【正文】 決問(wèn)題 (2)的關(guān)鍵 . 18.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,18,6分 )如圖 ,?ABCD的對(duì)角線 AC、 BD相交于點(diǎn) O,AE=CF. (1)求證 :△ BOE≌ △ DOF。 (2)若 BD=EF,連接 DE、 BF,判斷四邊形 EBFD的形狀 ,無(wú)需說(shuō)明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ BO=DO,AO=OC. ∵ AE=CF,∴ AOAE=OCCF,即 OE=OF. 在△ BOE和△ DOF中 ,? ∴ △ BOE≌ △ DOF(SAS).? (4分 ) (2)矩形 .? (6分 ) ,O B O DB O E D O FO E O F???? ? ??? ??19.(2022江蘇連云港 ,22,10分 )如圖 ,將平行四邊形 ABCD沿對(duì)角線 BD進(jìn)行折疊 ,折疊后點(diǎn) C落在 點(diǎn) F處 ,DF交 AB于點(diǎn) E. (1)求證 :∠ EDB=∠ EBD。 (2)判斷 AF與 DB是否平行 ,并說(shuō)明理由 . ? 解析 (1)證明 :由折疊可知 ,∠ CDB=∠ EDB.? (1分 ) ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ DC∥ AB,∴∠ CDB=∠ EBD,? (2分 ) ∴∠ EDB=∠ EBD.? (4分 ) (2)AF∥ DB.∵∠ EDB=∠ EBD,∴ DE=BE.? (5分 ) 由折疊可知 ,DC=DF.∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ DC=AB,∴ DF=AB.∴ AE=EF.? (6分 ) ∴∠ EAF=∠ EFA. 在△ BED中 ,∠ EDB+∠ EBD+∠ DEB=180176。,即 2∠ EDB+∠ DEB=180176。. 同理 ,在△ AEF中 ,2∠ EFA+∠ AEF=180176。. ∵∠ DEB=∠ AEF,∴∠ EDB=∠ EFA,? (8分 ) ∴ AF∥ DB.? (10分 ) 20.(2022廣西南寧 ,23,8分 )如圖 ,在 ?ABCD中 ,E,F分別是 AB,DC邊上的點(diǎn) ,且 AE=CF. (1)求證 :△ ADE≌ △ CBF。 (2)若 ∠ DEB=90176。,求證 :四邊形 DEBF是矩形 . ? 證明 (1)∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD=CB,∠ A=∠ C.?(2 分 ) ∵ AE=CF,?(3 分 ) ∴ △ ADE≌ △ CBF.?(4 分 ) (2)證法一 :∵ △ ADE≌ △ CBF, ∴ DE=BF.?(5 分 ) ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB=CD. ∵ AE=CF,∴ ABAE=CDCF. ∴ EB=DF.? (6分 ) ∴ 四邊形 DEBF是平行四邊形 .? (7分 ) ∵∠ DEB=90176。, ∴ ?DEBF是矩形 .? (8分 ) 證法二 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB∥ CD,AB=CD.? (5分 ) ∵ AE=CF,∴ ABAE=CDCF. ∴ EB=DF.? (6分 ) ∴ 四邊形 DEBF是平行四邊形 .? (7分 ) ∵∠ DEB=90176。, ∴ ?DEBF是矩形 .? (8分 ) 21.(2022廣東廣州 ,18,9分 )如圖 ,?ABCD的對(duì)角線 AC、 BD相交于點(diǎn) O,EF過(guò)點(diǎn) O且與 AB、 CD 分別交于點(diǎn) E、 F,求證 :△ AOE≌ △ COF. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD為平行四邊形 , ∴ AB∥ CD,OA=OC,∴∠ EAO=∠ FCO, 在△ AOE和△ COF中 ,? ∴ △ AOE≌ △ COF(ASA). ,E A O F C OA O C OA O E C O F? ? ?????? ? ? ??A組 2022— 2022年模擬 基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一 多邊形 三年模擬 1.(2022湖南長(zhǎng)沙三模 ,5)五邊形的外角和等于 ? ( ) 176。 176。 176。 176。 答案 B 根據(jù)多邊形的外角和等于 360176?？芍暹呅蔚耐饨呛褪?360176。.故選 B. 2.(2022湖南邵陽(yáng)一模 ,3)如圖所示的正五邊形 ABCDE,連接 BD、 AD,則 ∠ ADB的大小為 . ? 答案 36176。 解析 在正五邊形 ABCDE中 , AE=DE=BC=CD,∠ E=∠ EDC=∠ C=108176。. ∴∠ ADE=∠ DAE=? =36176。, ∠ BDC=∠ CBD=36176。, ∴∠ ADB=108176。36176。36176。=36176。. 180 1082?? ?考點(diǎn)二 平行四邊形 1.(2022湖南長(zhǎng)沙六模 ,5)如圖 ,?ABCD的周長(zhǎng)為 20 cm,AE平分 ∠ BAD,若 CE=2 cm,則 AB的長(zhǎng)度 是 ? ( ) ? cm cm cm cm 答案 D ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB=CD,AD=BC,AD∥ BC, ∴∠ DAE=∠ BEA, ∵ AE平分 ∠ BAD, ∴∠ DAE=∠ BAE, ∴∠ BAE=∠ AEB,∴ AB=BE. 設(shè) AB=CD=x cm,則 AD=BC=(x+2)cm, ∵ ?ABCD的周長(zhǎng)為 20 cm, ∴ x+x+2=10, 解得 x=4, 即 AB=4 cm,故選 D. 2.(2022湖南株洲一模 ,16)如圖 ,若將 4根木條釘成的矩形木框變形為平行四邊形 ABCD的形狀 , 并使其面積變成矩形面積的一半 ,則這個(gè)平行四邊形中 ∠ ABC的度數(shù)為 . ? 解析 作 AE⊥ BC于點(diǎn) E,如圖所示 : ? 則 ∠ AEB=90176。, 根據(jù)題意得 ,平行四邊形的面積 =BCAE=? BCAB, ∴ AE=? AB, ∴ 在 Rt△ AEB中 ,sin∠ ABC=? =? , ∴∠ ABC=30176。. 1212AEAB 12答案 30176。 3.(2022湖南岳陽(yáng)一模 ,18)如圖 ,四邊形 ABCD為平行四邊形 ,F是 CD的中點(diǎn) ,連接 AF并延長(zhǎng) ,與 BC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) :BC=CE. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD=BC,AD∥ BC, ∴∠ DAF=∠ E,∠ ADF=∠ ECF, 又 ∵ F是 CD的中點(diǎn) ,即 DF=CF, ∴ △ ADF≌ △ ECF, ∴ AD=CE, ∴ BC=CE. 4.(2022湖南湘潭一模 ,22)如圖 ,E,F是四邊形 ABCD的對(duì)角線 AC上的兩點(diǎn) ,AF=CE,DF=BE,DF∥ BE. 求證 :(1)△ AFD≌ △ CEB。 (2)四邊形 ABCD是平行四邊形 . ? 證明 (1)∵ DF∥ BE, ∴∠ DFE=∠ BEF. 又 ∵ AF=CE,DF=BE, ∴ △ AFD≌ △ CEB(SAS). (2)由 (1)知△ AFD≌ △ CEB, ∴∠ DAC=∠ BCA,AD=BC, ∴ AD?? BC. ∴ 四邊形 ABCD是平行四邊形 (一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 ). 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 3分 ) B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時(shí)間 :10分鐘 分值 :20分 ) 1.(2022湖南長(zhǎng)沙七模 ,5)下列命題 : ①等邊三角形是中心對(duì)稱圖形 。 ②一組對(duì)邊平行 ,另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 。 ③兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 。 ④兩條對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 . 其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ? ( ) 答案 A 由中心對(duì)稱圖形的定義知 ,等邊三角形不是中心對(duì)稱圖形 ,故①錯(cuò)誤 。 一組對(duì)邊平行 ,另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形 ,因?yàn)榈妊菪我卜洗藯l件 ,故 ②錯(cuò)誤 。 兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 ,故③正確 。 兩條對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形 ,故④錯(cuò)誤 .故選 A. 二、填空題 (每小題 4分 ,共 4分 ) 2.(2022湖南師大附中二模 ,11)正多邊形的一個(gè)外角是 72176。,則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是 . 答案 540176。 解析 根據(jù)多邊形的外角和是 360176。,知此正多邊形是正五邊形 ,其內(nèi)角和是 (180176。72176。)5=540176。. 三、解答題 (共 13分 ) 3.(2022湖南株洲石峰模擬 ,23)如圖 ,BD是△ ABC的角平分線 ,點(diǎn) E,F分別在邊 BC,AB上 ,且 DE∥ AB,EF∥ AC. (1)求證 :BE=AF。 (2)若 ∠ ABC=60176。,BD=6,求四邊形 ADEF的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ DE∥ AB,EF∥ AC, ∴ 四邊形 ADEF是平行四邊形 ,∠ ABD=∠ BDE, ∴ AF=DE, ∵ BD是△ ABC的角平分線 , ∴∠ ABD=∠ DBE, ∴∠ DBE=∠ BDE, ∴ BE=DE,∴ BE=AF. (2)如圖 ,過(guò)點(diǎn) D作 DG⊥ AB于點(diǎn) G,過(guò)點(diǎn) E作 EH⊥ BD于點(diǎn) H, ∵∠ ABC=60176。,BD是 ∠ ABC的平分線 , ∴∠ ABD=∠ EBD=30176。, ∴ DG=? BD=? 6=3, ∵ BE=DE, ∴ BH=DH=? BD=3,∴ BE=? =2? , ∴ DE=BE=2? , 12 1212 cos 30BH? 33∴ 四邊形 ADEF的面積為 DEDG=6? . ? 3思路分析 (1)先由 DE∥ AB,EF∥ AC判定四邊形 ADEF為平行四邊形 ,則 AF=DE,再利用角平分 線證得 BE=DE,所以 BE=AF. (2)由 (1)及 ∠ ABC=60176。,BD=6,求出 DE及 AF,DE間的距離 ,從而求出平行四邊形 ADEF的面積 . 評(píng)析 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知 識(shí) .此題難度適中 ,注意掌握輔助線的作法以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 .