【正文】 (7分 ) 25. (2022新疆烏魯木齊 ,20,10分 )如圖 ,建筑物 AB的高為 6 m,在其正東方向有一個通信塔 CD,在 它們之間的地面點 M(B,M,D三點在一條直線上 )處測得建筑物頂端 A、塔頂 C的仰角分別為 37176。 和 60176。,在 A處測得塔頂 C的仰角為 30176。,求通信塔 CD的高度 .(精確到 m) ? 解析 過點 A作 AE⊥ CD于 E,由題意 ,易知四邊形 ABDE是矩形 ,∴ AB=DE=6 m,AE=BD. 設 CE=x m,在 Rt△ AEC中 ,∠ AEC=90176。,∠ CAE=30176。, ∴ AE=? =? x m. 在 Rt△ CDM中 ,CD=CE+ED=(x+6)m, ∴ DM=? =? m. 在 Rt△ ABM中 ,BM=? =? m. 由 AE=BD=BM+DM,得 ? x=? +? (x+6), 解得 x=? +3, ∴ CD=? +9≈ m. 答 :通信塔 CD的高度約為 m. tan 30CE?3tan 60CD? 3 ( 6 )3x ?tan 37AB? 6tan 37?3 6tan 37? 3333t a n 3 7 ?33t a n 3 7 ?考點一 銳角三角函數 1.(2022唐山一模 ,9)如圖 ,△ ABC的頂點都在正方形網格的格點上 ,則 cos C的值為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 3510 255 55 12三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 基礎題組 答案 B 如圖 ,在三角形 ADC中 ,AD=2,CD=4, ∴ AC=? =? =2? , ∴ cos C=? =? =? .故選 B. ? 22AD CD? 20 5CDAC 4252552.(2022西華一模 ,12)若關于 x的方程 x2? x+sin α=0有兩個相等的實數根 ,則銳角 α的度數為 . 2答案 30176。 解析 ∵ x的方程 x2? x+sin α=0有兩個相等的實數根 , ∴ Δ=(? )241sin α=0, 解得 sin α=? ,∴ 銳角 α=30176。. 22121.(2022濮陽一模 ,19)如圖 ,線段 AB、 CD分別表示甲、乙兩建筑物的高 ,BA⊥ AD,CD⊥ DA,垂足 分別為 A、 D點測得 B點的仰角 α為 60176。,從 C點測得 B點的仰角 β為 30176。,甲建筑物的高 AB=30米 . (1)求甲、乙兩建筑物之間的距離 AD。 (2)求乙建筑物的高 CD. ? 考點二 解直角三角形 解析 (1)在 Rt△ ABD中 ,AD=? =? =10? (米 ). (2)作 CE⊥ AB于點 E,如圖所示 , 在 Rt△ BCE中 ,CE=AD=10? 米 , BE=CEtan β=10? ? =10(米 ), 則 CD=AE=ABBE=3010=20(米 ). 答 :乙建筑物的高度 CD為 20米 . ? ta nABα 303333332.(2022鄭州二模 ,19)黃河 ,既是一條源遠流長、波瀾壯闊的自然河 ,又是一條孕育中華民族燦 爛文明的母親河 .數學課外實踐活動中 ,小林和同學們在黃河南岸小路上的 A,B兩點處 ,用測角 儀分別對北岸的觀景亭 D進行測量 .如圖 ,測得 ∠ DAC=45176。,∠ DBC=65176。.若 AB=200米 ,求觀景亭 D到小路 AC的距離 .(結果精確到 1米 ,參考數據 :sin 65176?！?,cos 65176?！?,tan 65176?！?) ? 解析 如圖 ,過點 D作 DE⊥ AC,垂足為 E,設 BE=x, ? 在 Rt△ DEB中 ,tan∠ DBE=? , ∵∠ DBC=65176。,∴ DE=xtan 65176。. 又 ∵∠ DAC=45176。, ∴ AE=DE, ∴ 200+x=xtan 65176。, 解得 x≈ , ∴ DE=200+x≈ 375(米 ). 答 :觀景亭 D到小路 AC的距離約為 375米 . DEBE3.(2022安陽一模 ,19)某校數學興趣小組想測量一幢大樓 AB的高度 .如圖 ,大樓前有一段斜坡 BC,已知 BC的長為 12米 ,它的坡度 (注 :坡度 i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比 )i=1∶ ? .在 離 C點 40米的 D處 ,用測角儀測得大樓頂端 A的仰角為 37176。,測角儀 DE的高為 ,求大樓 AB的 高度約為多少米 .(結果精確到 ,參考數據 :sin 37176。≈ ,cos 37176?！?,tan 37176?！?,? ≈ ) ? 33解析 如圖 ,延長 AB交直線 DC于點 F,過點 E作 EH⊥ AF,垂足為點 H. ? 在 Rt△ BCF中 ,? =i=1∶ ? ,設 BF=k米 ,則 CF=? k米 ,BC=2k米 . 又 ∵ BC=12米 ,∴ k=6. ∴ BF=6米 ,CF=6? 米 . ∵ DF=DC+CF,∴ EH=DF=(40+6? )米 . 在 Rt△ AEH中 ,tan∠ AEH=? , ∴ AH=tan 37176。(40+6? )≈ (米 ). BFCF 3 333AHEH3∵ BH=BFFH,∴ BH==(米 ). ∴ AB=AHBH≈ (米 ). 答 :大樓 AB的高度約為 . 4.(2022南陽一模 ,19)2022年 11月 1日至 6日 ,第十一屆中國航展在廣東珠海舉行 .如圖 ,在本次航 展上 ,一架飛機飛行到 A點時 ,測得觀禮臺 C在飛機下前方 ,俯角為 65176。,此時飛機飛行路線改為沿 坡角 30176。的方向朝斜上方直線飛行 ,飛機飛行 6 km到達 B處 ,此時飛機飛行高度為 5 km,另一個觀 禮臺 D恰好在飛機的正下方 ,求兩個觀禮臺 C與 D之間的距離 .(參考數據 :tan 65176。≈ ,sin 65176。 ≈ ,cos 65176?！?,? ≈ ,結果精確到 km) ? 3解析 如圖 ,過 A作 AE⊥ BD于點 E,過 C作 CF⊥ AE于點 F. ? 由題意可知 ,∠ BDC=90176。,∠ BAE=30176。,∠ EAC=65176。,AB=6 km,BD=5 km,∴ 四邊形 FCDE為矩形 ,∴ EF=CD,CF=ED. 在 Rt△ BAE中 ,∠ BAE=30176。,AB=6 km, sin∠ BAE=? ,cos∠ BAE=? , ∴ BE=3 km,AE=3? km. ∴ ED=BDBE=2 km. ∴ CF=ED=2 km. 在 Rt△ ACF中 ,∠ CAF=65176。,CF=2 km,tan∠ CAF=? , BEAB AEAB3CFAF∴ AF=? km. ∴ EF=AEAF=3? ? ≈ km. ∴ CD=EF= km. 答 :兩個觀禮臺 C與 D之間的距離約為 km. 2tan 65?3 2tan 65?5.(2022開封一模 ,20)如圖 ,為了測量山頂鐵塔 AE的高度 ,小明在 27 m高的樓 CD底部 D測得塔頂 A的仰角為 45176。,在樓頂 C測得塔頂 A的仰角為 36176。5239。,已知山高 BE為 80 m,樓底部 D與山腳在同一 水平線上 ,求該鐵塔的高 AE.(參考數據 :sin 36176。5239?！?,tan 36176。5239。≈ ) ? 解析 如圖 ,過點 C作 CF垂直 AB于點 F,∵ BE=80 m,CD=27 m,∴ EF=8027=53 m,∵∠ ADB=45176。, ∴∠ DAB=45176。,∴ AB=BD,易得 CF=BD.∴ CF=AB. 設 AE=x m,在△ AFC中 ,∠ AFC=90176。, tan∠ ACF=tan 36176。5239。=? =? ≈ . 解得 x≈ 28, ∴ 該鐵塔的高 AE約為 28 m. ? AFFC 5380x x??6.(2022洛陽一模 ,20)由于發(fā)生山體滑坡災難 ,武警救援隊火速趕往災區(qū)救援 ,探測出某建筑物 廢墟下方點 C處有生命跡象 .在廢墟一側地面上選兩探測點 A、 B,A、 B相距 2米 ,探測線與地面 的夾角分別是 30176。和 45176。(如圖 ).試確定生命所在點 C與地面的距離 .(參考數據 :? ≈ ,? ≈ ,結果精確到 ) ? 2 3解析 過 C點作 CD⊥ AB,交 AB的延長線于 D, 在 Rt△ ACD中 ,∠ ADC=90176。,∠ CAD=30176。,∴ AD=? CD. 在 Rt△ BCD中 ,∠ BDC=90176。,∠ CBD=45176。,∴ BD=CD. ∵ AB=2 m,∴ ? CDCD=2 m,∴ CD=? ≈ ? ≈ m. 答 :生命所在點 C與地面的距離約為 . 33 231? 20 . 7 37.(2022許昌一模 ,20)如圖 ,我南海某海域 A處有一艘捕魚船在作業(yè)時突遇特大風浪 ,船長馬上向 我國漁政搜救中心發(fā)出求救信號 ,此時一艘漁政船正巡航到捕魚船正西方向 25海里的 B處 ,該 漁政船收到漁政求救中心指令后前去救援 ,但兩船之間有大片暗礁 ,無法直線到達 ,于是決定馬 上調整方向 ,先向北偏東 60176。方向以每小時 40海里的速度航行半小時到達 C處 ,然后調整航向 , 沿南偏東 53176。方向航行 .同時捕魚船向正北方向低速航行 .若兩船航速不變 ,并且在 D處會合 . 求 C、 D兩點間的距離和捕魚船的速度 (結果保留整數 ). ? ? 4 3 4: 3 ,sin53 ,cos53 ,tan53 5 5 3??? ?? ?? ??????參考數據解析 如圖 ,過點 C作 CG⊥ AB于點 G,過點 D作 DF⊥ CG于點 F, ? 在 Rt△ CBG中 ,由題意知 ∠ CBG=30176。, ∴ CG=? BC=? 40? =10(海里 ), BG=BCcos 30176。=? 40? =10? ≈ 17(海里 ). ∵∠ DAG=90176。,∴ 四邊形 ADFG是矩形 , ∴ DF=AG=ABBG=2517=8(海里 ). 在 Rt△ CDF中 ,∠ CFD=90176。, 12 12 1212 323∵∠ DCF=53176。,∴ CD=? ≈ 10(海里 ), CF=? ≈ 6(海里 ), ∴ AD=FG=CGCF=106=4(海里 ). ∵ 漁政船航行時間為 ? +? =? (小時 ), ∴ 捕魚船的速度為 4247。? ≈ 5(海里 /時 ). sin 53DF?tan 53DF?12 104034341.(2022鄭州一模 ,19)如圖 ,某辦公樓 AB的后面有一建筑物 CD,當光線與地面的夾角是 22176。時 ,辦 公樓在建筑物的墻上留下高 1米的影子 CE,而當光線與地面夾角是 45176。時 ,辦公樓樓頂 A在地面 上的影子 F與墻角 C有 20米的距離 (B,F,C在一條直線上 ). (1)求辦公樓 AB的高度 。 (2)若要在 A,E之間掛一些彩旗 ,請你求出 A,E之間的距離 .? 結果精確到 1米 ,參考數據 :sin 22176?！? ? ,cos 22176?！?? ,tan 22176?！?? ? 38 1516 25B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時間 :60分鐘 分值 :72分 ) 解答題（共 72分） 解析 (1)如圖 , ? 過點 E作 EM⊥ AB,垂足為點 M, 設辦公樓 AB的高度為 x米 . ∵ 在 Rt△ ABF中 ,∠ AFB=45176。, ∴ BF=AB=x. ∴ BC=BF+FC=x+20. 在 Rt△ AEM中 ,∠ AEM=22176。,AM=ABBM=ABCE=x1, tan 22176。=? ,則 ? ≈ ? , 解得 x≈ 15. 即辦公樓 AB的高度約為 15米 . (2)由 (1)可得 ME=BC=x+20=15+20=35米 . 在 Rt△ AME中 ,cos 22176。=? , ∴ AE=? ≈ ? =? ≈ 37米 . 即 A、 E之間的距離約為 37米 . AMME 120xx ?? 25MEAEcos 22ME? 3515161123思路分析 本題考查解直角三角形的應用 ,過 E點作 EM⊥ AB于 M,構造出 Rt△ AEM和矩形 ECBM,設高 AB為 x,根據題中條件以及矩形性質 ,確定各線段的數量關系 ,在 Rt△ AEM中 ,根據 三角函數 ,列出方程求得 AM和 AE的值 .解題關鍵是作出輔助線構造直角三角形 ,利用三角函數 求三角形的邊 . 2.(2022西華一模 ,20)為了對一棵傾斜的古杉樹 AB進行保護 ,需測量其高度 ,如圖 ,在地面上選取 一點 C,測得 ∠ ACB=45176。,AC=24 m,∠ BAC=176。,求這棵古杉樹 AB的高度 .(結果精確到 考數據 :sin 176?！?,cos 176?！?,tan 176。≈ ) ? 解析 如圖 ,過點 B作 BD⊥ AC于點 D. ∵∠ ACB=45176。,∴ BD=DC. 設 AB=x m. ∵ 在 Rt△ ABD中 ,AD=ABcos 176?！? m, BD=ABsin 176?！? m,∴ DC≈ m, ∵ AD+CD=AC=24 m, ∴ x+≈ 24,解得 x≈ , 答 :這棵古杉樹 AB的高度約為 m. ? 思路分析 本題考查解