【正文】 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,BE⊥ AC于點(diǎn) E. 求證 :∠ CBE=∠ BAD. ? 證明 ∵ AB=AC,AD是 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ BAD=∠ CAD.∵ BE⊥ AC, ∴∠ BEC=∠ ADC=90176。.∴∠ CBE=90176?！?C, ∠ CAD=90176?！?C.∴∠ CBE=∠ CAD.∴∠ CBE=∠ BAD. 10.(2022浙江杭州 ,18,8分 )在△ ABC中 ,AB=AC,點(diǎn) E,F分別在 AB,AC上 ,AE=AF,BF與 CE相交于點(diǎn) :PB=PC,并直接寫(xiě)出圖中其他相等的線段 . ? 解析 證明 :在△ AFB和△ AEC中 ,AF=AE, ∠ A為公共角 ,AB=AC,所以△ AFB≌ △ AEC, 所以 ∠ ABF=∠ ACE. 因?yàn)?AB=AC,所以 ∠ ABC=∠ ACB, 所以 ∠ PBC=∠ PCB,所以 PB=PC. 其余相等的線段有 :BF=CE。PE=PF。BE=CF. 考點(diǎn) 2 直角三角形 1.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,12,3分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,BD平分 ∠ ABC,∠ BAD=∠ BDC=90176。,E為 BC 的中點(diǎn) ,AE與 BD相交于點(diǎn) BC=4,∠ CBD=30176。,則 DF的長(zhǎng)為 ? ( ) ? A.? ? B.? ? C.? ? D.? ? 253233343453答案 D 如圖 ,連接 DE. ? ∵ BD平分 ∠ ABC,∠ CBD=30176。,∴∠ 1=∠ 2=30176。. 在 Rt△ BCD中 ,BD=BCcos 30176。=2? . 在 Rt△ ABD中 ,AB=BDcos 30176。=3. ∵ E為 BC的中點(diǎn) ,∴ ED=BE=2,∴∠ 3=∠ 2=∠ 1. ∴ DE∥ AB,∴ △ AFB∽ △ EFD, ∴ ? =? ,即 ? =? ,∴ DF=? ? .故選 D. 3DEAB DFBF 23 23DFDF?453思路分析 根據(jù)題意得 ,在 Rt△ ABD和 Rt△ BCD中 ,∠ ABD=∠ CBD=30176。,由 BC=4,求得 BD=2? ,進(jìn)而求得 AB=3,由 E是 BC的中點(diǎn) ,得 ED=BE,進(jìn)而可得 DE∥ AB,所以△ AFB∽ △ EFD,進(jìn)而求出 DF的長(zhǎng) . 3解題關(guān)鍵 本題考查了含 30176。角的直角三角形的性質(zhì) ,三角形相似的判定和性質(zhì) .解答本題的 關(guān)鍵是作出 Rt△ BCD斜邊上的中線 . 2.(2022山東聊城 ,15,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ C=90176。,∠ A=30176。,BD是 ∠ ABC的平分線 .若 AB=6,則 點(diǎn) D到 AB的距離是 . ? 答案 ? 3解析 ∵∠ C=90176。,∠ A=30176。,AB=6,∴∠ ABC=60176。,BC=3,∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ CBD=? ∠ ABC=30176。,點(diǎn)D到 AB的距離等于 DC,在 Rt△ BDC中 ,DC=tan∠ DBCBC=? 3=? , ∴ 點(diǎn) D到 AB的距離等于 ? . 1233333.(2022鎮(zhèn)江 ,26,7分 )如果三角形三邊的長(zhǎng) a、 b、 c滿足 ? =b,那么我們就把這樣的三角形 叫做“勻稱三角形” .如 :三邊長(zhǎng)分別為 1,1,1或 3,5,7,… 的三角形都是“勻稱三角形” . (1)如圖 1,已知兩條線段的長(zhǎng)分別為 a、 c(ac). 用直尺和圓規(guī)作一個(gè)最短邊、最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)分別為 a、 c的“勻稱三角形” (不寫(xiě)作法 ,保留作圖 痕跡 )。 (2)如圖 2,△ ABC中 ,AB=AC,以 AB為直徑的☉ O交 BC于點(diǎn) D,過(guò)點(diǎn) D作☉ O的切線交 AB延長(zhǎng)線于 點(diǎn) E,交 AC于點(diǎn) ? =? ,判斷△ AEF是不是“勻稱三角形” .請(qǐng)說(shuō)明理由 . ? 3abc??BECF53解析 (1)作圖 . 作法一 : ? ? (3分 ) (2)△ AEF是“勻稱三角形” . 理由如下 :連接 AD、 OD, ? ∵ AB是☉ O的直徑 , ∴ AD⊥ BC. 作法二 : ∵ AB=AC, ∴ D是 BC的中點(diǎn) .? (4分 ) ∴ OD∥ AC. ∵ DF切☉ O于 D點(diǎn) , ∴ OD⊥ DF. ∴ EF⊥ AF.? (5分 ) 過(guò)點(diǎn) B作 BG⊥ EF于點(diǎn) G,易證 Rt△ BDG≌ Rt△ CDF, ∴ BG=CF, ∵ ? =? ,∴ ? =? .? (6分 ) ∵ BG∥ AF(或 Rt△ BEG∽ Rt△ AEF), ∴ ? =? =? . 在 Rt△ AEF中 ,設(shè) AE=5k(k0),AF=3k,由勾股定理得 EF=4k, ∴ ? =? =4k=EF. BECF53BEBG 53BEBG AEAF 533AF EF AE?? 3453k k k?? ∴ △ AEF是“勻稱三角形” .? (7分 ) 解題關(guān)鍵 本題是一道閱讀理解類型的作圖題 ,考查的知識(shí)點(diǎn)有三角形全等、勾股定理以及 尺規(guī)作圖等 .解決本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線 ,找出全等和相似三角形 ,從而根據(jù)題目中的定 義解決問(wèn)題 . A組 2022— 2022年模擬 基礎(chǔ)題組 三年模擬 考點(diǎn) 1 等腰三角形 1.(2022連云港一模 ,7)如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,點(diǎn) B,C在 y軸上 ,△ ABC是等邊三角形 ,AB=4, AC與 x軸的交點(diǎn) D為 AC邊的中點(diǎn) ,則點(diǎn) D的坐標(biāo)為 ? ( ) ? A.(1,0) B.(2? ,0) C.(2,0) D.(? ,0) 33答案 D 過(guò)點(diǎn) A作 AE⊥ OB,如圖 . ? ∵ 點(diǎn) B,C在 y軸上 ,△ ABC是等邊三角形 ,AB=4, ∴ AE=2? , ∵ OD∥ AE,D為邊 AC的中點(diǎn) ,∴ O為 CE的中點(diǎn) , ∴ ? =? ,∴ OD=? , ∴ D(? ,0).故選 D. 3ODAE 12332.(2022蘇州模擬 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ A=∠ C=45176。,∠ ADB=∠ ABC=105176。. (1)若 AD=2,求 AB的長(zhǎng) 。 (2)若 AB+CD=2? +2,求 AB的長(zhǎng) . ? 3解析 (1)過(guò)點(diǎn) D作 DE⊥ AB于點(diǎn) E,過(guò)點(diǎn) B作 BF⊥ CD于點(diǎn) F, ? ∵∠ A=∠ C=45176。,∠ ADB=∠ ABC=105176。, ∴∠ ADC=360176。∠ A∠ C∠ ABC=360176。45176。45176。105176。=165176。, ∴∠ BDF=∠ ADC∠ ADB=165176。105176。=60176。,∴∠ DBF=30176。. ∵∠ A=45176。,∠ DEA=90176。,∴∠ EDA=45176。,∴∠ A=∠ EDA, ∴ AE=DE,∴ △ ADE為等腰直角三角形 ,又 ∵ AD=2, ∴ AE=DE=? , ∵∠ C=45176。,∠ BFC=90176。,∴∠ FBC=45176。, ∴∠ ABD=∠ ABC∠ CBF∠ DBF=105176。45176。30176。=30176。, 2∴ BE=? =? =? =? , ∴ AB=AE+BE=? +? . (2)設(shè) DE=x,則 AE=x,BE=? =? =? =? x, ∴ BD=? =? =2x, 由 (1)可知 ,在 Rt△ BDF中 ,∠ DBF=30176。, ∴ DF=? BD=x, ∴ BF=? =?= ? x, ∴ CF=? x, ∵ AB=AE+BE=x+? x,CD=DF+CF=x+? x, ∴ AB+CD=2x+2? x=2? +2, ∴ x=1,∴ AB=? +1. tan DEABD? tan 30DE? 23362 6tan DEABD? tan 30x ?33x322DE BE? 22( 3 )xx?1222BD DF? 22(2 )xx? 333 33 33考點(diǎn) 2 直角三角形 1.(2022蘇州高新模擬 ,10)如圖 ,△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,AB=5,AC=12,點(diǎn) D是 BC的中點(diǎn) ,將△ ABD 沿 AD翻折得到△ AED,連接 CE,則線段 CE的長(zhǎng)等于 ? ( ) ? A.? C.? D.? 1 3 22 12022 11913答案 D 如圖 ,連接 BE交 AD于 O,作 AH⊥ BC于 H. ? 在 Rt△ ABC中 ,∵ AC=12,AB=5, ∴ BC=? =13. ∵ CD=DB,∴ AD=DC=DB=, ∵ ? BCAH=? ABAC, ∴ AH=? . ∵ AE=AB,BO=EO, ∴ AD垂直平分線段 BE. ∵ DE=DB=DC,∴ △ BCE是直角三角形 , 225 12?12 126013∵ ? ADBO=? BDAH, ∴ OB=? ,∴ BE=2OB=? . 在 Rt△ BCE中 ,EC=? =? =? .故選 D. 12 126013 1202222BC BE? 22 1202213??? ????11913解題關(guān)鍵 本題考查翻折變換、直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí) ,解題的關(guān) 鍵是學(xué)會(huì)利用面積法求高 ,屬于中考?？碱}型 . 2.(2022南通通州一模 ,16)如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,點(diǎn) D是線段 AB的中點(diǎn) ,點(diǎn) E是線段 BC上 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,若 AC=6,BC=8,則 DE長(zhǎng)度的取值范圍是 . ? 答案 3≤ DE≤ 5 解析 在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。, ∵ AC=6,BC=8,∴ AB=10, 當(dāng) DE⊥ BC時(shí) ,DE=? AC=3,此時(shí) DE取得最小值 。 當(dāng)點(diǎn) E與點(diǎn) C重合時(shí) ,DE=DC=? AB=5,此時(shí) DE取得最大值 ,∴ 3≤ DE≤ 5. 1212解題關(guān)鍵 本題考查直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì) ,找到 端點(diǎn)值是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵 . 3.(2022鎮(zhèn)江一模 ,11)在 Rt△ ABC中 ,AD是 BC邊上的中線 ,G是△ ABC的重心 ,如果 BC=6,那么線 段 AG的長(zhǎng)為 . ? 答案 2 解析 ∵ AD是斜邊 BC邊上的中線 , ∴ AD=? BC=? 6=3, ∵ G是△ ABC的重心 , ∴ ? =2,∴ AG=? AD=? 3=2. 12 12AGGD 23 23考查要點(diǎn) 本題考查了三角形的重心的定義及性質(zhì) :三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn) 。 重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為 2∶ 1,也考查了直角三角形斜邊上的中線 的性質(zhì) . B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時(shí)間 :8分鐘 分值 :10分 ) 一、填空題 (共 3分 ) 1.(2022南京一模 ,13)如圖 ,在△ ABC中 ,AD=DB= ∠ C=n176。,則 ∠ ABC= 度 .(用含 n的 代數(shù)式表示 ) ? 答案 ? 31802 n???????解析 ∵∠ C=n176。,DB=BC,∴∠ BDC=∠ C=n176。, ∴∠ DBC=180176。2n176。,∵ AD=DB,∴∠ ABD=? n176。, ∴∠ ABC=180176。2n176。+? n176。=? 176。. 12123180 2 n???????二、解答題 (共 7分 ) 2.(2022南京鼓樓一模 ,24)如圖 ,△ ABC中 ,AD⊥ BC,垂足是 :“當(dāng) AB+BD=AC+CD時(shí) ,△ ABC是等腰三角形 .”她的說(shuō)法正確嗎 ?如果正確 ,請(qǐng)證明 。如果不正確 ,請(qǐng)舉反例說(shuō)明 . ? 解析 小莉說(shuō)法正確 . 證明 :如圖 ,延長(zhǎng) CB至 E,使 AB=EB,延長(zhǎng) BC至 F,使 AC=FC,連接 AE,AF. 則 ∠ E=∠ EAB,∠ F=∠ FAC. ∵ AB+BD=AC+CD, ∴ DE=DF. ∵ AD⊥ BC, ∴∠ ADE=∠ ADF=90176。. ∵ DE=DF,∠ ADE=∠ ADF=90176。,AD=AD, ∴ △ ADE≌ △ ADF(SAS). ∴∠ E=∠ F.∴∠ E=∠ EAB=∠ F=∠ FAC. ∴∠ ABC=∠ ACB. ∴ AB=AC.∴ △ ABC是等腰三角形 . 解題關(guān)鍵 本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì) ,等腰三角形的判定等知識(shí) ,添加構(gòu)造全等三 角形的輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 .