. 在 Rt△ ABC中 ,AB=? ,tan∠ ACB=? =? , ∴∠ ACB=60176。, ∴∠ CBD=∠ OAD=20176。=20176。,即 ∠ BDE=20176。, ∴∠ ACD=10176。,對(duì)角線 CA平分 ∠ DCB,延長(zhǎng) DA,CB相交于點(diǎn) E. (1)如圖 1,BE=AD,求證 :△ ABE是等腰直角三角形 。, ∴ 60176。 (2)如圖 2,線段 PQ與☉ O還有一個(gè)公共點(diǎn) C,且 PC=CQ,連接 OQ,AC,交于點(diǎn) D. ① 判斷 OQ與 AC的位置關(guān)系 ,并說明理由 。 (2)若 ∠ D=60176。 (2)如圖 2,若 AC⊥ BD,垂足為 E,AB=2,DC=4,求☉ O的半徑 . ? 解析 (1)證明 :∵∠ ADC=∠ BCD=90176。 (2)當(dāng)直線 CD與半圓 O相交時(shí) (如圖 2),設(shè)另一交點(diǎn)為 E,連接 AE,AE∥ OC. ① AE與 OD的大小有什么關(guān)系 ?為什么 ? ② 求 ∠ ODC的度數(shù) . 解析 (1)連接 OC, ∵ OC=OA,CD=OA, ∴ OC=CD, ∴∠ ODC=∠ COD, ∵ CD是☉ O的切線 , ∴∠ OCD=90176。,易得 OC=CD,從而得 ∠ ODC=45176。,∴∠ BCA=∠ ABC=65176。,∠ BOC=2∠ CAB, ∴∠ BOC=120176。 答案 B ∵∠ DCE=40176。. ? CB︵CD︵答案 70 解析 ∵ ? =?, ∴∠ BAC=∠ CAD=30176。. CB︵CD︵6.(2022吉林 ,13,3分 )如圖 ,A,B,C,D是☉ O上的四個(gè)點(diǎn) ,? =?. 若 ∠ AOB=58176。. ∴ 50176。. ? 圖 1 圖 2 12129.(2022江蘇南京 ,15,2分 )如圖 ,在☉ O的內(nèi)接五邊形 ABCDE中 ,∠ CAD=35176。, ∴∠ AOB=90176。.∵ BC⊥ PC,∴∠ PCB=90176。,∵∠ B=? ∠ AOC=40176。 答案 C 連接 OA,☉ O中 ,OA=OB,所以 ∠ B=∠ BAO=25176。,OA=2,求 OP的長(zhǎng) . ? 解析 (1)證明 :∵ PC,PD是☉ O的兩條切線 , ∴ PD=PC,∠ OPD=∠ OPC, ∴ OP⊥ CD. (2)設(shè) OP與 CD交于點(diǎn) Q,連接 OD. ∵ OD=OA,∴∠ ODA=∠ OAD=50176。cos 60176。. ∴∠ BAC+∠ ABC=90176。. AB︵ AD︵BD︵12由 DP∥ AC,又 ∠ BAC=38176。. 12思路分析 (1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角 ,等弧所對(duì)的圓周角相等可以求解 。,進(jìn)一步可證△ ACD∽ △ ADE,再結(jié)合 (1)列等式即可求出 BD的長(zhǎng) . 11.(2022廣西南寧 ,23,8分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,∴∠ DBE=30176。.(注 :若填為 ,不扣分 )(9分 ) C組 教師專用題組 考點(diǎn)一 圓的有關(guān)概念及性質(zhì) 1.(2022湖北武漢 ,10,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,點(diǎn) C在優(yōu)弧 ? 上 ,將弧 ? 折疊后剛好經(jīng)過 AB的中點(diǎn) D. 若☉ O的半徑為 ? ,AB=4,則 BC的長(zhǎng)是 ? ( ) ? ? ? C.? D.? AB︵ BC︵532532 652答案 B 連接 AO,并延長(zhǎng)交☉ O于點(diǎn) D39。=2OD=2,即 BD= BD39。OC=90176。D E?2 2方法指導(dǎo) 在求解涉及圓的性質(zhì)的問題時(shí) ,通常運(yùn)用垂徑定理或圓周角定理得到相等的線段 或角或垂直關(guān)系 ,求解過程中常需作合適的輔助線構(gòu)造直角三角形 ,利用勾股定理等知識(shí)進(jìn)行 求解 . 2.(2022陜西 ,9,3分 )如圖 ,△ ABC是☉ O的內(nèi)接三角形 ,∠ C=30176。 176。=130176。.∵ OB=? , ∴ BD=OBOD=? ? ? =? , ∴ △ ABC的面積 =3S△ BOC=3? =? .故選 C. 212 22 622 22612 12 6 22 3232332評(píng)析 本題考查三角形的外接圓與外心 ,屬容易題 . 7.(2022湖北黃岡 ,11,3分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,AB為☉ O的直徑 ,∠ CAB=60176。. ? AD︵CD︵答案 25 解析 連接 BC,BD,∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。,則 ∠ ABD= 176。,C是 ? 上一點(diǎn) ,則 ∠ ACB= 176。,∠ B=30176。, 所以 ∠ ADC=∠ B+∠ DOB=30176。,則 ∠ DOE= 176。.在四邊形 ADOE中 ,∠ DOE=360176。=? .? (3分 ) 如圖 ,連接 OQ,在 Rt△ OPQ中 , ? PQ=? =? =? .? (5分 ) (2)∵ PQ2=OQ2OP2=9OP2, ∴ 當(dāng) OP最小時(shí) ,PQ最大 .此時(shí) ,OP⊥ BC.? (7分 ) OP=OB, ∴∠ 1=90176。. 122.(2022遼寧沈陽 ,11,4分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ B=30176。. ∵ PA ,PB是☉ O的切線 , ∴ PO垂直平分 AB,PO平分 ∠ APB, ∴ BC∥ PO, ∴∠ OPC=∠ PCB. ∵∠ APC=3∠ BPC, ∴∠ OPC=∠ BPC,∴∠ PCB=∠ BPC, ∴ BC=BP. 設(shè) OF=t,則 BC=BP=2t, 由△ PBF∽ △ POB,得 PB2=PF=30176。,進(jìn)而判斷四邊形 CMDN為矩 形 ,得出 MD=CN,然后根據(jù)等腰三角形三線合一推出 CN=NB,從而得到結(jié)論 . 解題技巧 針對(duì)含有切線的解答題 ,首先要想到的是作“輔助線” ,由此獲得更多能夠證明題 目要求的條件 .一般作“輔助線”的方法為“見切點(diǎn) ,連圓心” ,從而構(gòu)造直角 (垂直 ),然后利用 切線性質(zhì)及其他幾何知識(shí)進(jìn)行證明或計(jì)算 . 8.(2022北京 ,24,5分 )如圖 ,AB是☉ O的一條弦 ,E是 AB的中點(diǎn) ,過點(diǎn) E作 EC⊥ OA于點(diǎn) C,過點(diǎn) B作☉ O的切線交 CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D. (1)求證 :DB=D