【正文】 四邊形 ABDF是平行四邊形 , ∴ DF=AB=5,? (8分 ) ∴ S菱形 ADCF=? ACh=? 正方形的 對角線互相垂直平分 ,選項(xiàng) D正確 .故選 D. 2.(2022天津 ,11,3分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,E,F分別為 AD,BC的中點(diǎn) ,P為對角線 BD上的一個 動點(diǎn) ,則下列線段的長等于 AP+EP最小值的是 ? ( ) ? 答案 D 在正方形 ABCD中 ,連接 CE、 PC. ? ∵ 點(diǎn) A與點(diǎn) C關(guān)于直線 BD對稱 , ∴ AP=CP, ∴ AP+EP的最小值為 EC. ∵ E,F分別為 AD,BC的中點(diǎn) , ∴ DE=BF=? AD. ∵ AB=CD,∠ ABF=∠ ADC=90176。,∠ BFE+∠ DFC=90176。. 又 ∵ 點(diǎn) A關(guān)于直線 DE的對稱點(diǎn)為 F, ∴ △ ADE≌ △ FDE, ∴ DA=DF=DC,∠ DFE=∠ A=90176。, ∴ 2∠ 2+2∠ 3=90176。,∠ A=90176。,AM=AE, ∴ ME=? AE, ∴ BH=? AE. ,1 5 ,D M E BD E E H???? ? ?????227.(2022陜西 ,19,7分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,E、 F分別為邊 AD和 CD上的點(diǎn) ,且 AE=CF,連接 AF、 CE交于點(diǎn) :AG=CG. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴∠ ADF=∠ CDE=90176。. ∵ DP⊥ AQ, ∴∠ APD=90176。,則 FC的長度為 ? ( ) ? C.? D.? 32 3答案 A ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ OA=OB=OC=? AC=? . ∵ AD∥ BC, ∴∠ OFC=∠ AEO=120176。, ∴∠ COF=∠ BFO∠ OCB=30176。.因?yàn)?AB=8,BC=4,所以 AC=? =4? .易證△ AGE≌ △ CHF, 所以 AG=CH,所以 AO=? AC=2? 。,∴ AC=5. ∴ ? =? ,∴ CF=? . CFAF CDAE5 CFCF? 42 1035.(2022廣東 ,15,4分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,對角線 AC=2? ,E為 BC邊上一點(diǎn) ,BC= ABCD沿 AE所在的直線折疊 ,B點(diǎn)恰好落在對角線 AC上的 B39。,∴∠ EB39。,∴ AB=? AC. ∵ AC=2? ,∴ AB=? . 123 36.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,已知 AD∥ BC,AB⊥ BC,AB= E為射線 BC上一個動點(diǎn) ,連接 AE,將△ ABE沿AE折疊 ,點(diǎn) B落在點(diǎn) B39。為線段 MN的三等分點(diǎn) ,∴ B39。M+∠ EB39。EN=90176。=∠ ENB39。NE,∴ ? =? , 設(shè) B39。中 ,AM=? =? =2? ,所以 ? =? ,即 x=? 。中 ,AM=? =? =? ,所以 ? =? ,即 x=? . 綜上所述 ,BE的長為 ? 或 ? . 39。39。 ② ∠ DGF=135176。,所以 AD=DF= BC,AB=BE=△ DGF中 ,∠ F=45176。,所以 ∠ GBD+∠ GDB=∠ GBC+∠ CBD+∠ GDB=∠ CBD+ ∠ GDB+∠ CDG=90176。.因?yàn)?? =? ,所以可設(shè) AB=2k,則 AD=3k,所以 BD=? =? S△ BDG=? BD2 =? GM⊥ CF于 M,則 GM=? CF=? S△ DGF=? DF落在 ∠ ABC的角平分線上時 ,DE的長為 . ? 答案 ? 或 ? 53 52解析 作 BF平分 ∠ ABC交 CD于點(diǎn) F, 作 AG⊥ BF于點(diǎn) G,由題意知 AG=AB中 ,D39。F=BFD39。=1, ∴ DH=DF+FH=3. 設(shè) DE=x,則 D39。E2, 即 (3x)2+12=x2,解得 x=? ,即 D39。ED=? ,則矩形 ABCD的面積為 . ? ABBC 3543答案 5 解析 連接 BE,設(shè) AB=3k(k≠ 0),則 BC= Rt△ ABE中 ,根據(jù)勾股定理可求出 AE=4k,故 ED=k,由 題意可得 4k、 D39。F與 BE交于點(diǎn) AB=t,那么△ EFG的周長為 (用含 t的代數(shù)式表示 ). ? 答案 2? t 3解析 連接 BD39。C39。E, ∴ BE=2CE=2C39。=60176。. ∴∠ AFG=60176。, ∴∠ 1+∠ 2=90176。 (2)若 CF=3,BF=4,DF=5,求證 :AF平分 ∠ DAB. ? 證明 (1)在 ?ABCD中 ,AB∥ CD, ∵ DF=BE,∴ 四邊形 BFDE為平行四邊形 . ∵ DE⊥ AB,∴∠ DEB=90176。 ② 若△ OCP與△ PDA的面積比為 1∶ 4,求邊 AB的長 。,∴∠ APD+∠ DAP=90176。得 AP2=AD2+DP2, ∴ x2=82+(x4)2, ∴ x=10,即 AB=10.? (4分 ) (2)∵ 折疊后△ AOB與△ AOP重合 , ∴ AP=AB,∠ OAB=∠ OAP, ∵ AB=CD,∴ AP=CD,∵ P是 CD的中點(diǎn) ,∴ DP=? AP, ∵∠ D=90176。 (2)若將△ ABF沿著射線 BD方向平移 ,設(shè)平移的距離為 m(平移距離指點(diǎn) B沿 BD方向所經(jīng)過的線 段長度 ),當(dāng)點(diǎn) F分別平移到線段 AB、 AD上時 ,直接寫出相應(yīng)的 m的值 。BF39。若不存在 ,請說明理由 . ? 203解析 (1)AB=5,AD=? , 由勾股定理得 BD=? =? =? .? (1分 ) ∵ ? ABQ=A39。3? , ∴ DQ=3? ? 或 DQ=3? ? (舍 ).? (9分 ) 若點(diǎn) Q在線段 BD上 ,如圖 b, 253101025310253圖 b 則有 ∠ 1=∠ 2=∠ 4. ∵∠ 1=∠ 3,∴∠ 3=∠ 4, ∵∠ 3=∠ 5+∠ A39。BQ, ∴ A39。=∠ 1,∠ 2=∠ 3,∴∠ 4=∠ P, ∴∠ 4=∠ A39。Q中 ,32+(4x)2=x2, 解得 x=? , ∴ DQ=? ? =? .? (11分 ) 258253 258 12524圖 d ③ 當(dāng) PD=PQ時 , 如圖 d,有 ∠ 1=∠ 2=∠ 3, ∵∠ 1=∠ A39。,AE⊥ BC,AF⊥ CD,垂足分別為 E,F, 連接 EF,則△ AEF的面積是 ? ( ) ? ? ? ? D.? 3 3 3 3答案 B 連接 AC,在菱形 ABCD中 ,AB=BC,∵∠ B=60176。,則 AC的長為 ? ( ) ? ? ? 3 3答案 A 設(shè) AC與 BD相交于點(diǎn) O,∵ 四邊形 ABCD是菱形 ,且其周長為 16,∠ ABC=120176。=2? ,∴ AC=4? ,故選 A. ? 3 34.(2022浙江寧波 ,6,4分 )菱形的兩條對角線長分別是 6和 8,則此菱形的邊長是 ? ( ) 答案 D ∵ 四邊形 ABCD是菱形 (如圖 ),AC=8,BD=6, ∴ OB=OD=3,OA=OC=4,AC⊥ BD, 在 Rt△ AOB中 ,由勾股定理得 AB=? =? =5,即此菱形的邊長是 5,故選 D. ? 22AO OB? 2243?5.(2022山東煙臺 ,6,3分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,M,N分別在 AB,CD上 ,且 AM=CN,MN與 AC交于點(diǎn) O,連接 ∠ DAC=28176。 176。28176。BD=120 cm2, ∴ BD=24 cm. 設(shè) AC,BD的交點(diǎn)為 O,由菱形的性質(zhì)可得 AC⊥ BD,AO=5 cm,OB=12 cm,∴ AB=? = ? =13 cm. 12 121222OA OB?225 12?7.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,19,3分 )如圖 ,在邊長為 ? +1的菱形 ABCD中 ,∠ A=60176。sin 60176。,M是 AD邊的中點(diǎn) ,N是 AB邊 上一動點(diǎn) ,將△ AMN沿 MN所在直線翻折得到△ A39。是定值 ,A39。. ∴ MF=MDsin 60176。=MA=1. ∴ A39。, ∵ CE∥ OD,DE∥ OC, ∴ 四邊形 OCED是平行四邊形 , ∵∠ COD=90176。 (2)若 AB=6,BC=10,求 EF的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ AD∥ BC,AE∥ DC, ∴ 四邊形 AECD是平行四邊形 . ∵∠ BAC=90176。AC,∴ AH=? . ∵ 點(diǎn) E是 BC的中點(diǎn) ,BC=10,四邊形 AECD是菱形 ,∴ CD=CE=5. 1212 12 245∵ S?AECD=CE (3)延長圖①中的 DE到點(diǎn) G,使 EG=DE,連接 AE,AG,FG,得到圖② .若 AD=AG,判斷四邊形 AEGF 的形狀 ,并說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ DE∥ AC,∴∠ DEF=∠ EFC. ∵∠ DEF=∠ A,∴∠ A=∠ EFC. ∴ EF∥ AB. ∴ 四邊形 ADEF為平行四邊形 .? (2分 ) (2)菱形 .? (4分 ) (3)結(jié)論 :四邊形 AEGF為矩形 .? (5分 ) 理由 :由 (1)知 ,四邊形 ADEF為平行四邊形 . ∴ AF?? DE,AD=EF, ∵ EG=ED, ∴ AF?? EG. ∴ 四邊形 AEGF是平行四邊形 .? (6分 ) ∵ AD=AG,∴ AG=EF.? (7分 ) ∴ 四邊形 AEGF為矩形 .? (8分 ) 評分說明 :第 (3)題 ,證明過程正確 ,但前面不先寫出結(jié)論的不扣分 . 思路分析 (1)根據(jù)平行四邊形的定義進(jìn)行判定 。,AD是△ ABC的角平分線 ,DE ∥ BA交 AC于點(diǎn) E,DF∥ CA交 AB于點(diǎn) F,已知 CD=3. (1)求 AD的長 。. ∵ AD是△ ABC的角平分線 , ∴∠ CAD=∠ BAD=? ∠ BAC=30176。 (2)四邊形 BCED是菱形 . ? 證明 (1)∵ △ ABC≌ △ ABD,∴∠ ABC=∠ ABD. ∵ CE∥ BD,∴∠ CEB=∠ DBE,∴∠ CEB=∠ CBE. (2)∵ △ ABC≌ △ ABD,∴ BC=BD. 由 (1)得 ∠ CEB=∠ CBE,∴ CE=CB,∴ CE=BD, ∵ CE∥ BD,∴ 四邊形 BCED是平行四邊形 . ∵ BC=BD, ∴ 四邊形 BCED是菱形 . 16.(2022湖南郴州 ,23,8分 )如圖 ,AC是 ?ABCD的一條對角線 ,過 AC中點(diǎn) O的直線分別交 AD,BC 于點(diǎn) E,F. (1)求證 :△ AOE≌ △ COF。,BO=EO. 在矩形 ABCD中 ,AD∥ BC, ∴∠ GBO=∠ FEO. ∴ △ BOG≌ △ EOF(ASA).? (2分 ) ∴ BG=EF. ∴ 四邊形 BFEG是平行四邊形 . 又 ∵ FG⊥ BE, ∴ 平行四邊形 BFEG是菱形 .? (3分 ) (2)當(dāng) AB=a,n=3時 ,AD=2a,AE=? AD=? a. 在 Rt△ ABE中 ,由勾股定理得 BE=? =? a.? (4分 ) ∴ OE=? BE=? a. 23 4322AB AE?5312 56∵∠ A=∠ EOF=90176。,則以下結(jié)論正確的是 ? ( ) ? =1 ∠ AFO=? =? AFCE的面積為 ? 513102 94考點(diǎn)三 正方形 答案 C ∵ 四邊形 ABCD是邊長為 1的正方形 ,∴ 對角線 AC、 BD互相垂直平分且相等 ,∴ AO =OD=? ,在 Rt△ AOE中 ,OE=? =? ,∴ DE=OEOD=? ,∴ A選項(xiàng)錯誤 。在 Rt△ AOF中 ,OF=? =? ,∴ tan∠ AFO=? =? ,∴ B選 項(xiàng)錯誤 。時 ,如圖② ,AC=? ( ) ? A.? C.? ? 2 6 2答案 A ∵ 題圖①為正方形 ,AC為其對角線 , ∴ BC=? AC=? . ∵ 題圖②為菱形 ,∠ B=60176。④ (ab)2 ∵∠ DCE=90176。,∴ BG⊥ DE。S△ DGO. ∴ 4個結(jié)論中有 3個是正確的 ,故選 B. DGDC GOCE DGGC GOCE2DGEF??????2abb???????4.(2022山西 ,10,3分 )如圖 ,點(diǎn) E在正方形 ABCD的對角線 AC上 ,且 EC=2AE,直角三角形 FEG的兩 直角邊 EF,EG分別交 BC,DC于點(diǎn) M,N,若正方形 ABCD的邊長為 a,則重疊部分四邊形 EMCN的面 積為 ? ( ) ? A.? a2 B.? a2 C.? a2 D.? a2 23 14 59 49答案 D 過點(diǎn) E作 EO⊥ CD,EH⊥ BC,顯然四邊形 EHCO為正方形 ,∴ EH=EO,∠ HEO=90176。時 ,2BE