【正文】 , 由折疊可知 ,AD=CG,∠ D=∠ G,∠ A=∠ ECG, ∴ BC=GC,∠ B=∠ G,∠ BCD=∠ ECG, ∴∠ BCE=∠ GCF,∴ △ BCE≌ △ GCF. ③ 過(guò)點(diǎn) E作 EP⊥ BC于 P, ? ∵∠ B=60176。,∠ EPB=90176。, 3∴∠ BEP=30176。,∴ BE=2BP. 可設(shè) BP=m,則 BE=2m, ∴ EP=BEsin 60176。=2m? =? m. 由折疊可知 ,AE=CE. ∵ AB=6,∴ AE=CE=62m, ∵ BC=4,∴ PC=4m. 在 Rt△ ECP中 , 由勾股定理得 (4m)2+(? m)2=(62m)2, ∴ m=? ,∴ EC=62m=62? =? . ∵ △ BCE≌ △ GCF,∴ CF=EC=? , ∴ S△ CEF=? ? 2? =? . (2)? 或 4? . 323354 54 727212 723 7321 2 4 335 313.(2022上海 ,23,12分 )已知 :如圖 ,梯形 ABCD中 ,AD∥ BC,AB=DC,對(duì)角線 AC、 BD相交于點(diǎn) F,點(diǎn) E是邊 BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn) ,且 ∠ CDE=∠ ABD. (1)求證 :四邊形 ACED是平行四邊形 。 (2)連接 AE,交 BD于點(diǎn) :? =? . ? DGGB DFDB證明 (1)∵ 四邊形 ABCD是梯形 ,AD∥ BC,AB=DC, ∴∠ ADC=∠ DAB. ∵ AD∥ BE,∴∠ ADC=∠ DCE.∴∠ DAB=∠ DCE. 在△ ABD和△ CDE中 , ∵ ? ∴ △ ABD≌ △ CDE,∴ AD=CE. 又 ∵ AD∥ CE,∴ 四邊形 ACED是平行四邊形 . (2)∵ 四邊形 ACED是平行四邊形 ,∴ FC∥ DE. ∴ ? =? . ∵ AD∥ BE,∴ ? =? . 又 ∵ AD=CE,∴ ? =? . ,D A B D C EA B C DA B D C D E? ? ?????? ? ? ??DFDBCEBEDGGB ADBEDGGB DFDB14.(2022浙江溫州 ,24,14分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,點(diǎn) A,B的坐標(biāo)分別為 (3,0),(0,6).動(dòng)點(diǎn) P從 點(diǎn) O出發(fā) ,沿 x軸正方向以每秒 1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng) ,同時(shí)動(dòng)點(diǎn) C從點(diǎn) B出發(fā) ,沿射線 BO方向以每 秒 2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng) .以 CP,CO為鄰邊構(gòu)造 ?PCOD,在線段 OP延長(zhǎng)線上取點(diǎn) E,使 PE= 點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t秒 . (1)當(dāng)點(diǎn) C運(yùn)動(dòng)到線段 OB的中點(diǎn)時(shí) ,求 t的值及點(diǎn) E的坐標(biāo) 。 (2)當(dāng)點(diǎn) C在線段 OB上時(shí) ,求證 :四邊形 ADEC為平行四邊形 。 (3)在線段 PE上取點(diǎn) F,使 PF=1,過(guò)點(diǎn) F作 MN⊥ PE,截取 FM=2,FN=1,且點(diǎn) M、 N分別在一、四象 限 .在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 ,設(shè) ?PCOD的面積為 S. ① 當(dāng)點(diǎn) M,N中有一點(diǎn)落在四邊形 ADEC的邊上時(shí) ,求出所有滿足條件的 t的值 。 ② 若點(diǎn) M,N中恰好只有一個(gè)點(diǎn)落在四邊形 ADEC的內(nèi)部 (不包括邊界 )時(shí) ,直接寫(xiě)出 S的取值范 圍 . ? 解析 (1)∵ OB=6,C是 OB的中點(diǎn) , ∴ BC=? OB=3, ∴ 2t=3,即 t=? , ∴ OE=? +3=? ,∴ E? . (2)證明 :如圖 ,連接 CD交 OP于點(diǎn) G, ? 在平行四邊形 PCOD中 ,CG=DG,OG=PG, ∵ AO=PE,∴ AG=EG, ∴ 四邊形 ADEC為平行四邊形 . (3)① (i)當(dāng)點(diǎn) C在 BO上時(shí) , 123232 92 9 ,02??????第一種情況 :如圖 ,當(dāng)點(diǎn) M在 CE邊上時(shí) , ? ∵ MF∥ OC,∴ △ EMF∽ △ ECO,∴ ? =? ,即 ? =? , ∴ t=1. 第二種情況 :如圖 ,當(dāng)點(diǎn) N在 DE邊上時(shí) , ? ∵ NF∥ PD,∴ △ EFN∽ △ EPD, MFCO EFEO 262t? 23 t?∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ t=? . (ii)當(dāng)點(diǎn) C在 BO的延長(zhǎng)線上時(shí) , 第一種情況 :當(dāng)點(diǎn) M在 DE邊上時(shí) , ? ∵ MF∥ PD,∴ △ EMF∽ △ EDP.∴ ? =? , 即 ? =? ,∴ t=? . 第二種情況 :當(dāng)點(diǎn) N在 CE邊上時(shí) , FNPD EFEP 162t? 23 94MFDP EFEP226t ? 23 92∵ NF∥ OC,∴ △ EFN∽ △ EOC, ∴ ? =? ,即 ? =? , ∴ t=5.② ? S≤ ? 或 ? S≤ 20. 提示 : 當(dāng) 1≤ t? 時(shí) , S=t(62t)=2? +? , ∵ t=? 在 1≤ t? 范圍內(nèi) , FNOCEFEO 126t ? 23 t?278 9227294232t???????9232 94∴ ? S≤ ? . 當(dāng) ? t≤ 5時(shí) ,S=t(2t6)=2? ? , ∴ ? S≤ 20. 278 9292232t???????92272解題關(guān)鍵 本題主要考查了平行四邊形的知識(shí) ,解題的關(guān)鍵是分幾種不同的情況討論 . A組 2022— 2022年模擬 基礎(chǔ)題組 三年模擬 考點(diǎn) 1 多邊形 (2022南京建鄴一模 ,14)如圖 ,點(diǎn) F,G在正五邊形 ABCDE的邊上 ,連接 BF,CG相交于點(diǎn) H,若 CF= DG,則 ∠ BHG= . ? 答案 108176。 解析 在正五邊形 ABCDE中 ,∠ BCF=∠ CDG=108176。,BC=CD. 在△ BCF和△ CDG中 ,? ∴ △ BCF≌ △ CDG(SAS), ∴∠ CBF=∠ DCG. ∴∠ BHG=∠ CBF+∠ BCH=∠ BCD=108176。. ,C F D GB C F C D GB C C D???? ? ??? ??解題關(guān)鍵 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正五邊形的性質(zhì)等知識(shí) ,熟練掌握 全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵 . 考點(diǎn) 2 平行四邊形 1.(2022蘇州相城一模 ,12)如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,過(guò)點(diǎn) C的直線 CE⊥ AB,交 BA的延長(zhǎng)線于 ∠ EAD=53176。,則 ∠ BCE的度數(shù)為 . ? 答案 37176。 解析 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD∥ BC,∴∠ EAD=∠ B,又 ∠ EAD=53176。,∴∠ B=53176。, ∵ CE⊥ AB,∴∠ BEC=90176。, ∴∠ BCE=37176。. 2.(2022宿遷宿城一模 ,23)如圖 ,在 ?ABCD中 ,點(diǎn) E,F在對(duì)角線 BD上 ,且 BE=DF,求證 :四邊形 AECF是平行四邊形 . ? 證明 如圖 ,連接 AC,與 BD相交于點(diǎn) O. ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ OA=OC,OB=OD. 又 ∵ BE=DF, ∴ OBBE=ODDF, 即 OE=OF. ∴ 四邊形 AECF是平行四邊形 . ? 3.(2022無(wú)錫一模 ,21)在平行四邊形 ABCD中 ,AC是對(duì)角線 ,BE平分 ∠ ABC交 AC于點(diǎn) E,DF平分 ∠ ADC交AC于點(diǎn) F,求證 :AE=CF. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB∥ CD,AB=CD,∠ ABC=∠ CDA, ∴∠ BAE=∠ DCF, ∵ BE平分 ∠ ABC,DF平分 ∠ ADC, ∴∠ ABE=? ∠ ABC,∠ CDF=? ∠ CDA, ∴∠ ABE=∠ CDF. 在△ ABE和△ CDF中 , ? ∴ △ ABE≌ △ CDF(ASA). ∴ AE=CF. 12 12,B A E D C FA B C DA B E C D F? ? ??????? ? ??B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時(shí)間 :7分鐘 分值 :13分 ) 一、選擇題 (共 3分 ) 1.(2022徐州一模 ,7)如圖 ,平行四邊形 ABCD中 ,E,F分別為 AD,BC邊上的一點(diǎn) ,增加下列條件 ,不 能得出 BE∥ DF的是 ? ( ) ? =CF =DF C.∠ EBF=∠ FDE D.∠ BED=∠ BFD 答案 B ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD∥ BC,AD=BC. A.∵ AE=CF,∴ DE=BF, ∴ 四邊形 BFDE是平行四邊形 , ∴ BE∥ DF,故本選項(xiàng)能判定 BE∥ DF。 B.∵ BE=DF, ∴ 四邊形 BFDE是平行四邊形或等腰梯形 , ∴ 故本選項(xiàng)不能判定 BE∥ DF。 C.∵ AD∥ BC, ∴∠ BED+∠ EBF=180176。,∠ EDF+∠ BFD=180176。. 又 ∵∠ EBF=∠ FDE, ∴∠ BED=∠ BFD, ∴ 四邊形 BFDE是平行四邊形 , ∴ BE∥ DF,故本選項(xiàng)能判定 BE∥ DF。 D.∵ AD∥ BC, ∴∠ BED+∠ EBF=180176。,∠ EDF+∠ BFD=180176。. 又 ∵∠ BED=∠ BFD, ∴∠ EBF=∠ FDE, ∴ 四邊形 BFDE是平行四邊形 , ∴ BE∥ DF,故本選項(xiàng)能判定 BE∥ DF. 故選 B. 解題關(guān)鍵 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì) ,根據(jù)題意證得四邊形 BFDE是平行四邊形是 關(guān)鍵 . 二、解答題 (共 10分 ) 2.(2022南京建鄴一模 ,19)如圖 ,① 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,線段 EF分別交 AD,AC,BC于點(diǎn) E, O,F。② EF⊥ AC。③ AO=CO. (1)求證 :四邊形 AFCE是平行四邊形 。 (2)在本題①②③三個(gè)已知條件中 ,去掉一個(gè)條件 ,(1)的結(jié)論依然成立 ,這個(gè)條件是 (直 接寫(xiě)出這個(gè)條件的序號(hào) ). ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AE∥ CF, ∴∠ DAC=∠ BCA. 在△ AOE和△ COF中 , ? ∴ △ AOE≌ △ COF(ASA), ∴ AE=CF, ∴ 四邊形 AFCE是平行四邊形 . (2)② . ,E A O F C OA O C OA O E C O F? ? ??????? ? ??解題關(guān)鍵 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì) ,以及全等三角形的判定和性質(zhì) ,關(guān)鍵是掌握平 行四邊形的對(duì)邊平行 .