【正文】 3AEEC 13DEBC 12ADEABC的 周 長的 周 長13ADEABC的 面 積的 面 積13答案 C 由 DE∥ BC,? =? 可知△ ADE∽ △ ABC,且相似比為 ? ,所以 ? =? ,? =? ,故 A、 B 錯誤 。因為相似三角形的周長之比等于相似比 ,所以 ? =? ,故 C正確 。因為相似三角形 的面積之比等于相似比的平方 ,所以 ? =? ,故 D錯誤 .故選 C. ADAB 13 13AEEC 12DEBC 13ADEABC的 周 長的 周 長13ADEABC的 面 積的 面 積19考點(diǎn) 2 相似三角形的性質(zhì)與判定 1.(2022淮安一模 ,13)為了測量校園水平地面上一棵不可攀的樹的高度 ,學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn) 行了如下探索 :根據(jù)光的反射定律 ,利用一面鏡子和一根皮尺 ,設(shè)計如圖所示的測量方案 :把一 面很小的鏡子放在離樹底 (B) E處 ,然后沿著直線 BE后退到點(diǎn) D,這時恰好在鏡子里看 到樹梢頂點(diǎn) A,再用皮尺量得 DE= ,觀察者目高 CD= ,則樹 (AB)的高度為 米 . ? 答案 解析 根據(jù)題意 ,易得 ∠ CDE=∠ ABE=90176。,∠ CED=∠ AEB, 則△ ABE∽ △ CDE, 則 ? =? ,即 ? =? , 解得 AB=. 故樹 (AB)的高度為 . BEDEABCD 8 . 42 . 4 1 . 6AB2.(2022宿遷宿豫一模 ,12)已知△ ABC∽ △ DEF,且 S△ ABC=4,S△ DEF=9,則 ? = . ABDE答案 ? 23解析 ∵ △ ABC∽ △ DEF,S△ ABC=4,S△ DEF=9, ∴ ? =? =? , ∴ ? =? . ABCDEFSS 22ABDE 49ABDE233.(2022揚(yáng)州一模 ,18)如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中 ,O(0,0),A(6,6? ),B(12,0).將△ OAB沿直線 CD折疊 ,使點(diǎn) A恰好落在線段 OB上的點(diǎn) E處 ,若 OE=? ,則 CE∶ DE的值是 . ? 3245答案 ? 78解析 如圖 ,過點(diǎn) A作 AF⊥ OB于 F, ? A(6,6? ),B(12,0), ∴ AF=6? ,OF=6,OB=12, ∴ BF=6,∴ OF=BF, ∴ AO=AB. ∵ tan∠ AOB=? =? , ∴∠ AOB=60176。, ∴ △ AOB是等邊三角形 , ∴∠ AOB=∠ ABO=∠ OAB=60176。, 33AFOF 3∵ 將△ OAB沿直線 CD折疊 ,使點(diǎn) A恰好落在線段 OB上的點(diǎn) E處 , ∴∠ CED=∠ OAB=60176。, 又 ∠ COE+∠ OCE=∠ CED+∠ DEB, ∴∠ OCE=∠ DEB, ∴ △ CEO∽ △ EDB, ∴ ? =? =? , 設(shè) CE=a,則 CA=a,CO=12a, 設(shè) ED=b,則 AD=b,DB=12b, 則 ? =? =? , 可得 ? =? , 即 CE∶ DE=? .故答案為 ? . OEBD CEED COEB24512b? ab 12365a?ab 7878 78B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時間 :20分鐘 分值 :25分 ) 解答題 (共 20分 ) 1.(2022淮安洪澤一模 ,26)【 問題引入 】 已知 :如圖 BE,CF是△ ABC的中線 ,BE,CF相交于 證 :? =? =? . 證明 :連接 EF,∵ E,F分別是 AC,AB的中點(diǎn) , ∴ EF∥ BC且 EF=? BC, ∴ △ GEF∽ △ GBC, ∴ ? =? =? =? . 【 思考解答 】 (1)連接 AG并延長交 BC于 H,點(diǎn) H是不是 BC的中點(diǎn) ? (2)① 如果 M,N分別是 GB,GC的中點(diǎn) ,那么四邊形 EFMN是什么四邊形 ? ② 當(dāng) ? 的值為多少時 ,四邊形 EFMN是矩形 ? ③ 當(dāng) ? 的值為多少時 ,四邊形 EFMN是菱形 ? ④ 如果 AB=AC=10,BC=16,則四邊形 EFMN的面積 S為多少 ? GEGBGFGC1212GEGBGFGCEFBC 12ABACAHBC解析 (1)連接 EF,交 AG于 O. ∵ E,F分別是 AC,AB的中點(diǎn) , ∴ EF是△ ABC的中位線 , ∴ EF∥ BC且 EF=? BC, ∴ ? =? =? =? . ∵ OE∥ BH, ∴ ? =? =? . ∵ OE∥ CH, ∴ ? =? =? . ∴ ? =? , ∴ BH=CH,即點(diǎn) H是 BC的中點(diǎn) . (2)① ∵ M,N分別是 GB,GC的中點(diǎn) , ∴ MN是△ GBC的中位線 , 12GEGBGFGCEFBC 12OEBH GEGB12OECH AEAC 12OEBH OECH∴ MN∥ BC且 MN=? BC. 由 (1)可得 ,EF∥ BC且 EF=? BC, ∴ EF∥ MN,EF=MN, ∴ 四邊形 EFMN是平行四邊形 . ② 當(dāng)四邊形 EFMN是矩形時 ,FG=EG. ∵ ? =? =? , ∴ GB=GC, ∴∠ GBC=∠ GCB. 又 ∵ H是 BC的中點(diǎn) , ∴ GH⊥ BC,即 AH⊥ BC, ∴ AH垂直平分 BC, ∴ AB=AC, ∴ ? 的值為 1. 1212GEGBGFGC12ABAC③ 當(dāng)四邊形 EFMN是菱形時 ,MN=FM. ∵ MN是△ BCG的中位線 , ∴ MN=? BC. ∵ FM是△ ABG的中位線 , ∴ FM=? AG. 又 ∵ G是△ ABC的重心 , ∴ AG=? AH, ∴ FM=? AG=? AH, ∴ ? BC=? AH,即 3BC=2AH, ∴ ? =? . ④ 當(dāng) AB=AC時 ,由②可得四邊形 EFMN是矩形 ,AH⊥ BC. ∵ AB=10,BC=16, 12122312 1312 13AHBC 32∴ BH=? BC=8,AH=6. ∵ MN是△ BCG的中位線 , ∴ MN=? BC=8. ∵ FM是△ ABG的中位線 , ∴ FM=? AG=? AH=2, ∴ 矩形 EFMN的面積 S=FMMN=28=16. 121212 13解題關(guān)鍵 本題屬于相似形綜合題 ,主要考查了三角形重心性質(zhì) ,相似三角形的判定與性質(zhì) ,三 角形中位線定理的綜合應(yīng)用 ,解決問題的關(guān)鍵是掌握 :重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的 距離之比為 2∶ 1。三角形的中位線平行于第三邊 ,并且等于第三邊的一半 . 2.(2022泰州一模 ,27)如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ B=∠ D=60176。,∠ BAC=∠ ACD=90176。,點(diǎn) E為邊 AB上 一點(diǎn) ,AB=3AE=3 cm,動點(diǎn) P從 B點(diǎn)出發(fā) ,以 1 cm/s的速度沿 BC→ CD→ DA運(yùn)動至 A點(diǎn)停止 ,設(shè)運(yùn)動 時間為 t s. (1)求證 :四邊形 ABCD是平行四邊形 。 (2)當(dāng)△ BEP為等腰三角形時 ,求 t231t的值 。 (3)當(dāng) t=4時 ,把△ ABP沿直線 AP翻折 ,得到△ AFP,求△ AFP與 ?ABCD重疊部分的面積 . ? 解析 (1)證明 :在△ ABC和△ CDA中 ,? ∴ △ ABC≌ △ CDA(AAS). ∴ AB=CD,BC=AD. ∴ 四邊形 ABCD是平行四邊形 . (2)如圖 1所示 ,當(dāng)點(diǎn) P在 BC上運(yùn)動時 , ? 圖 1 ∵ AB=3AE=3 cm, ∴ AE=1 cm,BE=2 cm, ,BDB A C D C AA C A C? ? ???? ? ??? ??∵ △ BEP為等腰三角形 ,∠ B=60176。, ∴ △ BEP為等邊三角形 . ∴ BP=BE=31=2 cm. 又 ∵ 點(diǎn) P運(yùn)動的速度為 1 cm/s, ∴ t=2. ∴ t231t=22312=58. 如圖 2所示 ,當(dāng)點(diǎn) P在 AD上運(yùn)動時 , ∵ △ BEP為等腰三角形 , ∴ EB=EP,作 PQ⊥ AB交 BA的延長線于 Q, ? 圖 2 ∵∠ ABC=60176。,AD∥ BC, ∴∠ QAP=60176。. 又 ∵∠ Q=90176。, ∴∠ QPA=30176。. ∴ AQ=? AP. ∵∠ BAC=90176。,∠ ABC=60176。, AB=3 cm,∴ BC=6 cm, ∴ AQ=? cm,∴ PQ=? AQ=? cm. 在 Rt△ EQP中 ,由勾股定理得 ? +? =22,整理得 t231t=237. 易知 P在 CD上運(yùn)動時 ,△ BEP不能為等腰三角形 . (3)當(dāng) t=4時 ,P在 BC上 ,如圖所示 ,設(shè) PF與 AD交于點(diǎn) M,作 MN⊥ AP于 N,AH⊥ BP于 H. 12152 t? 3 15 3 32 t?215 12 t????????21 5 3 32t???????? 在 Rt△ ABH中 ,∠ B=60176。,則 BH=? AB=? cm,AH=? cm. ∴ HP=4? =? cm. ∴ S△ APH=? ? ? =? cm2. 在 Rt△ APH中 ,依據(jù)勾股定理可知 AP=? cm. 由翻折的性質(zhì)可知 ∠ FPA=∠ BPA. ∵ AD∥ BC, 12 32 33232 5212 52 332 1 5 3813∴∠ BPA=∠ DAP. ∴∠ FPA=∠ DAP. ∴ AM=PM. 又 ∵ MN⊥ AP, ∴ AN=NP=? cm. ∵∠ AHP=∠ MNP=90176。,∠ BPA=∠ FPA, ∴ △ MPN∽ △ APH, ∴ ? =? =? . ∴ S△ MNP=? ? =? (cm2). ∴ S△ AMP=2S△ MNP=? cm2. 132MNPAPHSS 2PNPH??????132513251 5 38 3 9 3403 9 320思路分析 (1)先證△ ABC≌ △ CDA,再根據(jù)“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”證 明四邊形 ABCD是平行四邊形 。 (2)分類討論 P在 BC,CD,DA上運(yùn)動時 ,△ BEP為等腰三角形的情況 ,求 t231t的值 。 (3)確定 t=4時 P點(diǎn)的位置 ,畫圖 ,確定重合部分的圖形 ,利用相似 ,勾股定理求解 .