【文章內(nèi)容簡介】 =? . ? 22AE DE? 2232? 522AD DC? 22( 5) 5? 30思路分析 連接 AE,根據(jù)題中的作圖方法 ,可得 MN垂直平分 AC,則 EA=EC=3,用勾股定理先計(jì) 算出 AD,再計(jì)算出 AC,得解 . 解題關(guān)鍵 本題考查了矩形的性質(zhì) ,基本作圖 (作已知線段的垂直平分線 ),勾股定理 ,識別基本 作圖并熟練應(yīng)用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵 . 3.(2022黑龍江哈爾濱 ,20,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,M為 BC邊上一點(diǎn) ,連接 AM,過點(diǎn) D作 DE⊥ AM,垂足為 E,若 DE=DC=1,AE=2EM,則 BM的長為 . ? 答案 ? 255解析 ∵∠ BAM+∠ EAD=90176。,∠ EAD+∠ EDA=90176。, ∴∠ BAM=∠ ∵∠ B=∠ AED=90176。, ∴ △ ADE∽ △ MAB.∴ ? =? ,即 ? =? . ∴ AE= AE=2EM可設(shè) AE=2x,EM=x(x0),則 BM=2x, 在 Rt△ ABM中 ,由勾股定理可知 (2x+x)2=12+(2x)2, 解得 x=? (舍負(fù) ),∴ BM=2x=? . AEBM DEAB AEBM 1155 2554.(2022安徽 ,14,5分 )如圖 ,在矩形紙片 ABCD中 ,AB=6,BC= E在 CD上 ,將△ BCE沿 BE折疊 ,點(diǎn) C恰落在邊 AD上的點(diǎn) F處 。點(diǎn) G在 AF上 ,將△ ABG沿 BG折疊 ,點(diǎn) A恰落在線段 BF上的點(diǎn) H處 .有下 列結(jié)論 : ① ∠ EBG=45176。②△ DEF∽ △ ABG。③ S△ ABG=? S△ FGH。④ AG+DF=FG. 其中正確的是 .(把所有正確結(jié)論的序號都選上 ) ? 32答案 ①③④ 解析 ∵∠ ABG=∠ HBG,∠ FBE=∠ CBE,∠ ABC=90176。, ∴∠ EBG=45176。,① 正確 。 ∵ AB=6,BF=BC=10,∴ AF=8, ∴ FD=ADAF=108=2, 設(shè) DE=x,則 EF=CE=6x,在 Rt△ DEF中 , ∵ DF2+DE2=EF2, ∴ 22+x2=(6x)2,∴ x=? , 即 DE=? ,∴ EF=? , ∵ BH=AB=6, ∴ HF=BFBH=106=4, 又易知 Rt△ DEF∽ Rt△ HFG, ∴ ? =? , 即 ? =? , 8383 103EDHF EFGF834103GF∴ GF=5,∴ AG=3, 若△ DEF∽ △ ABG,則 ? =? ,但 ? ≠ ? ,故②不正確 。 ∵ BH=6,HF=4, ∴ S△ BGH=? S△ FGH, ∵ △ ABG≌ △ HBG, ∴ S△ ABG=? S△ FGH,③ 正確 。 ∵ △ FHG∽ △ EDF, ∴ ? =? , ∴ ? =? ,∴ FG=5, ∴ AG+DF=5,∴ AG+DF=FG,④ 正確 . DEAB DFAG 836 233232FGEF HFDE103FG4835.(2022天津 ,24,10分 )在平面直角坐標(biāo)系中 ,四邊形 AOBC是矩形 ,點(diǎn) O(0,0),點(diǎn) A(5,0),點(diǎn) B(0,3),以 點(diǎn) A為中心 ,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形 AOBC,得到矩形 ADEF,點(diǎn) O,B,C的對應(yīng)點(diǎn)分別為 D,E,F. (1)如圖 a,當(dāng)點(diǎn) D落在 BC邊上時(shí) ,求點(diǎn) D的坐標(biāo) 。 (2)如圖 b,當(dāng)點(diǎn) D落在線段 BE上時(shí) ,AD與 BC交于點(diǎn) H. ① 求證△ ADB≌ △ AOB。 ② 求點(diǎn) H的坐標(biāo) 。 (3)記 K為矩形 AOBC對角線的交點(diǎn) ,S為△ KDE的面積 ,求 S的取值范圍 (直接寫出結(jié)果即可 ). ? 圖 a 圖 b 解析 (1)∵ 點(diǎn) A(5,0),點(diǎn) B(0,3), ∴ OA=5,OB=3. ∵ 四邊形 AOBC是矩形 , ∴ AC=OB=3,BC=OA=5,∠ OBC=∠ C=90176。. ∵ 矩形 ADEF是由矩形 AOBC旋轉(zhuǎn)得到的 , ∴ AD=AO=5. 在 Rt△ ADC中 ,有 AD2=AC2+DC2, ∴ DC=? =? =4. ∴ BD=BCDC=1. ∴ 點(diǎn) D的坐標(biāo)為 (1,3). (2)① 證明 :由四邊形 ADEF是矩形 ,得 ∠ ADE=90176。. 又點(diǎn) D在線段 BE上 ,得 ∠ ADB=90176。. 由 (1)知 ,AD=AO,又 AB=AB,∠ AOB=90176。, ∴ Rt△ ADB≌ Rt△ AOB. 22AD AC? 2253?② 由 Rt△ ADB≌ Rt△ AOB,得 ∠ BAD=∠ BAO. 又在矩形 AOBC中 ,OA∥ BC, ∴∠ CBA=∠ OAB. ∴∠ BAD=∠ CBA. ∴ BH=AH. 設(shè) BH=t(0t5),則 AH=t,HC=BCBH=5t. 在 Rt△ ACH中 ,有 AH2=AC2+HC2, ∴ t2=32+(5t)2,解得 t=? . ∴ BH=? . ∴ 點(diǎn) H的坐標(biāo)為 ? . (3)? ≤ S≤ ? . 17517517,35??????30 3 344? 30 3 344?思路分析 (1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 AD=AO=5,在直角△ ACD中運(yùn)用勾股定理可求 CD的長 ,從而可確定 D點(diǎn)坐標(biāo) .(2)① 根據(jù)直角三角形全等的判定方法進(jìn)行判定 。② 由①知 ∠ BAD=∠ BAO,再根據(jù)矩形的性質(zhì)得 ∠ CBA=∠ OAB,從而 ∠ BAD=∠ CBA,故 BH=AH,在 Rt△ ACH 中 ,運(yùn)用勾股定理可求得 AH的長 ,得出 H點(diǎn)的坐標(biāo) .(3)在矩形旋轉(zhuǎn)的過程中 ,根據(jù)點(diǎn) K與直線 DE 的距離范圍即可確定 S的取值范圍 . 提示 如圖 1,當(dāng)矩形頂點(diǎn) D在線段 AB上時(shí) ,點(diǎn) K到直線 DE的距離最小 ,最小值為線段 DK的長 , DK=AD? AB=5? , S=? DKDE=? . ? 圖 1 如圖 2,當(dāng)矩形頂點(diǎn) D在 BA的延長線上時(shí) ,點(diǎn) K到直線 DE的距離最大 ,最大值為線段 DK的長 , 12 3421230 3 344?DK=AD+? AB=5+? , S=? DKDE=? . 所以 ? ≤ S≤ ? . ? 圖 2 12 3421230 3 344?30 3 344? 30 3 344?6.(2022云南昆明 ,23,12分 )如圖 1,在矩形 ABCD中 ,P為 CD邊上一點(diǎn) (DPCP),∠ APB=90176。,將△ ADP沿 AP翻折得到△ AD39。P,PD39。的延長線交邊 AB于點(diǎn) M,過點(diǎn) B作 BN∥ MP交 DC于點(diǎn) N. (1)求證 :AD2=DPPC。 (2)請判斷四邊形 PMBN的形狀 ,并說明理由 。 (3)如圖 2,連接 AC,分別交 PM,PB于點(diǎn) E, ? =? ,求 ? 的值 . ? DPAD 12EFAE解析 (1)證明 :在矩形 ABCD中 ,AD=BC,∠ C=∠ D=90176。, ∴∠ DAP+∠ APD=90176。, ∵∠ APB=90176。, ∴∠ CPB+∠ APD=90176。, ∴∠ DAP=∠ CPB,? (1分 ) ∴ △ ADP∽ △ PCB, ∴ ? =? ,? (2分 ) ∴ ADCB=DPPC. ∵ AD=BC, ∴ AD2=DPPC.? (3分 ) (2)四邊形 PMBN為菱形 ,理由如下 :? (4分 ) 在矩形 ABCD中 ,CD∥ AB, ∵ BN∥ PM, ∴ 四邊形 PMBN為平行四邊形 , ADPC DPCB∵ △ ADP沿 AP翻折得到△ AD39。P, ∴∠ APD=∠ APM, ∵ CD∥ AB, ∴∠ APD=∠ PAM, ∴∠ APM=∠ PAM,? (6分 ) ∵∠ APB=90176。, ∴∠ PAM+∠ PBA=90176。,∠ APM+∠ BPM=90176。, 又 ∵∠ APM=∠ PAM, ∴∠ PBA=∠ BPM, ∴ PM=MB. 又 ∵ 四邊形 PMBN為平行四邊形 , ∴ 四邊形 PMBN為菱形 .? (7分 ) (3)解法一 :∵∠ APM=∠ PAM, ∴ PM=AM, ∵ PM=MB, ∴ AM=MB, ∵ 四邊形 ABCD為矩形 , ∴ CD∥ AB且 CD=AB, 設(shè) DP=a,則 AD=2DP=2a, 由 AD2=DPPC得 PC=4a, ∴ DC=AB=5a,? (8分 ) ∴ MA=MB=? , ∵ CD∥ AB, ∴∠ ABF=∠ CPF,∠ BAF=∠ PCF, ∴ △ BFA∽ △ PFC, ∴ ? =? =? =? ,? (9分 ) ∴ ? =? , 同理可得△ MEA∽ △ PEC, 52aAFCF ABCP54 aa 54AFAC 59∴ ? =? =? =? , ∴ ? =? ,? (10分 ) ∴ ? =? ? =? ? =? ,? (11分 ) ∵ ? ∶ ? =? , ∴ ? =? ∶ ? =? .? (12分 ) 解法二 :過點(diǎn) F作 FG∥ PM,交 MB于點(diǎn) G. ? ∵∠ APM=∠ PAM, AECEAMCP524aa58AEAC 513EFAC AFACAEAC 59 51320227EFAC AEAC EFAEEFAE 20227 51349∴ PM=AM, ∵ PM=MB, ∴ AM=MB, ∵ 四邊形 ABCD為矩形 , ∴ CD∥ AB且 CD=AB, 設(shè) DP=a,則 AD=2DP=2a, 由 AD2=DPPC得 PC=4a, ∴ DC=AB=5a,? (8分 ) ∴ MA=MB=? . ∵ CD∥ AB, ∴∠ CPF=∠ ABF,∠ PCF=∠ BAF, ∴ △ PFC∽ △ BFA, ∴ ? =? =? =? ,? (9分 ) ∵ FG∥ PM, 52aPFBF CPAB 45 aa 45∴ ? =? =? ,? (10分 ) ∴ ? =? , ∵ AM=MB, ∴ ? =? , ∵ FG∥ PM, ∴ ? =? =? .? (12分 ) MGBG PFBF 45MGMB49MGAM 49EFAE MGAM 49思路分析 (1)根據(jù)矩形的性質(zhì)以及所給條件 ,證明△ ADP∽ △ PCB,從而得 AD2=DPPC。(2)由 翻折得 ∠ APD=∠ APM,由等角的余角相等得 ∠ PBA=∠ BPM,從而得 PM=MB,進(jìn)而易得四邊形 PMBN為菱形 。(3)解法一 :設(shè) DP=a,則可求得 AD=2a,PC=4a,AB=5a,由 CD∥ AB,可得△ BFA∽ △ PFC,△ MEA∽ △ PEC,所以 ? =? ,? =? ,進(jìn)而可得 ? 的值 .解法二 :過點(diǎn) F作 FG∥ PM,交 MB 于點(diǎn) G,設(shè) DP=a,可求得 AD=2a,PC=4a,AB=5a,MA=MB=? ,根據(jù) CD∥ AB,FG∥ PM,AM=MB這些 條件可求得 ? 的值 . AFAC 59AEAC 513 EFAE52aEFAE解題關(guān)鍵 本題主要考查了矩形的性質(zhì) ,軸對稱 ,菱形的判定 ,相似三角形的判定與性質(zhì)等知 識 ,題目綜合性強(qiáng)、計(jì)算量大 ,屬難題 .解題的關(guān)鍵在于從復(fù)雜的條件中確定解決問題所需的條 件 ,進(jìn)而推理、論證、計(jì)算 ,使題目得以解答 . 考點(diǎn)二 菱形 1.(2022陜西 ,8,3分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,點(diǎn) E、 F、 G、 H分別是邊 AB、 BC、 CD和 DA的中點(diǎn) , 連接 EF、 FG、 GH和 EH=2EF,則下列結(jié)論正確的是 ? ( ) ? =? EF =? EF =2EF =? EF 2 35答案 D 如圖 ,連接 AC、 BD交于 O, ? ∵ 四邊形 ABCD是菱形 , ∴ AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD, ∵ 點(diǎn) E、 F、 G、 H分別是邊 AB、 BC、 CD和 DA的中點(diǎn) , ∴ EF=? AC,EH=? BD, ∵ EH=2EF,∴ BD=2AC,∴ OB=2OA, ∴ AB=? =? OA, 易知 OA=EF,∴ AB=? EF,故選 D. 12 1222OB OA? 55思路分析 首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到 AC⊥ BD,OA=OC,OB=OD,然后根據(jù)三角形中位線定理 得出 EF=? AC,EH=? BD,進(jìn)而得到 OB=2OA,最后根據(jù)勾股定理求得 AB=? OA,即得 AB=? EF. 12 125 52.(2022河南 ,10,3分 )如圖 1,點(diǎn) F從菱形 ABCD的頂點(diǎn) A出發(fā) ,沿 A→ D→ B以 1 cm/s的速度勻速運(yùn) 動到點(diǎn) 2是點(diǎn) F運(yùn)動時(shí) ,△ FBC的面積 y(cm2)隨時(shí)間 x(s)變化的關(guān)系圖象 ,則 a的值為 ? ( ) ? 圖 1 ? 圖 2 A.? C.?