【正文】 BCD中 ,AB=6,連接 AC,BD,P是正方形邊上或對角線上一點 ,若 PD=2AP,則 AP的長為 . 答案 2,? ? 或 2? 14 2 3解析 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,AB=6,∴ AC⊥ BD,AC=BD=6? ,OA=OD=3? . 有三種情況 :① 點 P在 AD上時 , ? ∵ AD=6,PD=2AP, ∴ AP=? AD=2。 ② 點 P在 AC上時 ,不妨設 AP=x(x0),則 DP=2x, ? 在 Rt△ DPO中 ,由勾股定理得 DP2=DO2+OP2, 2 213即 (2x)2=(3? )2+(3? x)2, 解得 x=? ? (負值舍去 ),即 AP=? ? 。 ③ 點 P在 AB上時 ,∵∠ PAD=90176。,PD=2AP,∴∠ ADP=30176。, ? ∴ AP=ADtan 30176。=6? =2? . 綜上所述 ,AP的長為 2,? ? 或 2? . 2 214 2 14 233314 2 3思路分析 根據(jù)正方形的性質得出 AC⊥ BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,畫出符合題意的三種情 況 ,根據(jù)正方形的性質、勾股定理及銳角三角函數(shù)求解即可 . 解題關鍵 熟記正方形的性質 ,分析符合題意的情況 ,并準確畫出圖形是解題的關鍵 . 易錯警示 此題沒有給出圖形 ,需將點 P的位置分類討論 ,做題時 ,往往會因只畫出點 P在正方 形邊上而致錯 . 5.(2022山東青島 ,13,3分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,對角線 AC與 BD相交于點 O,E為 BC上一點 ,CE =5,F為 DE的中點 .若△ CEF的周長為 18,則 OF的長為 . ? 答案 ? 72解析 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,∴ BO=DO,BC=CD,∠ BCD=90176。.在 Rt△ DCE中 ,∵ F為 DE的中 點 ,∴ CF=? DE=EF=DF.∵ △ CEF的周長為 18,∴ CE+CF+EF=18,又 ∵ CE=5,∴ CF+EF=185=1 3,∴ DE=DF+EF=13,∴ DC=? =12,∴ BC=12,∴ BE=125=△ BDE中 ,∵ BO=DO,F為 DE 的中點 ,∴ OF為△ BDE的中位線 ,∴ OF=? BE=? . 122213 5?12 726.(2022北京 ,27,7分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,E是邊 AB上的一動點 (不與點 A,B重合 ),連接 DE,點 A關于直線 DE的對稱點為 F,連接 EF并延長交 BC于點 G,連接 DG,過點 E作 EH⊥ DE交 DG的延長 線于點 H,連接 BH. (1)求證 :GF=GC。 (2)用等式表示線段 BH與 AE的數(shù)量關系 ,并證明 . ? 解析 (1)證明 :如圖 ,連接 DF. ? ∵ 四邊形 ABCD為正方形 , ∴ DA=DC=AB,∠ A=∠ C=∠ ADC=90176。. 又 ∵ 點 A關于直線 DE的對稱點為 F, ∴ △ ADE≌ △ FDE, ∴ DA=DF=DC,∠ DFE=∠ A=90176。, ∴∠ DFG=90176。. 在 Rt△ DFG和 Rt△ DCG中 , ? ∴ Rt△ DFG≌ Rt△ DCG(HL), ∴ GF=GC. (2)線段 BH與 AE的數(shù)量關系 :BH=? AE. 證明 :在線段 AD上截取 AM,使 AM=AE,連接 ME. ? ∵ AD=AB, ∴ DM=BE. 由 (1)得 ∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4, ,D G D GD F D C??? ??2∵∠ ADC=90176。, ∴∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=90176。, ∴ 2∠ 2+2∠ 3=90176。, ∴∠ 2+∠ 3=45176。, ∴∠ EDH=45176。. ∵ EH⊥ DE, ∴ DE=EH, ∵∠ DEH=90176。,∠ A=90176。, ∴∠ 1+∠ AED=90176。,∠ 5+∠ AED=90176。, ∴∠ 1=∠ 5. 在△ DME和△ EBH中 , ? ∴ △ DME≌ △ EBH(SAS),∴ ME=BH. ∵∠ A=90176。,AM=AE, ,1 5 ,D M E BD E E H???? ? ?????∴ ME=? AE, ∴ BH=? AE. 22思路分析 本題第 (1)問需要通過正方形的性質和軸對稱的性質解決 。本題第 (2)問需要通過構 造全等三角形 ,利用等腰直角三角形的性質解決 . 解題關鍵 解決本題第 (2)問的關鍵是要通過截取得到等腰直角三角形 ,并借助 SAS證明三角 形全等 ,從而將 BH和 AE轉化到△ AME中證明數(shù)量關系 . 7.(2022陜西 ,19,7分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,E、 F分別為邊 AD和 CD上的點 ,且 AE=CF,連接 AF、 CE交于點 :AG=CG. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴∠ ADF=∠ CDE=90176。,AD=CD. ∵ AE=CF, ∴ DE=DF.? (2分 ) ∴ △ ADF≌ △ CDE. ∴∠ DAF=∠ DCE.? (4分 ) 又 ∵∠ AGE=∠ CGF,AE=CF, ∴ △ AGE≌ △ CGF, ∴ AG=CG.? (7分 ) C組 教師專用題組 考點一 矩形 1.(2022四川南充 ,8,3分 )如圖 ,對折矩形紙片 ABCD,使 AB與 DC重合得到折痕 EF,將紙片展平 。再 一次折疊 ,使點 D落到 EF上點 G處 ,并使折痕經(jīng)過點 A,展平紙片后 ∠ DAG的大小為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C 如圖 ,根據(jù)第二次折疊可知 ,∠ 1=∠ 2,∠ MGA=90176。,由第一次折疊可知 ,MN=AN,即 NG 是 Rt△ AMG的中線 ,故 AN=GN,所以 ∠ 2=∠ EF∥ AB,所以 ∠ 3=∠ 4,故 ∠ 1=∠ 2=∠ 4,又因為 ∠ 1+∠ 2+∠ 4=90176。,所以 ∠ 1=∠ 2=∠ 4=30176。,所以 ∠ 1+∠ 2=∠ DAG=60176。,故選 C. ? 2.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,9,3分 )已知矩形 ABCD的周長為 20 cm,兩條對角線 AC,BD相交于點 O, 過點 O作 AC的垂線 EF,分別交兩邊 AD,BC于 E,F(不與頂點重合 ),則以下關于△ CDE與△ ABF判 斷完全正確的一項為 ? ( ) A.△ CDE與△ ABF的周長都等于 10 cm,但面積不一定相等 B.△ CDE與△ ABF全等 ,且周長都為 10 cm C.△ CDE與△ ABF全等 ,且周長都為 5 cm D.△ CDE與△ ABF全等 ,但它們的周長和面積都不能確定 答案 B ∵ AO=CO,EF⊥ AC,即 EF垂直平分 AC, ∴ EA=EC, ? ∴ △ CDE的周長 =CD+DE+CE=CD+AD=10 cm,同理可求出△ ABF的周長為 10 cm. 在△ AOE和△ COF中 , ∵ ? ∴ △ AOE≌ △ COF,∴ AE=CF. ∵ AD=BC,∴ DE=BF. ,E A O F C OA O C OA O E C O F? ? ?????? ? ? ??在△ CDE和△ ABF中 ,? ∴ △ CDE≌ △ ABF,故選 B. ,C D A BC D E A B FD E B F???? ? ??? ??評析 本題考查了矩形的性質 ,線段的垂直平分線的性質 ,全等三角形的判定 ,屬容易題 . 3.(2022安徽 ,9,4分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,AB=8,BC=4,點 E在 AB上 ,點 F在 CD上 ,點 G、 H在對角線 AC上 ,若四邊形 EGFH是菱形 ,則 AE的長是 ? ( ) ? ? ? 5 5答案 C 連接 EF交 GH于點 O,由四邊形 EGFH為菱形 ,可得 EF⊥ GH,OH=OG,因為四邊形 ABCD為矩形 ,所以 ∠ B=90176。.因為 AB=8,BC=4,所以 AC=? =4? .易證△ AGE≌ △ CHF, 所以 AG=CH,所以 AO=? AC=2? 。因為 EO⊥ GH,∠ B=90176。,所以 ∠ AOE=∠ B,又因為 ∠ OAE=∠ BAC,所以△ AOE∽ △ ABC,所以 ? =? =? ,所以 AE=5,故選 C. 22AB BC? 5125AEAC AOAB 544.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,18,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,點 E是 CD的中點 ,點 F是 BC上一點 ,且 FC=2BF, 連接 AE, AB=2,AD=3,則 cos∠ AEF的值是 . ? 答案 ? 22解析 連接 AF. ∵ 四邊形 ABCD是矩形 ,∴ AB=CD,∠ B=∠ C=90176。. ∵ 點 E是 CD的中點 ,AB=2,∴ CE=1. ∵ FC=2BF,BC=3,∴ BF=1,FC=2. 易證△ ABF≌ △ FCE,∴ AF=EF,∠ AFB=∠ FEC, ∵∠ FEC+∠ EFC=90176。,∴∠ AFB+∠ EFC=90176。,∴∠ AFE=90176。. ∴ △ AEF是等腰直角三角形 ,∴ cos∠ AEF=cos 45176。=? . 225.(2022廣東 ,15,4分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,對角線 AC=2? ,E為 BC邊上一點 ,BC= ABCD沿 AE所在的直線折疊 ,B點恰好落在對角線 AC上的 B39。處 ,則 AB= . ? 3答案 ? 3解析 由折疊和矩形的性質 ,可知 BE=B39。E,∠ AB39。E=∠ ABE=90176。,∴∠ EB39。C=90176。. ∵ BC=3BE, ∴ EC=2BE=2B39。E, ∴∠ ACB=30176。,∴ AB=? AC. ∵ AC=2? ,∴ AB=? . 123 3評析 本題考查折疊和矩形的性質等知識 .屬中檔題 . 6.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,已知 AD∥ BC,AB⊥ BC,AB= E為射線 BC上一個動點 ,連接 AE,將△ ABE沿 AE折疊 ,點 B落在點 B39。處 ,過點 B39。作 AD的垂線 ,分別交 AD,BC于點 M, B39。為線段 MN的 三等分點時 ,BE的長為 . ? 答案 ? 或 ? 322 355解析 ∵ AD∥ BC,AB⊥ BC,MN⊥ AD, ∴ 四邊形 ABNM為矩形 , ∴ MN=AB=3,∵ B39。為線段 MN的三等分點 ,∴ B39。M=1或 2, ∵∠ AB39。E=∠ ABC=90176。,∴∠ AB39。M+∠ EB39。N=90176。. ∵∠ EB39。N+∠ B39。EN=90176。,∴∠ AB39。M=∠ B39。EN. 又 ∵∠ AMB39。=∠ ENB39。=90176。, ∴ △ AMB39?！?△ B39。NE,∴ ? =? , 設 B39。E=BE=x. ① 當 B39。M=1時 ,B39。N=2,在 Rt△ AMB39。中 ,AM=? =? =2? ,所以 ? =? ,即 x=? 。 ② 當 B39。M=2時 ,B39。N=1,在 Rt△ AMB39。中 ,AM=? =? =? ,所以 ? =? ,即 x=? . 綜上所述 ,BE的長為 ? 或 ? . 39。ABAM 39。39。BEBN2239。39。BA BM? 2231? 23222x 3222239。39。BA BM? 2232? 535 1x 355322 355評析 本題考查軸對稱 ,矩形的判定和性質 ,相似三角形的判定與性質 ,勾股定理等知識 ,題目 的計算量略大 ,屬中檔題 . 7.(2022浙江寧波 ,15,4分 )命題“對角線相等的四邊形是矩形”是 命題 .(填“真”或 “假” ) 答案 假 解析 對角線相等的平行四邊形是矩形 ,而對角線相等的四邊形也可能是等腰梯形 ,故命題 “對角線相等的四邊形是矩形”是假命題 . 8.(2022黑龍江哈爾濱 ,19,3分 )在矩形 ABCD中 ,AD=5,AB=4,點 E,F在直線 AD上 ,且四邊形 BCFE 為菱形 ,若線段 EF的中點為點 M,則線段 AM的長為 . 答案 解析 如圖① ,依題意知 BE=BC=5, 則 AE=3,又 EF=5,M是 EF的中點 ,則 EM=,∴ AM=3+=. ? 圖① 如圖② ,同理 ,FD=3,MF=, 則 DM=DF+FM=3+=,AM=DMDA==. ? 圖② 綜上 ,線段 AM的長為 . 9.(2022南寧 ,23,8分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,E,F分別是 AB,DC邊上的點 ,且 AE=CF. (1)求證 :△ ADE≌ △ CBF。 (2)若 ∠ DEB=90176。,求證 :四邊形 DEBF是矩形 . ? 證明 (1)∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,