【正文】 點(diǎn) .設(shè)點(diǎn) E運(yùn)動(dòng)的路程為 x,FC=y,圖 2表示的是 y與 x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象 。當(dāng)點(diǎn) E在 BC上運(yùn)動(dòng)時(shí) ,FC的最大長度是 ? ,則矩形 ABCD的面積是 ? ( ) A.? D.? 25235 254答案 B 由題圖 2知 CF的最大長度為 ? ,∴ AB=? . 如圖 ,當(dāng)點(diǎn) E在 BC上運(yùn)動(dòng)時(shí) , ? ∠ CEF+∠ CFE=90176。,∠ CEF+∠ BEA=90176。, ∴∠ CFE=∠ BEA. 又 ∵∠ C=∠ B=90176。, ∴ △ CFE∽ △ BEA. ∴ ? =? .(*) 易知當(dāng)點(diǎn) E運(yùn)動(dòng)到 BC的中點(diǎn)時(shí) , CF取最大值 ,此時(shí) CF=? , CE=BE=x? . 52 52CFCEBA2552∴ 由 (*)知 ? =? . 解得 x1=? (舍 ),x2=? . ∴ CE=BE=1. ∴ BC=2. 由 AB=? ,BC=2可得矩形 ABCD的面積為 5. 2552x ?5252x ?32 72522.(2022江西南昌 ,5,3分 )如圖 ,小賢為了體驗(yàn)四邊形的不穩(wěn)定性 ,將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩 形框架 ABCD,B與 D兩點(diǎn)之間用一根 ? 拉直固定 ,然后向右扭動(dòng)框架 ,觀察所得四邊形的變 化 .下列判斷 ? 的是 ? ( ) ? ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅? ABCD的面積不變 ABCD的周長不變 ???橡 皮 筋??錯(cuò) 誤答案 C 向右扭動(dòng)框架 ABCD的過程中 ,AD與 BC的距離逐漸減小 ,即 ?ABCD的高發(fā)生變化 , 所以面積改變 ,選項(xiàng) C錯(cuò)誤 ,故選 C. 3.(2022甘肅蘭州 ,7,4分 )下列命題中正確的是 ? ( ) 答案 B 有一組鄰邊相等的 ? 四邊形是菱形 ,故 A錯(cuò)誤 。對(duì)角線垂直的平行四邊形是 ? , 故 C錯(cuò)誤 。? 對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形 ,故 D錯(cuò)誤 .B選項(xiàng)正確 ,故選 B. ??平 行 ??菱 形??兩 組評(píng)析 本題考查特殊四邊形的判定定理 ,屬容易題 . 4.(2022甘肅蘭州 ,8,4分 )如圖 ,矩形 ABCD的對(duì)角線 AC與 BD相交于點(diǎn) O,∠ ADB=30176。,AB=4,則 OC =? ( ) ? 答案 B ∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ AC=BD,OA=OC,∠ BAD=90176。, ∵∠ ADB=30176。, ∴ AC=BD=2AB=8, ∴ OC=? AC=4. 故選 B. 125.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,已知 AD∥ BC,AB⊥ BC,AB= E為射線 BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,連接 AE,將 △ ABE沿 AE折疊 ,點(diǎn) B落在點(diǎn) B39。處 ,過點(diǎn) B39。作 AD的垂線 ,分別交 AD,BC于點(diǎn) M, B39。為線段 MN 的三等分點(diǎn)時(shí) ,BE的長為 . ? 答案 ? 或 ? 322355解析 ∵ AD∥ BC,AB⊥ BC,MN⊥ AD,∴ 四邊形 ABNM為矩形 , ∴ MN=AB=3,∵ B39。為線段 MN的三等分點(diǎn) ,∴ B39。M=1或 2, ∵∠ AB39。E=∠ ABC=90176。,∴∠ AB39。M+∠ EB39。N=90176。. ∵∠ EB39。N+∠ B39。EN=90176。,∴∠ AB39。M=∠ B39。EN. 又 ∵∠ AMB39。=∠ ENB39。=90176。, ∴ △ AMB39?！?△ B39。NE,∴ ? =? , 設(shè) B39。E=BE=x. ①當(dāng) B39。M=1時(shí) ,B39。N=2,在 Rt△ AMB39。中 ,AM=? =? =2? ,所以 ? =? ,即 x=? 。 ②當(dāng) B39。M=2時(shí) ,B39。N=1,在 Rt△ AMB39。中 ,AM=? =? =? ,所以 ? =? ,即 x=? . 綜上所述 ,BE的長為 ? 或 ? . 39。39。39。BEBN2239。39。BA BM?2231?2 3x3225351x3553223556.(2022安徽 ,14,5分 )如圖 ,在矩形紙片 ABCD中 ,AB=6,BC= E在 CD上 ,將△ BCE沿 BE折疊 ,點(diǎn) C恰落在邊 AD上的點(diǎn) F處 。點(diǎn) G在 AF上 ,將△ ABG沿 BG折疊 ,點(diǎn) A恰落在線段 BF上的點(diǎn) H處 .有下 列結(jié)論 : ① ∠ EBG=45176。②△ DEF∽ △ ABG。③ S△ ABG=? S△ FGH。④ AG+DF=FG. 其中正確的是 .(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上 ) ? 32答案 ①③④ 解析 ∵∠ ABG=∠ HBG,∠ FBE=∠ CBE,∠ ABC=90176。, ∴∠ EBG=45176。,①正確 。 ∵ AB=6,BF=BC=10,∴ AF=8, ∴ FD=ADAF=108=2, 設(shè) DE=x,則 EF=CE=6x,在 Rt△ DEF中 , ∵ DF2+DE2=EF2, ∴ 22+x2=(6x)2,∴ x=? , 即 DE=? ,∴ EF=? , ∵ BH=AB=6, ∴ HF=BFBH=106=4, 又易知 Rt△ DEF∽ Rt△ HFG, ∴ ? =? , 即 ? =? , 8383103EDGF834 3∴ GF=5,∴ AG=3, 若△ DEF∽ △ ABG,則 ? =? ,但 ? ≠ ? ,故②不正確 。 ∵ BH=6,HF=4, ∴ S△ BGH=? S△ FGH, ∵ △ ABG≌ △ HBG, ∴ S△ ABG=? S△ FGH,③正確 。 ∵ △ FHG∽ △ EDF, ∴ ? =? ,∴ ? =? ,∴ FG=5, ∴ AG+DF=5,∴ AG+DF=FG,④正確 . DEABDFAG836233232EFDE103FG4837.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,矩形 ABCD中 ,AD=5,AB= E為 DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,把△ ADE沿 AE折疊 , 當(dāng)點(diǎn) D的對(duì)應(yīng)點(diǎn) D39。落在 ∠ ABC的角平分線上時(shí) ,DE的長為 . ? 答案 ? 或 ? 5352解析 作 BF平分 ∠ ABC交 CD于點(diǎn) F, 作 AG⊥ BF于點(diǎn) G,由題意知 AG=ABsin 45176。=? , ∵ ? 5, ∴ D39。是以 A為圓心 ,AD長為半徑的圓弧與 BF的交點(diǎn) ,易知有兩種情況 , 第一種情況 :如圖① , ? 圖① 在 Rt△ AGD39。中 ,D39。G=? =? , 722722 2239。DA AG?22∴ BD39。=? +? =4? , ∴ D39。F=BFD39。B=5? 4? =? , 作 D39。H⊥ CD,垂足為 H. 在 Rt△ D39。FH中 ,易求得 FH=HD39。=1, ∴ DH=DF+FH=3,設(shè) DE=x,則 D39。E=x,EH=3x, 在 Rt△ EHD39。中 , EH2+D39。H2=D39。E2, 即 (3x)2+12=x2,解得 x=? ,即 D39。E=? , 第二種情況 :如圖② , ? 72222 253 53圖② 作 D39。H⊥ CD,垂足為 H, 同理求得 D39。E=? . 綜上所述 , DE的長為 ? 或 ? . 5253528.(2022江蘇蘇州 ,17,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,? =? .以點(diǎn) B為圓心 ,BC長為半徑畫弧 ,交邊 AD 于點(diǎn) E,若 AEED=? ,則矩形 ABCD的面積為 . ? AB3543答案 5 解析 連接 BE,設(shè) AB=3k(k≠ 0),則 BC= Rt△ ABE中 ,根據(jù)勾股定理可求出 AE=4k,故 ED=k,由 題意可得 4kk=? ,可得 k2=? , 所以矩形 ABCD的面積為 ABBC=3k5 k=15k2=15? =5. 43 13 139.(2022上海 ,18,4分 )如圖 ,已知在矩形 ABCD中 ,點(diǎn) E在邊 BC上 ,BE=2CE,將矩形沿著過點(diǎn) E的直 線翻折后 ,點(diǎn) C、 D分別落在邊 BC下方的點(diǎn) C39。、 D39。處 ,且點(diǎn) C39。、 D39。、 B在同一直線上 ,折痕與邊 AD交于點(diǎn) F,D39。F與 BE交于點(diǎn) AB=t,那么△ EFG的周長為 (用含 t的代數(shù)式表示 ). ? 答案 2? t 3解析 連接 BD39。,∵ 點(diǎn) C39。、 D39。、 B在同一直線上 ,∴∠ D=∠ FD39。C39。=∠ GD39。B=90176。,由翻折知 ,CE=C39。E, ∴ BE=2CE=2C39。E, ∴∠ EBC39。=30176。,∠ BGD39。=60176。, ∵∠ BGD39。=∠ FGE,∴∠ FGE=60176。. ∵ AD∥ BC, ∴∠ AFG=∠ BGD39。. ∴∠ AFG=60176。, 易得 ∠ GFE=60176。, ∴ △ EFG為等邊三角形 . ∵ AB=t,∴ FG=? ? t, ∴ C△ EFG=2? t. 23 3310.(2022湖北黃岡 ,15,3分 )如圖 ,在一張長為 8 cm,寬為 6 cm的矩形紙片上 ,現(xiàn)要剪下一個(gè)腰長為 5 cm的等腰三角形 (要求 :等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合 ,其余的兩個(gè)頂點(diǎn)在 矩形的邊上 ).則剪下的等腰三角形的面積為 cm2. ? 答案 ? 或 5? 或 10(每答對(duì)一個(gè) ,給 1分 ) 252 6解析 不妨設(shè)重合的頂點(diǎn)為點(diǎn) A,則有以下三種情況 : ? 圖 (1) ? 圖 (2) ? 圖 (3) ①如圖 (1),AE=AF=5,所以所求面積為 ? 55=? cm2. ②如圖 (2),AE=EF=5,可求出 BE=1,在 Rt△ BEF中 ,根據(jù)勾股定理可得 BF=? =2? ,所以 所求面積為 ? AEBF=? 52? =5? cm2. ③如圖 (3),AE=EF=5,可求出 DE=3,Rt△ DEF中 ,根據(jù)勾股定理可得 DF=? =4,所以所求 面積為 ? AEDF=? 54=10 cm2. 綜上所述 ,剪下的等腰三角形的面積為 ? cm2或 5? cm2或 10 cm2. 12 252 22EF EB?612 1 66 D12 12 25611.(2022廣西桂林 ,17,3分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,對(duì)角線 AC,BD交于點(diǎn) O,過點(diǎn) A作 EA⊥ CA交 DB 的延長線于點(diǎn) E,若 AB=3,BC=4,則 ? 的值為 . ? AOAE答案 ? 724解析 作 BH⊥ OA于 H,如圖 , ? ∵ 四邊形 ABCD為矩形 , ∴ OA=OC=OB,∠ ABC=90176。, 在 Rt△ ABC中 ,AC=? =5, ∴ AO=OB=? , ∵ ? BHAC=? ABBC, ∴ BH=? =? , 2234?5212 12345?125在 Rt△ OBH中 ,OH=? =? =? , ∵ EA⊥ CA, ∴ BH∥ AE, ∴ △ OBH∽ △ OEA, ∴ ? =? , ∴ ? =? =? =? . 22OB BH?225 1 225? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?710OA712572412.(2022云南昆明 ,23,12分 )如圖 1,在矩形 ABCD中 ,P為 CD邊上一點(diǎn) (DPCP),∠ APB=90176。,將 △ ADP沿 AP翻折得到△ AD39。P,PD39。的延長線交邊 AB于點(diǎn) M,過點(diǎn) B作 BN∥ MP交 DC于點(diǎn) N. (1)求證 :AD2=DPPC。 (2)請(qǐng)判斷四邊形 PMBN的形狀 ,并說明理由 。 (3)如圖 2,連接 AC,分別交 PM,PB于點(diǎn) E, ? =? ,求 ? 的值 . ? AD12EFAE解析 (1)證明 :在矩形 ABCD中 ,AD=BC,∠ C=∠ D=90176。, ∴∠ DAP+∠ APD=90176。, ∵∠ APB=90176。, ∴∠ CPB+∠ APD=90176。, ∴∠ DAP=∠ CPB,? (1分 ) ∴ △ ADP∽ △ PCB, ∴ ? =? ,? (2分 ) ∴ ADCB=DPPC. ∵ AD=BC, ∴ AD2=DPPC.? (3分 ) (2)四邊形 PMBN為菱形 ,理由如下 :? (4分 ) 在矩形 ABCD中 ,CD∥ AB, ∵ BN∥ PM, ∴ 四邊形 PMBN為平行四邊形 , ∵ △ ADP沿 AP翻折得到△ AD39。P, ∴∠ APD=∠ APM, ∵ CD∥ AB, ∴∠ APD=∠ PAM, ∴∠ APM=∠ PAM,? (6分 ) ∵∠ APB=90176。, ∴∠ PAM+∠ PBA=90176。,∠ APM+∠ BPM=90176。, 又 ∵∠ APM=∠ PAM, ∴∠ PBA=∠ BPM, ∴ PM=MB. 又 ∵ 四邊形 PMBN為平行四邊形 , ∴ 四邊形 PMBN為菱形 .? (7分 ) (3)解法一 :∵∠ APM=∠ PAM, ∴