【文章內(nèi)容簡介】 B為☉ O的切線 。 (2)若 BC=6,tan∠ ABC=? ,求 AD的長 . ? 43解析 (1)證明 :過點 O作 OE⊥ AB于點 E,即 ∠ OEB=90176。. ∵ BC切☉ O于點 C,∴∠ OCB=∠ OEB=90176。. ∵ AD⊥ BD,∴∠ ADB=90176。. ∵∠ AOD=∠ BOC,∴∠ CBD=∠ OAD. ∵∠ D=90176。,∠ AOD=∠ BAD, ∴∠ OAD=∠ ABD,∴∠ ABD=∠ CBO. ∴ OE=OC. ∴ AB為☉ O的切線 . (2)∵ BC=6,tan∠ ABC=? ,∠ ACB=90176。, ∴ AC=BCtan∠ ABC=8. ∴ AB=? =10. ∵ AB與 BC均為☉ O的切線 , ∴ BE=BC=6.∴ AE=ABBE=106=4. 設(shè) OC=OE=x, 432268?則在 Rt△ AEO中 ,有 (8x)2=42+x2,解得 x=3. ∴ OB=? =? =3? . ∵ S△ BOA=? ABOE=? BOAD, ∴ ABOE=BOAD. ∴ 103=3? AD,∴ AD=2? . ? 22OC BC? 2236? 512 125 59.(2022云南昆明 ,21,8分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,ED切☉ O于點 C,AD交☉ O于點 F,AC平分 ∠ BAD,連接BF. (1)求證 :AD⊥ ED。 (2)若 CD=4,AF=2,求☉ O的半徑 . ? 解析 (1)證法一 :連接 OC.? (1分 ) ∵ ED切☉ O于點 C, ∴ OC⊥ DE, ∴∠ OCE=90176。, ∵ OA=OC, ∴∠ OAC=∠ OCA. ∵ AC平分 ∠ BAD, ∴∠ OAC=∠ DAC, ∴∠ OCA=∠ DAC,? (3分 ) ∴ OC∥ AD, ∴∠ D=∠ OCE=90176。, ∴ AD⊥ ED.? (4分 ) 證法二 :連接 OC,? (1分 ) ∵ ED切☉ O于點 C, ∴ OC⊥ DE, ∴∠ OCD=90176。, ∵ OA=OC, ∴∠ OAC=∠ OCA, ∵ AC平分 ∠ BAD, ∴∠ OAC=∠ DAC, ∴∠ OCA=∠ DAC,? (3分 ) ∵∠ OCA+∠ ACD=90176。, ∴∠ DAC+∠ ACD=90176。, ∴∠ D=90176。, ∴ AD⊥ ED.? (4分 ) ? (2)解法一 :設(shè)線段 OC與 BF的交點為 H. ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴∠ AFB=∠ HFD=90176。,? (5分 ) ∵∠ OCD=∠ D=90176。, ∴ 四邊形 HFDC是矩形 , ∴∠ CHF=90176。,即 OC⊥ BF,FH=DC=4,? (6分 ) ∴ FB=2FH=8.? (7分 ) 在 Rt△ BFA中 ,∠ AFB=90176。,AF=2, 由勾股定理可得 AB=? =? =2? , ∴ ☉ O的半徑為 ? .? (8分 ) 解法二 :過點 O作 ON⊥ AF于點 N.? (5分 ) ∵ OC⊥ DE,AD⊥ ED, ∴∠ OND=∠ D=∠ OCD=90176。, ∴ 四邊形 ONDC是矩形 ,? (6分 ) 22AF BF? 2228? 1717∴ ON=CD=4, ∵ ON⊥ AF,AF=2, ∴ AN=? AF=1.? (7分 ) 在 Rt△ OAN中 ,∠ ONA=90176。,由勾股定理可得 OA=? =? =? , ∴ ☉ O的半徑為 ? .? (8分 ) ? 1222ON AN? 2241? 171710.(2022黑龍江哈爾濱 ,26,10分 )已知 :AB是☉ O的弦 ,點 C是 ? 的中點 ,連接 OB、 OC,OC交 AB 于點 D. (1)如圖 1,求證 :AD=BD。 (2)如圖 2,過點 B作☉ O的切線交 OC的延長線于點 M,點 P是 ? 上一點 ,連接 AP、 BP,求證 :∠ APB∠ OMB=90176。 (3)如圖 3,在 (2)的條件下 ,連接 DP、 MP,延長 MP交☉ O于點 Q,若 MQ=6DP,sin∠ ABO=? ,求 ? 的值 . ? AB︵AC︵35 MPMQ考點三 圓的外切三角形、外切正多邊形 圖 1 圖 2 圖 3 解析 (1)證明 :如圖 a,連接 OA, ? 圖 a ∵ C是 ? 的中點 ,∴ ?=?, ∴∠ AOC=∠ BOC, ∵ OA=OB,∴ OD⊥ AB,AD=BD. (2)證明 :如圖 b,延長 BO交☉ O于點 T,連接 PT, ? 圖 b ∵ BT是☉ O的直徑 ,∴∠ BPT=90176。, ∴∠ APT=∠ APB∠ BPT=∠ APB90176。, ∵ BM是☉ O的切線 ,∴ OB⊥ BM, AB︵ AC︵ BC︵∴∠ ABO+∠ MBA=90176。, 又由 (1)得 ,∠ OMB+∠ MBA=90176。,∴∠ ABO=∠ OMB, 又 ∠ ABO=∠ APT,∴∠ OMB=∠ APT, ∴∠ APB90176。=∠ OMB,即 ∠ APB∠ OMB=90176。. (3)解法一 :如圖 c,連接 MA,∵ MO垂直平分 AB, ∴ MA=MB,∴∠ MAB=∠ MBA, 作 ∠ PMG=∠ AMB,在射線 MG上截取 MN=MP,連接 PN、 BN. 則 ∠ AMP=∠ BMN,∴ △ APM≌ △ BNM, ∴ MP=MN,AP=BN,∠ MAP=∠ MBN, 延長 PD至點 K,使 DK=DP,連接 AK、 BK. 則四邊形 APBK是平行四邊形 , ∴ AP=BK,AP∥ BK, ∴∠ PAB=∠ ABK,∠ APB+∠ PBK=180176。, 由 (2)得 ∠ APB(90176。∠ MBA)=90176。, ∴∠ APB+∠ MBA=180176。,∴∠ PBK=∠ MBA, ∴∠ MBP=∠ ABK=∠ PAB, ∵∠ MAP+∠ PAB=∠ MBP+∠ PBA, ∴∠ MAP=∠ PBA=∠ MBN, ∴∠ NBP=∠ KBP,又 PB=PB,BN=AP=BK, ∴ △ PBN≌ △ PBK,∴ PN=PK=2DP, 過點 M作 MH⊥ PN于點 H, ? 圖 c ∴ PN=2PH,∴ PH=DP,∠ PMH=∠ OMB=∠ ABO, ∵ sin∠ PMH=? ,sin∠ ABO=? ,∴ ? =? . ∴ ? =? ,設(shè) DP=3a,則 MP=5a, PHMP 35PHMP35DPMP35∴ MQ=6DP=18a,∴ ? =? . 解法二 :如圖 c,連接 OP, ? 圖 c ∵ MB是☉ O的切線 , ∴∠ OBM=90176。, 由 (1)得 OD⊥ AB,∴∠ OMB+∠ DBM=90176。, 又 ∠ DBO+∠ DBM=90176。,∴∠ DBO=∠ OMB. ∴ sin∠ OMB=sin∠ ABO=? , 即 ? =? =? , ∵ P、 B是☉ O上的點 ,∴ OP=OB, MPMQ51835OBOM ODOB35∴ ? =? =? . 在△ ODP和△ OPM中 ,? =? ,∠ DOP=∠ POM, ∴ △ ODP∽ △ OPM,∴ ? =? =? , 設(shè) DP=3a,則 MP=5a,MQ=6DP=18a,∴ ? =? . OPOM ODOP35OPOM ODOPDPMPODOP35MPMQ51811.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,24,9分 )如圖 ,點 A,B,C,D是直徑為 AB的☉ O上的四個點 ,C是劣弧 ? 的中點 ,AC與 BD交于點 E. (1)求證 :DC2=CEAC。 (2)若 AE=2,EC=1,求證 :△ AOD是正三角形 。 (3)在 (2)的條件下 ,過點 C作☉ O的切線 ,交 AB的延長線于點 H,求△ ACH的面積 . ? BD︵解析 (1)證明 :∵ C是劣弧 ? 的中點 ,∴∠ DAC=∠ CDB, 又 ∵∠ ACD=∠ DCE,∴ △ ACD∽ △ DCE, ∴ ? =? ,∴ DC2=CEAC. (2)證明 :∵ AE=2,CE=1, ∴ AC=3,∴ DC2=3,∴ DC=? , 如圖 ,連接 OC, ? ∵ C是劣弧 ? 的中點 , ∴ OC平分 ∠ DOB, ∴ BC=DC=? , ∵ AB是☉ O的直徑 , BD︵ACDCCDCE3BD︵3∴ AB=? =2? , ∴ OB=OC=OD=? , ∴∠ BOD=120176。,∴∠ DOA=60176。, 又 ∵ OA=OD,∴ △ AOD是正三角形 . (3)∵ CH是☉ O的切線 ,∴ OC⊥ CH, ∵∠ COH=60176。,∴∠ H=30176。,∠ CAB=30176。, ∴ CH=AC=3, ∴ S△ ACH=? 3? ? =? . 93? 3312332 93412.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,24,10分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,弦 CD與 AB交于點 E,過點 B的切線 BP與 CD 的延長線交于點 P,連接 OC,CB. (1)求證 :AEEB=CEED。 (2)若☉ O的半徑為 3,OE=2BE,? =? ,求 tan∠ OBC的值及 DP的長 . ? CEDE95解析 (1)證明 :連接 AD,如圖 . ∵∠ A=∠ BCD,∠ AED=∠ CEB,∴ △ AED∽ △ CEB, ∴ ? =? ,∴ AEEB=CEED.? (3分 ) ? (2)∵ ☉ O的半徑為 3,∴ OA=OB=OC=3. ∵ OE=2BE,∴ OE=2,BE=1,∴ AE=5. ∵ ? =? ,∴ 可設(shè) CE=9x,DE=5x(x0). ∵ AEEB=CEED, ∴ 51=9x5 x,∴ x=? (舍負(fù) ). ∴ CE=3,DE=? .? (5分 ) 過點 C作 CF⊥ AB于點 F, AECEEDEBCEDE951353∵ OC=CE=3,∴ OF=EF=? OE=1. ∴ BF=2. 在 Rt△ OCF中 ,∵∠ CFO=90176。, ∴ CF2+OF2=OC2,∴ CF=2? . 在 Rt△ CFB中 ,∵∠ CFB=90176。, ∴ tan∠ OBC=? =? =? .? (8分 ) ∵ CF⊥ AB,∴∠ CFB=90176。. ∵ BP是☉ O的切線 ,AB是☉ O的直徑 , ∴∠ EBP=90176。,∴∠ CFB=∠ EBP. 又 ∵ EF=BE=1,∠ CEF=∠ PEB, ∴ △ CEF≌ △ PEB,∴ EP=CE=3. ∴ DP=EPED=3? =? .? (10分 ) 122CFBF 222 253 4313.(2022湖北黃岡 ,20,7分 )已知 :如圖 ,MN為☉ O的直徑 ,ME是☉ O的弦 ,MD垂直于過點 E的直線 DE,垂足為點 D,且 ME平分 ∠ DMN. 求證 :(1)DE是☉ O的切線 。 (2)ME2=MDMN. ? 證明 (1)∵ OM=OE,∴∠ OME=∠ OEM. ∵ ME平分 ∠ DMN,∴∠ OME=∠ DME. ∴∠ OEM=∠ DME.? (2分 ) ∵ MD⊥ DE,∴∠ MDE=90176。. ∴∠ DEM+∠ DME=90176。. ∴∠ DEM+∠ OEM=90176。,即 ∠ OED=90176。, ∴ OE⊥ DE,? (3分 ) 又 ∵ OE為☉ O的半徑 , ∴ DE是☉ O的切線 .? (4分 ) (2)連接 NE. ? ∵ MN為☉ O的直徑 , ∴∠ MEN=90176。. ∴∠ MEN=∠ MDE=90176。.? (5分 ) 又由 (1)知 ,∠ NME=∠ DME, ∴ △ DME∽ △ EMN,? (6分 ) ∴ ? =? , ∴ ME2=MDMN.? (7分 ) MDMEMEMN14.(2022四川綿陽 ,23,11分 )如圖 ,已知 AB是圓 O的直徑 ,弦 CD⊥ AB,垂足為 H,與 AC平行的圓 O的 一條切線交 CD的延長線于點 M,交 AB的延長線于點 E,切點為 F,連接 AF交 CD于點 N. (1)求證 :CA=CN。 (2)連接 DF,若 cos∠ DFA=? ,AN=2? ,求圓 O的直徑的長度 . ? 4510解析 (1)證明 :連接 OF,∵ ME與圓 O相切于點 F,∴ OF⊥ ME,即 ∠ OFN+∠ MFN=90176。,? (1分 ) ∵∠ OFN=∠ OAN,∠ OAN+∠ ANH=90176。, ∴∠ MFN=∠ ANH,? (3分 ) 又 ∵ ME∥ AC,∴∠ MFN=∠ NAC,∴∠ ANH=∠ NAC,