【正文】 , 由折疊可知 ,AD=CG,∠ D=∠ G,∠ A=∠ ECG, ∴ BC=GC,∠ B=∠ G,∠ BCD=∠ ECG, ∴∠ BCE=∠ GCF,∴ △ BCE≌ △ GCF. ③ 過點 E作 EP⊥ BC于 P, ? ∵∠ B=60176。,∠ EPB=90176。, 3∴∠ BEP=30176。,∴ BE=2BP. 可設 BP=m,則 BE=2m, ∴ EP=BEsin 60176。=2m? =? m. 由折疊可知 ,AE=CE. ∵ AB=6,∴ AE=CE=62m, ∵ BC=4,∴ PC=4m. 在 Rt△ ECP中 , 由勾股定理得 (4m)2+(? m)2=(62m)2, ∴ m=? ,∴ EC=62m=62? =? . ∵ △ BCE≌ △ GCF,∴ CF=EC=? , ∴ S△ CEF=? ? 2? =? . (2)? 或 4? . 323354 54 727212 723 7321 2 4 335 313.(2022上海 ,23,12分 )已知 :如圖 ,梯形 ABCD中 ,AD∥ BC,AB=DC,對角線 AC、 BD相交于點 F,點 E是邊 BC延長線上一點 ,且 ∠ CDE=∠ ABD. (1)求證 :四邊形 ACED是平行四邊形 。 (2)連接 AE,交 BD于點 :? =? . ? DGGB DFDB證明 (1)∵ 四邊形 ABCD是梯形 ,AD∥ BC,AB=DC, ∴∠ ADC=∠ DAB. ∵ AD∥ BE,∴∠ ADC=∠ DCE.∴∠ DAB=∠ DCE. 在△ ABD和△ CDE中 , ∵ ? ∴ △ ABD≌ △ CDE,∴ AD=CE. 又 ∵ AD∥ CE,∴ 四邊形 ACED是平行四邊形 . (2)∵ 四邊形 ACED是平行四邊形 ,∴ FC∥ DE. ∴ ? =? . ∵ AD∥ BE,∴ ? =? . 又 ∵ AD=CE,∴ ? =? . ,D A B D C EA B C DA B D C D E? ? ?????? ? ? ??DFDBCEBEDGGB ADBEDGGB DFDB14.(2022浙江溫州 ,24,14分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,點 A,B的坐標分別為 (3,0),(0,6).動點 P從 點 O出發(fā) ,沿 x軸正方向以每秒 1個單位的速度運動 ,同時動點 C從點 B出發(fā) ,沿射線 BO方向以每 秒 2個單位的速度運動 .以 CP,CO為鄰邊構造 ?PCOD,在線段 OP延長線上取點 E,使 PE= 點 P運動的時間為 t秒 . (1)當點 C運動到線段 OB的中點時 ,求 t的值及點 E的坐標 。 (2)當點 C在線段 OB上時 ,求證 :四邊形 ADEC為平行四邊形 。 (3)在線段 PE上取點 F,使 PF=1,過點 F作 MN⊥ PE,截取 FM=2,FN=1,且點 M、 N分別在一、四象 限 .在運動過程中 ,設 ?PCOD的面積為 S. ① 當點 M,N中有一點落在四邊形 ADEC的邊上時 ,求出所有滿足條件的 t的值 。 ② 若點 M,N中恰好只有一個點落在四邊形 ADEC的內部 (不包括邊界 )時 ,直接寫出 S的取值范 圍 . ? 解析 (1)∵ OB=6,C是 OB的中點 , ∴ BC=? OB=3, ∴ 2t=3,即 t=? , ∴ OE=? +3=? ,∴ E? . (2)證明 :如圖 ,連接 CD交 OP于點 G, ? 在平行四邊形 PCOD中 ,CG=DG,OG=PG, ∵ AO=PE,∴ AG=EG, ∴ 四邊形 ADEC為平行四邊形 . (3)① (i)當點 C在 BO上時 , 123232 92 9 ,02??????第一種情況 :如圖 ,當點 M在 CE邊上時 , ? ∵ MF∥ OC,∴ △ EMF∽ △ ECO,∴ ? =? ,即 ? =? , ∴ t=1. 第二種情況 :如圖 ,當點 N在 DE邊上時 , ? ∵ NF∥ PD,∴ △ EFN∽ △ EPD, MFCO EFEO 262t? 23 t?∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ t=? . (ii)當點 C在 BO的延長線上時 , 第一種情況 :當點 M在 DE邊上時 , ? ∵ MF∥ PD,∴ △ EMF∽ △ EDP.∴ ? =? , 即 ? =? ,∴ t=? . 第二種情況 :當點 N在 CE邊上時 , FNPD EFEP 162t? 23 94MFDP EFEP226t ? 23 92∵ NF∥ OC,∴ △ EFN∽ △ EOC, ∴ ? =? ,即 ? =? , ∴ t=5.② ? S≤ ? 或 ? S≤ 20. 提示 : 當 1≤ t? 時 , S=t(62t)=2? +? , ∵ t=? 在 1≤ t? 范圍內 , FNOCEFEO 126t ? 23 t?278 9227294232t???????9232 94∴ ? S≤ ? . 當 ? t≤ 5時 ,S=t(2t6)=2? ? , ∴ ? S≤ 20. 278 9292232t???????92272解題關鍵 本題主要考查了平行四邊形的知識 ,解題的關鍵是分幾種不同的情況討論 . A組 2022— 2022年模擬 基礎題組 三年模擬 考點 1 多邊形 (2022南京建鄴一模 ,14)如圖 ,點 F,G在正五邊形 ABCDE的邊上 ,連接 BF,CG相交于點 H,若 CF= DG,則 ∠ BHG= . ? 答案 108176。 解析 在正五邊形 ABCDE中 ,∠ BCF=∠ CDG=108176。,BC=CD. 在△ BCF和△ CDG中 ,? ∴ △ BCF≌ △ CDG(SAS), ∴∠ CBF=∠ DCG. ∴∠ BHG=∠ CBF+∠ BCH=∠ BCD=108176。. ,C F D GB C F C D GB C C D???? ? ??? ??解題關鍵 此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及正五邊形的性質等知識 ,熟練掌握 全等三角形的判定方法是解題關鍵 . 考點 2 平行四邊形 1.(2022蘇州相城一模 ,12)如圖 ,在平行四邊形 ABCD中 ,過點 C的直線 CE⊥ AB,交 BA的延長線于 ∠ EAD=53176。,則 ∠ BCE的度數(shù)為 . ? 答案 37176。 解析 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD∥ BC,∴∠ EAD=∠ B,又 ∠ EAD=53176。,∴∠ B=53176。, ∵ CE⊥ AB,∴∠ BEC=90176。, ∴∠ BCE=37176。. 2.(2022宿遷宿城一模 ,23)如圖 ,在 ?ABCD中 ,點 E,F在對角線 BD上 ,且 BE=DF,求證 :四邊形 AECF是平行四邊形 . ? 證明 如圖 ,連接 AC,與 BD相交于點 O. ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ OA=OC,OB=OD. 又 ∵ BE=DF, ∴ OBBE=ODDF, 即 OE=OF. ∴ 四邊形 AECF是平行四邊形 . ? 3.(2022無錫一模 ,21)在平行四邊形 ABCD中 ,AC是對角線 ,BE平分 ∠ ABC交 AC于點 E,DF平分 ∠ ADC交AC于點 F,求證 :AE=CF. ? 證明 ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AB∥ CD,AB=CD,∠ ABC=∠ CDA, ∴∠ BAE=∠ DCF, ∵ BE平分 ∠ ABC,DF平分 ∠ ADC, ∴∠ ABE=? ∠ ABC,∠ CDF=? ∠ CDA, ∴∠ ABE=∠ CDF. 在△ ABE和△ CDF中 , ? ∴ △ ABE≌ △ CDF(ASA). ∴ AE=CF. 12 12,B A E D C FA B C DA B E C D F? ? ??????? ? ??B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時間 :7分鐘 分值 :13分 ) 一、選擇題 (共 3分 ) 1.(2022徐州一模 ,7)如圖 ,平行四邊形 ABCD中 ,E,F分別為 AD,BC邊上的一點 ,增加下列條件 ,不 能得出 BE∥ DF的是 ? ( ) ? =CF =DF C.∠ EBF=∠ FDE D.∠ BED=∠ BFD 答案 B ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AD∥ BC,AD=BC. A.∵ AE=CF,∴ DE=BF, ∴ 四邊形 BFDE是平行四邊形 , ∴ BE∥ DF,故本選項能判定 BE∥ DF。 B.∵ BE=DF, ∴ 四邊形 BFDE是平行四邊形或等腰梯形 , ∴ 故本選項不能判定 BE∥ DF。 C.∵ AD∥ BC, ∴∠ BED+∠ EBF=180176。,∠ EDF+∠ BFD=180176。. 又 ∵∠ EBF=∠ FDE, ∴∠ BED=∠ BFD, ∴ 四邊形 BFDE是平行四邊形 , ∴ BE∥ DF,故本選項能判定 BE∥ DF。 D.∵ AD∥ BC, ∴∠ BED+∠ EBF=180176。,∠ EDF+∠ BFD=180176。. 又 ∵∠ BED=∠ BFD, ∴∠ EBF=∠ FDE, ∴ 四邊形 BFDE是平行四邊形 , ∴ BE∥ DF,故本選項能判定 BE∥ DF. 故選 B. 解題關鍵 此題考查了平行四邊形的判定與性質 ,根據(jù)題意證得四邊形 BFDE是平行四邊形是 關鍵 . 二、解答題 (共 10分 ) 2.(2022南京建鄴一模 ,19)如圖 ,① 四邊形 ABCD是平行四邊形 ,線段 EF分別交 AD,AC,BC于點 E, O,F。② EF⊥ AC。③ AO=CO. (1)求證 :四邊形 AFCE是平行四邊形 。 (2)在本題①②③三個已知條件中 ,去掉一個條件 ,(1)的結論依然成立 ,這個條件是 (直 接寫出這個條件的序號 ). ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴ AE∥ CF, ∴∠ DAC=∠ BCA. 在△ AOE和△ COF中 , ? ∴ △ AOE≌ △ COF(ASA), ∴ AE=CF, ∴ 四邊形 AFCE是平行四邊形 . (2)② . ,E A O F C OA O C OA O E C O F? ? ??????? ? ??解題關鍵 本題主要考查了平行四邊形的性質 ,以及全等三角形的判定和性質 ,關鍵是掌握平 行四邊形的對邊平行 .