【正文】 于 x軸上方時(shí) ,根據(jù)對稱性可以求出切點(diǎn)坐標(biāo)為 ? .? (10分 ) 32 , 03???????1.(2022江蘇南京 ,6,2分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=4,AD=5,AD、 AB、 BC分別與☉ O相切于 E、 F、 G三點(diǎn) ,過點(diǎn) D作☉ O的切線交 BC于點(diǎn) M,切點(diǎn)為 N,則 DM的長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? ? ? 133 92 4313 5考點(diǎn)二 切線的判定與性質(zhì) 答案 A 在矩形 ABCD中 ,☉ O分別與邊 AD、 AB、 BC相切 ,又 DM為☉ O的切線 ,所以由切線 長定理得 AE=AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知 BG=2,DN=3,設(shè) MN=MG=x,在 Rt△ DCM中 , DM2=MC2+DC2,即 (3+x)2=(3x)2+42,解得 x=? ,則 DM=3+? =? .故選 A. 43 43 1332.(2022山西 ,15,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,又 ∵ OB∥ AC,∴∠ A=120176。120176。,所以 ∠ ACO=∠ OAC=? ∠ COD=176。. 222OD OC?125.(2022浙江寧波 ,17,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=8,AD=12,過 A,D兩點(diǎn)的☉ O與 BC邊相切于 點(diǎn) E,則☉ O的半徑為 . ? 答案 ? 254解析 連接 EO并延長 ,交 AD于點(diǎn) H,連接 AO. ? ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,☉ O與 BC邊相切于點(diǎn) E, ∴ EH⊥ BC, ∵ AD∥ BC,∴ EH⊥ AD. 根據(jù)垂徑定理 ,得 AH=DH. ∵ AB=8,AD=12,∴ AH=6,HE=8. 設(shè)☉ O的半徑為 r,則 AO=r,OH=8r. 在 Rt△ OAH中 ,由勾股定理得 (8r)2+62=r2,解得 r=? . ∴ ☉ O的半徑為 ? . 2542546.(2022四川成都 ,20,10分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,∴∠ ODC=90176。, ∴ EF∥ BC,∴∠ AEF=∠ B,∴ sin∠ AEF=? =? , ∴ AF=AE,∴ OD⊥ AP, 又 OD為半徑 ,∴ PD是☉ O的切線 . (2)由 (1)知 PC=PD,連接 CD, ∵ AM=MC,∴ AM=2MO=2R(R為☉ O的半徑 ). 在 Rt△ AOD中 ,OD2+AD2=OA2, ∴ R2+122=9R2,∴ R=3? . ∴ OD=3? ,MC=6? , ∵ ? =? =? , ∴ AP=18,∴ DP=6. 又 ∵ MD∥ PO,O是 MC的中點(diǎn) , ∴ ? =? =? , ∴ 點(diǎn) P是 BC的中點(diǎn) , ∴ BP=CP=DP=6, 22 2ADAP AMAO 23COMCCPCB12又 ∵ MC是☉ O的直徑 , ∴∠ BDC=∠ CDM=90176。. ∵ AD⊥ BD,∴∠ ADB=90176。tan∠ ABC=8. ∴ AB=? =10. ∵ AB與 BC均為☉ O的切線 , ∴ BE=BC=6.∴ AE=ABBE=106=4. 設(shè) OC=OE=x, 432268?則在 Rt△ AEO中 ,有 (8x)2=42+x2,解得 x=3. ∴ OB=? =? =3? . ∵ S△ BOA=? ABAD. ∴ 103=3? AD,∴ AD=2? . ? 22OC BC? 2236? 512 125 59.(2022云南昆明 ,21,8分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,ED切☉ O于點(diǎn) C,AD交☉ O于點(diǎn) F,AC平分 ∠ BAD,連接BF. (1)求證 :AD⊥ ED。, ∵ OA=OC, ∴∠ OAC=∠ OCA, ∵ AC平分 ∠ BAD, ∴∠ OAC=∠ DAC, ∴∠ OCA=∠ DAC,? (3分 ) ∵∠ OCA+∠ ACD=90176。,? (5分 ) ∵∠ OCD=∠ D=90176。, ∴ 四邊形 ONDC是矩形 ,? (6分 ) 22AF BF? 2228? 1717∴ ON=CD=4, ∵ ON⊥ AF,AF=2, ∴ AN=? AF=1.? (7分 ) 在 Rt△ OAN中 ,∠ ONA=90176。, ∴∠ APT=∠ APB∠ BPT=∠ APB90176。=∠ OMB,即 ∠ APB∠ OMB=90176。, ∴∠ APB+∠ MBA=180176。,∴∠ DBO=∠ OMB. ∴ sin∠ OMB=sin∠ ABO=? , 即 ? =? =? , ∵ P、 B是☉ O上的點(diǎn) ,∴ OP=OB, MPMQ51835OBOM ODOB35∴ ? =? =? . 在△ ODP和△ OPM中 ,? =? ,∠ DOP=∠ POM, ∴ △ ODP∽ △ OPM,∴ ? =? =? , 設(shè) DP=3a,則 MP=5a,MQ=6DP=18a,∴ ? =? . OPOM ODOP35OPOM ODOPDPMPODOP35MPMQ51811.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,24,9分 )如圖 ,點(diǎn) A,B,C,D是直徑為 AB的☉ O上的四個(gè)點(diǎn) ,C是劣弧 ? 的中點(diǎn) ,AC與 BD交于點(diǎn) E. (1)求證 :DC2=CEAC. (2)證明 :∵ AE=2,CE=1, ∴ AC=3,∴ DC2=3,∴ DC=? , 如圖 ,連接 OC, ? ∵ C是劣弧 ? 的中點(diǎn) , ∴ OC平分 ∠ DOB, ∴ BC=DC=? , ∵ AB是☉ O的直徑 , BD︵ACDCCDCE3BD︵3∴ AB=? =2? , ∴ OB=OC=OD=? , ∴∠ BOD=120176。,∠ CAB=30176。 (2)若☉ O的半徑為 3,OE=2BE,? =? ,求 tan∠ OBC的值及 DP的長 . ? CEDE95解析 (1)證明 :連接 AD,如圖 . ∵∠ A=∠ BCD,∠ AED=∠ CEB,∴ △ AED∽ △ CEB, ∴ ? =? ,∴ AEED, ∴ 51=9x. ∵ BP是☉ O的切線 ,AB是☉ O的直徑 , ∴∠ EBP=90176。. ∴∠ DEM+∠ DME=90176。. ∴∠ MEN=∠ MDE=90176。,? (1分 ) ∵∠ OFN=∠ OAN,∠ OAN+∠ ANH=90176。 (2)若 AB=12,BD=5,求☉ O的半徑 . ? 解析 (1)證明 :∵ BD是☉ O的切線 ,∴∠ OBD=90176。 (2)設(shè) OP=? AC,求 ∠ CPO的正弦值 。,CD=? AC, ,O C O BC O P B O PO P O P???? ? ??? ??12∵ AC∥ OP, ∴∠ OCA=∠ COP,∴ △ ODC∽ △ PCO, ∴ ? =? ,∴ CD.? (1分 ) 又 ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。,∴ OD=? =? =? x, ∴ BD=ODOB=? x.? (6分 ) 32 3422OC CD? 2 234 xx??????? 5412由 (1)知△ ADC∽ △ CDB,∴ ? =? , 即 ? =? ,∴ CB=1,? (8分 ) 在 Rt△ ACB中 ,AB=? =? ,∴ ☉ O的半徑為 ? .? (10分 ) ACCB CDBD2CB12xx22AC BC? 55219.(2022北京 ,25,5分 )如圖 ,AB為☉ O的直徑 ,F為弦 AC的中點(diǎn) ,連接 OF并延長交 ? 于點(diǎn) D,過點(diǎn) D作☉ O的切線 ,交 BA的延長線于點(diǎn) E. (1)求證 :AC∥ DE。,可知 CD∥ OE。,BD是 ∠ ABC的平分線 ,點(diǎn) O在 AB上 ,以 點(diǎn) O為圓心 ,OB為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn) D,交 BC于點(diǎn) E. (1)求證 :AC是☉ O的切線 。, ∴ 四邊形 CDOF是矩形 . ∴ OF=CD=8,? (7分 ) 在 Rt△ BOF中 ,BF=? =? =6, ∴ BE=2BF=12.? (8分 ) 22OB OF? 2210 8?21.(2022陜西 ,23,8分 )如圖 ,已知 :AB是☉ O的弦 ,過點(diǎn) B作 BC⊥ AB交☉ O于點(diǎn) C,過點(diǎn) C作☉ O的切 線交 AB的延長線于點(diǎn) D,取 AD的中點(diǎn) E,過點(diǎn) E作 EF∥ BC交 DC的延長線于點(diǎn) F,連接 AF并延長 交 BC的延長線于點(diǎn) G. ? 求證 :(1)FC=FG。.? (6分 ) 又 ∵∠ 3+∠ 4=90176。,∴ DG是☉ O的直徑 . ∵ ☉ O與 AB、 AC分別相切于點(diǎn) D、 E,∴ OD⊥ AB,OE⊥ AC. 又 ∵ OD=OE,∴ AN平分 ∠ BAC. 由 (1)知 AB=AC,∴ AN⊥ BC,BN=? BC=6. 在 Rt△ ABN中 ,AN=? =? =8. ∵ OD⊥ AB,AN⊥ BC,∴∠ ADO=∠ ANB=90176。, 又點(diǎn) C在☉ O上 ,∴ PC與☉ O相切 . (2)在 Rt△ ADP中 ,∠ ADP=90176。 (2)如果 tan∠ CAO=? ,求 cos B的值 . ? 13解析 (1)證明 :作 OD⊥ AB于點(diǎn) D.? (1分 ) ∵ AO平分 ∠ CAB,OC⊥ AC,∴ OD=OC.? (2分 ) ∵ OD是☉ O的半徑 ,即點(diǎn) D在☉ O上 ,∴ AB是☉ O的切線 .? (3分 ) ? (2)∵∠ ACB=90176。 (3)連接 EF,求證 :EF是☉ O的切線 . ? 34解析 (1)證明 :∵ BC是☉ O的直徑 , ∴∠ BAC=∠ BAD=90176。, ∴∠ ACF=∠ DAE=120176。60176。60176。? r=? r2,? (4分 ) 12 32 34∴ ? r2=? , ∴ r=1或 r=1(舍去 ), ∴ OC=1. ∴ AB=? ,BD=2? .? (5分 ) ∵∠ BEO=180176。=30176。 (2)連接 OP,若 OP∥ BC,且 OP=8,☉ O的半徑為 2? ,求 BC的長 . ? 2解析 (1)證明 :連接 OB,∵ AC是☉ O的直徑 , ∴∠ CBO+∠ OBA=90176。 (2)連接 OE,若 DE=2,求 OE的長 . ? DA︵ DC︵解析 (1)證明 :∵ AB是☉ O的直徑 ,BM是☉ O的切線 , ∴ AB⊥ BM. ∵ CD∥ BM,∴ AB⊥ CD,∴ ? =?. ∵ ? =?, ∴ ? =?=?, ∴ AD=AC=DC, ∴ △ ACD是等邊三角形 . (2)連接 BD,如圖 . ? ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ADB=90176。 (2)連接 PB,與 AC交于點(diǎn) D,與☉ O交于點(diǎn) E,F為 BD上的一點(diǎn) ,若 M為 ? 的中點(diǎn) ,且 ∠ DCF=∠ P,求 證 :? =? =? . ? BC︵BDPD FDED CDAD證明 (1)連接 CM, ∵∠ PAC=∠ ABC,∠ M=∠ ABC,∴∠ PAC=∠ M. ∵ AM為直徑 ,∴∠ ACM=90176。,∴ MA⊥ AP, ∴ PA是☉ O的切線 .? (3分 ) ? (2)連接 AE. ∵ M為 ? 的中點(diǎn) ,AM為☉ O的直徑 ,∴ AM⊥ BC. ∵ AM⊥ AP,∴ AP∥ BC, ∴ △ ADP∽ △ CDB,∴ ? =? .? (5分 ) BC︵BDPD CDAD∵ AP∥ BC,∴∠ P=∠ CBD. ∵∠ CBD=∠ CAE,∴∠ P=∠ CAE. ∵∠ P=∠ DCF,∴∠ DCF=∠ CAE. ∵∠ ADE=∠ CDF,∴ △ ADE∽ △ CDF, ∴ ? =? .? (7分 ) ∴ ? =? =? .? (9分 ) CDDAFDEDBDPD FDED CDAD29.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,24,8分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,點(diǎn) C在☉ O上 ,過點(diǎn) C作☉ O的切線 CM. (1)求證 :∠ ACM=∠ ABC。.? (2分 ) ∵ CO=AO,∴∠ BAC=∠ ACO, ∴∠ ACM=∠ ABC.? (3分 ) (2)∵ BC=CD,∴ OC∥ AD, 又 ∵ OC⊥ CE,∴ AD⊥ CE, ∴ △ AEC是直角三角形 , ∴ △ AEC的外接圓的直徑為 AC,? (4分 ) 又 ∵∠ ABC+∠ BAC=90176。 (2)已知點(diǎn) B是 EF的中點(diǎn) .求證 :以 A、 B、 C為頂點(diǎn)的三角形與△ AEF相似 。, 即 ∠ EAC=90176。 (2)若 OB=2,求 BH的長 . ? AB︵解析 (1)證明 :連接 BC. ∵ AB是☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。.∴ BC=CD. ∴ AC=CD. ? (2)連接 OC. ∵ OA=OC,∴∠ OCA=∠ CAB=45176。 (2)若☉ O的半徑為 5,AC=8,求 BE的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ ☉ O與 DE相切于點(diǎn) B,AB為☉ O的直徑 , ∴∠ ABE=90176。. ∴∠ BAD=∠ E.? (3分 ) (2)連接 BC. ∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=901