【正文】 求☉ O的半徑 . ? 解析 (1)證明 :∵ BD是☉ O的切線 ,∴∠ OBD=90176。 (3)若△ APO的外心在扇形 COD的內(nèi)部 ,求 OC的取值范圍 . ? CD︵3QD︵解析 (1)證明 :連接 OQ.? (1分 ) ∵ AP,BQ分別與優(yōu)弧 ? 相切 , ∴ OP⊥ AP,OQ⊥ BQ,。(2)根據(jù)圓周角定理可得 ∠ CND=∠ CMD=90176。, ∴∠ CBD=∠ FBD,? (4分 ) 又 ∵ OE∥ BD, ∴∠ FBD=∠ OEB, ∵ OE=OB, ∴∠ OEB=∠ OBE,? (5分 ) ∴∠ CBD=∠ FBD=∠ OBE=? ∠ ABC=? 90176。, ∴ PB是☉ O的切線 . (2)連接 BC,設(shè) OP交 AB于點(diǎn) F, ,A P B PO A O BO P O P?????? ??∵ AC是☉ O的直徑 ,∴∠ ABC=90176。=115176。,則 ∠ BEC= 度 . ? BC︵答案 115 解析 如圖 ,連接 OC,AC, ? ∵ CD是☉ O的切線 ,∴∠ DCO=90176。tan 30176。 (∠ BDO+∠ OEC)=245176。,在 Rt△ ODE中 ,設(shè) OE=x,則 OD=2OE=2x,因?yàn)?OB=OD,所 以 2x=x+2,所以 x=2,所以 OE=2,OD=4,根據(jù)勾股定理得 ,DE=2? .因?yàn)?AB是直徑 ,AB⊥ CD,所以 根據(jù)垂徑定理可知 ,CD=2DE=4? . 3316.(2022江蘇揚(yáng)州 ,15,3分 )如圖 ,以△ ABC的邊 BC為直徑的☉ O分別交 AB、 AC于點(diǎn) D、 E,連接 OD、 OE,若 ∠ A=65176。=80176。sin D=8 ? =2. 1413.(2022江西南昌 ,10,3分 )如圖 ,點(diǎn) A,B,C在☉ O上 ,CO的延長(zhǎng)線交 AB于點(diǎn) D,∠ A=50176。. 10.(2022湖南長(zhǎng)沙 ,16,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,弦 AB=6,圓心 O到 AB的距離 OC=2,則☉ O的半徑長(zhǎng)為 . ? 答案 ? 13解析 由題意得 OC⊥ AB,∴ AC=BC=? AB=3,在 Rt△ OCA中 ,OA=? =? =? .∴ ☉ O的半徑長(zhǎng)為 ? . 12 22OC AC?2223?13評(píng)析 本題考查了垂徑定理、勾股定理 ,屬容易題 . 11.(2022江蘇南京 ,13,2分 )如圖 ,扇形 AOB的圓心角為 122176。. ? AD︵CD︵ 19.(2022山東青島 ,11,3分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,C,D是☉ O上的兩點(diǎn) ,若 ∠ BCD=28176。,則 ∠ CAD = 176。BC, ∴∠ BOD=? ∠ BOC=60176。50176。,則 ∠ ABC等于 ? ( ) ? 176。39。,∴∠ D39。交 BC于點(diǎn) E,連接 OD,OB,OC,∵ D為 AB的中點(diǎn) ,∴ OD⊥ AB,∵ AB=4,∴ BD=? AB=2,∵ OB=? ,∴ OD=? = 1,∴ BD39。.(注 :若填為 30,不扣分 )(7分 ) ② 176。. ∵∠ ABD=∠ C=60176。(2)連接 DE,由 AE是圓 O的直徑可推 ∠ ADE=90176。=26176。. (2)如圖 ,連接 OD. ? ∵ DP切☉ O于點(diǎn) D, ∴ OD⊥ DP,即 ∠ ODP=90176。 (2)如圖② ,過(guò)點(diǎn) D作☉ O的切線 ,與 AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) P,若 DP∥ AC,求 ∠ OCD的大小 . ? ︵解析 (1)∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ ACB=90176。=2? =? ,DQ=OD,∠ CBA=70176。 176。 答案 B ∵ AE是☉ O的切線 ,∴∠ BAE=90176。(2)作 OM⊥ CE,ON⊥ BC,垂足分別為 M、 N,由已知及 (1) 得出 CE=BC,再根據(jù)“同一個(gè)圓內(nèi)等弦對(duì)應(yīng)的弦心距相等”可得 OM=ON,從而由角平分線的 判定定理可得結(jié)論 . 解題關(guān)鍵 抓住“在同一個(gè)圓中同一段弧所對(duì)的圓周角相等及同圓內(nèi)等弦對(duì)應(yīng)的弦心距相 等”是解決本題的關(guān)鍵 . 考點(diǎn)二 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 1.(2022重慶 ,9,4分 )如圖 ,已知 AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) P在 BA的延長(zhǎng)線上 ,PD與☉ O相切于點(diǎn) D,過(guò)點(diǎn) B作 PD的垂線交 PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ☉ O的半徑為 4,BC=6,則 PA的長(zhǎng)為 ? ( ) ? ? 3答案 A 連接 DO,∵ PD與☉ O相切于點(diǎn) D,∴∠ PDO=90176。,則四邊形 MANB面積的最大值是 . ? 答案 4? 2解析 連接 OA, MANB面積的最大值取決于三角形 ABM和三角形 ABN的面積的最大 值 .當(dāng)點(diǎn) M,N分別位于優(yōu)弧 AB和劣弧 AB的中點(diǎn)時(shí) ,四邊形 MANB的面積取最大值 .連接 MN,此時(shí) MN為☉ O的直徑 ,故 MN=4, ∵∠ AMB=45176。,∴∠ A=130176。. ∴∠ DOB=2∠ DCB=100176。=70176。,則 ∠ ADB= 176。 176。,故選 A. 2.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,7,3分 )如圖 ,CD為☉ O的直徑 ,弦 AB⊥ CD,垂足為 AB=12,OM∶ MD =5∶ 8,則☉ O的周長(zhǎng)為 ? ( ) ? C.? D.? 965?3 9 1 05 ?答案 B 連接 OA,設(shè) OM=5x(x0),則 MD=8x,∴ OA=OD=13x,又 ∵ AB=12,AB⊥ CD,∴ AM= Rt△ AOM中 ,(5x)2+62=(13x)2,解得 x=? (舍負(fù) ),∴ 半徑 OA=? ,∴ ☉ O的周長(zhǎng)為 13π. 12 132方法規(guī)律 如圖 ,設(shè)圓的半徑為 r、弦長(zhǎng)為 a、弦心距為 d,弓形的高為 h,則 ? +d2=r2(h=rd或 h= r+d).已知其中任意兩個(gè)量即可求出其余兩個(gè)量 . ? 22a??????3.(2022陜西 ,9,3分 )如圖 ,☉ O的半徑為 4,△ ABC是☉ O的內(nèi)接三角形 ,連接 OB、 ∠ BAC與 ∠ BOC互補(bǔ) ,則弦 BC的長(zhǎng)為 ( ) ? ? ? ? ? 3333答案 B ∵∠ BOC+∠ CAB=180176。 答案 A ∵ AB=AC,∠ BCA=65176。. 思路分析 (1)連接 OC,由 CD是☉ O的切線 ,得出 ∠ OCD=90176。,則 BF∥ AC,從而得 CF=AB,根據(jù)勾股定理即可求解 . 22.(2022三明 ,23,10分 )已知 AB是半圓 O的直徑 ,點(diǎn) C是半圓 O上的動(dòng)點(diǎn) ,點(diǎn) D是線段 AB延長(zhǎng)線上 的動(dòng)點(diǎn) ,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持 CD=OA. (1)當(dāng)直線 CD與半圓 O相切時(shí) (如圖 1),求 ∠ ODC的度數(shù) 。,AD=CD,求證 :AC⊥ BD。 (3)利用割線定理來(lái)求 PQ的長(zhǎng)度 . 20.(2022寧德 ,23,10分 )如圖 ,已知 AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) C,D在☉ O上 ,點(diǎn) E在☉ O外 ,∠ EAC=∠ B. (1)求證 :直線 AE是☉ O的切線 。,即 BC⊥ OB,又 OB為半徑 , ∴ BC為圓 O的切線 . 359595165 22B OE?22 935??? ????125BE C?221 2 1 655? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? 思路分析 連接 OD,可得 OB=OD,由 AB=AD,得到 AE垂直平分 BD,在直角三角形 BOE中 ,利用銳 角三角函數(shù)定義求出 OE的長(zhǎng) ,根據(jù)勾股定理求出 BE的長(zhǎng) ,由 OCOE求出 CE的長(zhǎng) ,再利用勾股定 理求出 BC的長(zhǎng) ,利用勾股定理的逆定理得到 BC與 OB垂直 ,即可確定出 BC為圓 O的切線 . 點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的判定 ,勾股定理及其逆定理 ,熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān) 鍵 . 19.(2022三明 ,23,10分 )已知 :AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) P在線段 AB的延長(zhǎng)線上 ,BP=OB=2,點(diǎn) Q在☉ O 上 ,連接 PQ. (1)如圖 1,線段 PQ所在的直線與☉ O相切 ,求線段 PQ的長(zhǎng) 。,∠ ACD=∠ ACB,∠ ACE≥ 30176。,∠ BCD90176。. ∵∠ CDO=∠ CAO+∠ ACD=70176。x),解得 x=20176。280176。, ∴∠ DOC=∠ DOH∠ NOH=40176。, ? 又 ∵ BG⊥ AD,∴∠ AGB=90176。, ∴∠ BOC=2∠ BAC=90176。. ? 答案 50 解析 ∵ 四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,∴∠ A+∠ BCD=180176。2,把 x=177。,則 ∠ ADC的度數(shù)是 ? ( ) 176。,∵∠ AOB=60176。,∴∠ BAD+∠ B=90176。 176。 176。. 2.(2022福建 ,8,4分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,C,D是☉ O上位于 AB異側(cè)的兩點(diǎn) .下列四個(gè)角中 ,一定 與 ∠ ACD互余的角是 ? ( ) ? A.∠ ADC B.∠ ABD C.∠ BAC D.∠ BAD 答案 D ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ADB=90176。 答案 B ∵ AB是☉ O的切線 ,切點(diǎn)為 B,∴ OB⊥ AB, ∴∠ ABO=90176。.故選 B. 6.(2022廈門(mén) ,10,4分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,D是邊 BC的中點(diǎn) ,一個(gè)圓過(guò)點(diǎn) A,交邊 AB于點(diǎn) E,且 與 BC相切于點(diǎn) D,則該圓的圓心是 ? ( ) AE的中垂線與線段 AC的中垂線的交點(diǎn) AB的中垂線與線段 AC的中垂線的交點(diǎn) AE的中垂線與線段 BC的中垂線的交點(diǎn) AB的中垂線與線段 BC的中垂線的交點(diǎn) 答案 C 連接 AD,作 AE的中垂線交 AD于 O,連接 OE, ∵ AB=AC,D是邊 BC的中點(diǎn) ,∴ AD⊥ BC. ∴ AD是 BC的中垂線 ,∵ BC是圓的切線 , ∴ AD必過(guò)圓心 ,∵ AE是圓的弦 , ∴ AE的中垂線必過(guò)圓心 , ∴ 該圓的圓心是線段 AE的中垂線與線段 BC的中垂線的交點(diǎn) ,故選 C. ? 7.(2022莆田 ,8,4分 )如圖 ,在☉ O中 ,? =?, ∠ AOB=50176。,故選 D. AB︵AC︵128.(2022漳州 ,9,4分 )已知☉ P的半徑為 2,圓心在函數(shù) y=? 的圖象上運(yùn)動(dòng) ,當(dāng)☉ P與坐標(biāo)軸相切于 點(diǎn) D時(shí) ,符合條件的點(diǎn) D的個(gè)數(shù)為 ? ( ) 8x答案 D 根據(jù)題意可知 ,當(dāng)☉ P與 y軸相切于點(diǎn) D時(shí) ,得 x=177。,則 ∠ BCE = 176。,則弦 BC= . 答案 6? 2解析 連接 OB,OC, ∵∠ BAC=45176。, ∴∠ F=∠ PCB,∴∠ PBC=∠ PCB, ∴ PC=PB. (2)連接 OD,∵ AC是☉ O的直徑 ,∴∠ ADC=90176。(∠ ONH+∠ OHD)=40176。2∠ OHD=180176。x)=2(90176。, ∴ △ ACO為等邊三角形 ,∴∠ CAO=60176。, ∴ △ OQB為等腰直角三角形 , ∴ OQ=QB=1, 在 Rt△ OQB中 ,OB=? =? . ∵ OC=OB=? , ∴ CQ=OC+OQ=? +1, 在 Rt△ CGQ中 ,CG=? =? . AC︵GH︵AF︵FG︵ ︵ ︵HB︵AG︵GB︵11?222 2( 2 1) 1??4 2?17.(2022廈門(mén) ,27,12分 )已知四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,∠ ADC=90176。, ∴ △ ABE是等腰直角三角形 . (2)直線 EF與☉ O相離 .理由如下 : ∵∠ BCD90176。cos∠ BOE=? . CE=OCOE=5? =? , 在 Rt△ BEO中 ,根據(jù)勾股定理得 BE=? =? =? , 在 Rt△ CEB中 ,根據(jù)勾股定理得 BC=? =? =4. ∵ OB2+BC2=32+42=25=OC2, ∴∠ OBC=90176。得到 BC⊥ AC,故 OQ⊥ AC。, ∴ ? 的長(zhǎng)為 ? =2π. AC︵120 3180???21.(2022廈門(mén) ,29,10分 )已知 A,B,C,D是☉ O上的四個(gè)點(diǎn) . (1)如圖 1,若 ∠ ADC=∠ BCD=90176。 (2)連接 DO,并延長(zhǎng)交圓 O于 F,連接 CF、 ,得 ∠ DCF=∠ DBF= 90176。, ∴∠ ODC=36176。 176。=15176。 176。,∠ ACD=50176。50176?！?DAB=50176。 當(dāng) I在△ ABC的外部時(shí) ,如圖 2,∠ A+? ∠ BIC=180176。. 12 1212 12評(píng)析 本題考查同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系 . 10.(2022陜西 ,16,3分 )如圖 ,☉ O的半徑是 l與☉ O相交于 A、 B兩點(diǎn) ,M、 N是☉ O上的兩個(gè) 動(dòng)點(diǎn) ,且在直線 l的異側(cè) .若 ∠ AMB=45176。.∴ AE∥ DC. ∴ 四邊形 AECD是平行四邊形 .? (5分 ) (2)過(guò)點(diǎn) O作 OM⊥ EC,ON⊥ BC,垂足分別為 M、 N. ∵ 四邊形