【正文】 B的延長線上 ,且 BN=PM,連接 MN交 PB于點(diǎn) F,作 ME⊥ BP于點(diǎn) 點(diǎn) M、 N在移動過程中 ,線段 EF的長度是否發(fā)生變化 ?若變化 ,說明理由 。若不變 ,求出線段 EF的 長度 . ? (1) ??????在 的 條 件 下圖 1 圖 2 解析 (1)① 證明 :∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴∠ C=∠ D=90176。,∴∠ APD+∠ DAP=90176。, ∵ △ APO是由△ ABO沿 AO折疊而得 , ∴∠ APO=∠ B=90176。,∴∠ APD+∠ CPO=90176。, ∴∠ DAP=∠ CPO,∴ △ ADP∽ △ PCO.? (2分 ) ② ∵ △ ADP∽ △ PCO,∴ ? =? =? ,∴ ? =? , ∵ AD=8,∴ CP=4, 設(shè) AB=x,則 DP=x4, 由 ∠ D=90176。得 AP2=AD2+DP2, ∴ x2=82+(x4)2, ∴ x=10,即 AB=10.? (4分 ) (2)∵ 折疊后△ AOB與△ AOP重合 , ∴ AP=AB,∠ OAB=∠ OAP, ∵ AB=CD,∴ AP=CD, OCPPDASS 2CPAD??????14CPAD 12∵ P是 CD的中點(diǎn) ,∴ DP=? AP, ∵∠ D=90176。,∴∠ PAD=30176。, 又 ∠ OAB=∠ OAP, ∴∠ OAB=30176。.? (8分 ) (3)不變 . 作 MH∥ BN交 PB于點(diǎn) H, ∴∠ MHP=∠ ABP,∠ MHF=∠ NBF, ∵ AP=AB,∴∠ APB=∠ ABP, ∴∠ MHP=∠ APB,∴ MP=MH, ∵ MP=BN,∴ BN=MH,∵∠ NFB=∠ MFH, ∴ △ NBF≌ △ MHF,∴ FB=FH, ∵ MP=MH,ME⊥ PB,∴ PE=EH, ∵ EF=EH+FH,∴ EF=EP+FB=? PB, 由 (1)得 AB=10,AD=8,∴ DP=6, 1212∴ PC=4,∴ PB=4? , ∴ EF=? PB=2? .? (12分 ) 5125評析 本題通過圖形的變換綜合考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角 形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識 ,屬較難題 .(1)通過等角的余角相等找到兩 組角相等判定兩三角形相似 ,再利用三角形相似的性質(zhì)、勾股定理等建立方程是突破口 。(2)通 過作輔助線構(gòu)造全等三角形 ,再對所求線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵 . 1.(2022遼寧沈陽 ,7,3分 )順次連接對角線相等的四邊形的各邊中點(diǎn) ,所形成的四邊形是 ? ( ) 考點(diǎn)二 菱形 答案 B 如圖 ,在△ ABD中 ,E,F分別是 AB,AD的中點(diǎn) , ? ∴ EF是△ ABD的中位線 ,∴ EF=? BD,同理 ,GH=? BD,EH=? AC,FG=? AC,∵ AC=BD,∴ EF=FG= HG=HE,∴ 四邊形 EFGH是菱形 . 12 12 12 12評析 順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是中點(diǎn)四邊形 .中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形 , 它的其他特征取決于原四邊形對角線的特點(diǎn) :① 若原四邊形的對角線互相垂直 ,則中點(diǎn)四邊形 的各角為直角 。② 若原四邊形的對角線相等 ,則中點(diǎn)四邊形的各邊相等 . 2.(2022上海 ,6,4分 )如圖 ,已知 AC、 BD是菱形 ABCD的對角線 ,那么下列結(jié)論一定正確的是 ? ( ) A.△ ABD與△ ABC的周長相等 B.△ ABD與△ ABC的面積相等 ABCD的周長等于兩條對角線長之和的兩倍 ABCD的面積等于兩條對角線長之積的兩倍 答案 B 解法一 :由題圖可知 S△ ABD=? S菱形 ABCD,S△ ABC=? S菱形 ABCD,所以 S△ ABD=S△ ABC. 解法二 :△ ABC和△ ABD是同底等高的兩個(gè)三角形 ,所以 S△ ABC=S△ ABD. 12 123.(2022山東煙臺 ,6,3分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,M,N分別在 AB,CD上 ,且 AM=CN,MN與 AC交于點(diǎn) O,連接 ∠ DAC=28176。,則 ∠ OBC的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C ∵∠ AOM=∠ CON,∠ MAO=∠ NCO,AM=CN, ∴ △ AOM≌ △ CON,∴ AO=CO, ∴ 點(diǎn) O是菱形 ABCD對角線的交點(diǎn) ,∴ BO⊥ AC, ∴∠ OBC=90176?！?BCO=90176?！?DAC=90176。28176。=62176。. 4.(2022陜西 ,14,3分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,∠ ABC=60176。,AB=2,點(diǎn) P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一 點(diǎn) .若以點(diǎn) P、 B、 C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形 ,則 P、 D(P、 D兩點(diǎn)不重合 )兩點(diǎn)間的最短距 離為 . ? 答案 2? 2 3解析 當(dāng)?shù)妊?PBC以 ∠ PBC為頂角時(shí) ,點(diǎn) P在以 B為圓心 ,BC為半徑的圓弧 ? 上 .連接 AC、 BD相交于點(diǎn) PD最短 ,則點(diǎn) P在如圖所示的位置處 . ∵ 四邊形 ABCD是菱形 ,∴ AC⊥ BD,∠ ABO=? ∠ ABC=30176。, ∴ BO=ABcos 30176。=? ,∴ BD=2BO=2? , ∵ PB=BC=2,∴ PD=BDPB=2? 2. ? 當(dāng)?shù)妊切?PBC以 ∠ PCB為頂角時(shí) ,易知點(diǎn) P與點(diǎn) D重合 (不合題意 ,舍去 )或點(diǎn) P與點(diǎn) A重合 ,則 PD=2. 當(dāng)?shù)妊切?PBC以 BC為底邊時(shí) ,如圖 ,作 BC的垂直平分線交 BC于點(diǎn) E,易知該直線過點(diǎn) A,則 AC︵123 33點(diǎn) P在線段 AE上 (不含點(diǎn) E).當(dāng) P與 A重合時(shí) ,PD最短 ,此時(shí) PD=2. ? ∵ 2? 22,∴ PD的最小值是 2? 2. 3 3評析 本題考查了菱形、等腰三角形的性質(zhì)、圓、中垂線 ,運(yùn)用了分類討論思想 ,綜合性較強(qiáng) , 屬于難題 . 5.(2022江蘇南京 ,16,2分 )如圖 ,菱形 ABCD的面積為 120 cm2,正方形 AECF的面積為 50 cm2,則菱 形的邊長為 cm. ? 答案 13 解析 連接 BE,EF,FD,AC, ∵ 菱形、正方形為軸對稱圖形 ,對角線所在直線是其對稱軸 , ∴ B,E,F,D在同一條直線上 , ∵ S正方形 AECF=? ACEF=? AC2=50 cm2, ∴ AC=10 cm, ∵ S菱形 ABCD=? ACBD=120 cm2,∴ BD=24 cm. 設(shè) AC,BD的交點(diǎn)為 O,由菱形的性質(zhì)可得 AC⊥ BD,AO=5 cm,OB=12 cm,∴ AB=? = ? =13 cm. 12 121222OA OB?225 12?評析 本題考查了四邊形的綜合問題 ,熟悉正方形和菱形的性質(zhì) ,會用勾股定理求線段的長度 是解題的關(guān)鍵 ,屬中檔題 . 6.(2022浙江溫州 ,16,5分 )圖甲是小明設(shè)計(jì)的帶菱形圖案的花邊作品 .該作品由形如圖乙的矩形 圖案拼接而成 (不重疊、無縫隙 ).圖乙中 ,? =? ,EF=4 cm,上下兩個(gè)陰影三角形的面積之和為 54 cm2,其內(nèi)部菱形由兩組距離相等的平行線交叉得到 ,則該菱形的周長為 cm. ? ABBC 67答案 ? 503解析 如圖 ,連接 MN、 PQ,設(shè) MN=2x cm,PQ=2y cm, ? ∵ ? =? ,∴ 可設(shè) AB=6k cm(k0),則 BC=7k cm. ∵ 上下兩個(gè)陰影三角形的面積之和為 54 cm2, ∴ 2? 3 k+54=6k7 k, 即 (2x+7k)3k+54=42k2.① 易知四邊形 DENM、四邊形 AFMN是平行四邊形 , ∴ DE=AF=MN=2x cm. ∵ EF=4 cm, ∴ 4x+4=7k,即 2x=? .② 將②代入①得 ,? 3 k+54=42k2, ABBC 67272xk?742k ?7472k k????????化簡得 7k2+4k36=0. 解得 k1=2,k2=? (舍去 ). ∴ AB=12 cm,BC=14 cm,MN=5 cm,∴ x=? . 易證△ MCD∽ △ MPQ, ∴ ? =? ,解得 y=? . ∴ PM=? =? =? (cm). ∴ 菱形 MPNQ的周長為 4? =? (cm). 18752122 y1 4 5252? 10322xy? 2 5 1 0 049? 256256 503評析 本題主要考查平行四邊形、菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì) . 7.(2022四川成都 ,24,4分 )如圖 ,在邊長為 2的菱形 ABCD中 ,∠ A=60176。,M是 AD邊的中點(diǎn) ,N是 AB邊 上一動點(diǎn) ,將△ AMN沿 MN所在直線翻折得到△ A39。MN,連接 A39。C,則 A39。C長度的最小值是 . ? 答案 ? 1 7解析 過點(diǎn) M作 MF⊥ CD交 CD的延長線于 F. 由題意可知 MA、 MA39。是定值 ,A39。C的長度最小時(shí) ,A39。在 MC上 (如圖 ). ? ∵ 菱形 ABCD的邊長為 2,∠ A=60176。,M是 AD的中點(diǎn) , ∴ MD=MA=1,∠ MDF=60176。. ∴ MF=MDsin 60176。=? ,DF=MDcos 60176。=? . ∴ CF=CD+DF=? . 在 Rt△ MFC中 ,由勾股定理得 MC=? =? . ∵ △ AMN沿 MN所在直線翻折得到△ A39。MN,∴ MA39。=MA=1. ∴ A39。C=MCMA39。=? ? 1. 32 125222MF CF? 77 7評析 本題是一道以菱形為依托的動點(diǎn)探究問題 ,主要考查菱形、軸對稱 (翻折 )、銳角三角 函數(shù)、勾股定理等知識的綜合應(yīng)用 .根據(jù)已知分析確定點(diǎn) A39。的位置是本題的解題關(guān)鍵 . 8.(2022遼寧沈陽 ,19,8分 )如圖 ,△ ABC≌ △ ABD,點(diǎn) E在邊 AB上 ,CE∥ BD,連接 DE. 求證 :(1)∠ CEB=∠ CBE。 (2)四邊形 BCED是菱形 . 證明 (1)∵ △ ABC≌ △ ABD, ∴∠ ABC=∠ ABD. ∵ CE∥ BD,∴∠ CEB=∠ DBE, ∴∠ CEB=∠ CBE. (2)∵ △ ABC≌ △ ABD,∴ BC=BD. 由 (1)得 ∠ CEB=∠ CBE, ∴ CE=CB,∴ CE=BD, ∵ CE∥ BD,∴ 四邊形 BCED是平行四邊形 . ∵ BC=BD,∴ 四邊形 BCED是菱形 . 9.(2022江西南昌 ,20,8分 ) (1)如圖 1,紙片 ?ABCD中 ,AD=5,S?ABCD= A作 AE⊥ BC,垂足為 E,沿 AE剪下△ ABE,將它平 移至△ DCE39。的位置 ,拼成四邊形 AEE39。D,則四邊形 AEE39。D的形狀為 ? ( ) (2)如圖 2,在 (1)中的四邊形紙片 AEE39。D中 ,在 EE39。上取一點(diǎn) F,使 EF=4,剪下△ AEF,將它平移至△ DE39。F39。的位置 ,拼成四邊形 AFF39。D. ① 求證 :四邊形 AFF39。D是菱形 。 ② 求四邊形 AFF39。D的兩條對角線的長 . ? 解析 (1)C.? (2分 ) (2)① ∵ AD=5,S?ABCD=15, ∴ AE=3. 又 ∵ 在題圖 2中 ,EF=4, ∴ 在 Rt△ AEF中 ,AF=? =? =5. ∴ AF=AD=5. 又由△ AEF平移得到△ DE39。F39。, ∴ AF∥ DF39。,AF=DF39。, ∴ 四邊形 AFF39。D是平行四邊形 . 又 AF=AD, ∴ 四邊形 AFF39。D是菱形 .? (5分 ) ② 如圖 ,連接 AF39。,DF. 22AE EF? 2234?在 Rt△ DE39。F中 ,∵ E39。F=E39。EEF=54=1,DE39。=3, ∴ DF=? =? .? (6分 ) 在 Rt△ AEF39。中 ,∵ EF39。=E39。E+E39。F39。=5+4=9,AE=3, ∴ AF39。=? =3? .? (8分 ) 2213? 102239? 1010.(2022貴州貴陽 ,18,10分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,D,E分別為 AB,AC邊上的中點(diǎn) ,連接 DE,將△ ADE繞點(diǎn) E旋轉(zhuǎn) 180176。得到△ CFE,連接 AF,CD. (1)求證 :四邊形 ADCF是菱形 。 (2)若 BC=8,AC=6,求四邊形 ABCF的周長 . ? 解析 (1)證明 :∵ 將△ ADE繞點(diǎn) E旋轉(zhuǎn) 180176。得到△ CFE,∴ AE=CE,DE=FE. ∴ 四邊形 ADCF為平行四邊形 .? (3分 ) ∵ 點(diǎn) D,E分別是 AB,AC的中點(diǎn) ,∴ DE是△ ABC的中位線 , ∴ DE∥ BC. ∵∠ ACB=90176。,∴ DF⊥ AC,∴ 四邊形 ADCF為菱形 .? (5分 ) (2)在 Rt△ ABC中