【正文】 ∴ 3 000+x=? x, 解得 x=1 500(? +1)≈ 4 098, 顯然 2 000+4 098=6 0987 , 所以“蛟龍”號(hào)能在保證安全的情況下打撈海底黑匣子 . 33思路分析 過(guò)點(diǎn) C作 CE⊥ AB交 AB的延長(zhǎng)線于 E,設(shè) CE=x,在 Rt△ BCE和 Rt△ ACE中分別用 x表 示 BE和 AE的長(zhǎng)度 ,然后根據(jù) AB+BE=AE,列出方程求出 x的值 ,進(jìn)而可判斷出“蛟龍”號(hào)能在保 證安全的情況下打撈海底黑匣子 . 評(píng)析 本題考查俯角的定義 ,以及解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用 .本題難度不大 ,解題的關(guān)鍵是能借 助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形 ,注意當(dāng)兩個(gè)直角三角形有公共邊時(shí) ,利用這條公共邊 進(jìn)行求解是解此類(lèi)題的常用方法 . 考點(diǎn)一 銳角三角函數(shù) 三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 基礎(chǔ)題組 1.(2022貴港桂平一模 ,9)如圖 ,將☉ O沿弦 AB折疊 ,圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心 O,點(diǎn) P是優(yōu)弧 AB上一點(diǎn) ,則 sin∠ APB的值為 ? ( ) ? A.? B.? C.? 12 22 32答案 C 如圖 ,作 OC⊥ AB交☉ O于 C,交 AB于 D,連接 OA、 OB. ? ∵ 將☉ O沿弦 AB折疊 ,圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心 O, ∴ OD=CD. ∴ OD=? OC=? OA. ∴∠ OAD=30176。, ∵ OA=OB, ∴∠ ABO=30176。. ∴∠ AOB=120176。. ∴∠ APB=? ∠ AOB=60176。. ∴ sin∠ APB=? .故選 C. 12 121232評(píng)析 本題考查了圓周角定理 :在同圓或等圓中 ,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等 ,都等于這條弧 所對(duì)的圓心角的一半 .也考查了含 30176。角的直角三角形三邊的關(guān)系和折疊的性質(zhì) ,求得 ∠ OAD= 30176。是解題的關(guān)鍵 . 2.(2022貴港平南大安四中一模 ,6)如圖 ,在△ ABC中 ,AC=6,BC=5,sin A=? ,則 tan B=? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 2335 53 34 43答案 C 作 CD⊥ AB于 D,如圖 , ? 由 AC=6,BC=5,sin A=? ,得 CD=ACsin A=6? =4, 在 Rt△ BCD中 ,由勾股定理 ,得 DB=? =? =3, tan B=? =? . 故選 C. 23 2322BC CD? 2254?CDDB34思路分析 根據(jù)三角函數(shù)值 ,可得 CD的長(zhǎng) ,根據(jù)勾股定理 ,可得 BD的長(zhǎng) ,再根據(jù)正切函數(shù)的定 義 ,可得答案 . 評(píng)析 本題考查解直角三角形 ,利用勾股定理得出 BD的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵 . 考點(diǎn)二 解直角三角形 1.(2022南寧二模 ,9)如圖 ,為了測(cè)得電視塔的高度 AB,在 D處用高為 1米的測(cè)角儀 CD,測(cè)得電視塔 頂端 A的仰角為 30176。,再向電視塔方向前進(jìn) 100米到達(dá) F處 ,又測(cè)得電視塔頂端 A的仰角為 60176。,則 這個(gè)電視塔的高度 AB為 ? ( ) ? ? 米 C.(50? +1)米 33答案 C 設(shè) AG=x米 ,則 CG=? =? =? x米 ,EG=? =? x米 ,CGEG=100米 ,即 ? x ? x=100,解得 x=50? .∴ AB=AG+GB=(50? +1)米 ,故選 C. ta n 3 0AG?33x3tan 60AG? 333333 32.(2022南寧二模 ,16)如圖 ,在菱形紙片 ABCD中 ,AB=3,∠ A=60176。,將菱形紙片翻折 ,使點(diǎn) A落在 CD 的中點(diǎn) E處 ,折痕為 FG,點(diǎn) F,G分別在邊 AB,AD上 ,則 tan∠ EFG的值為 . ? 答案 ? 233解析 如圖 ,連接 AE交 GF于 O,連接 BE,BD,則△ BCD為等邊三角形 , ? ∵ E是 CD的中點(diǎn) , ∴ BE⊥ CD, ∴∠ EBF=∠ BEC=90176。, Rt△ BCE中 ,CE=cos 60176。3=? ,BE=sin 60176。3=? , ∴ Rt△ ABE中 ,AE=? =? =? , 由折疊可得 ,AE⊥ GF,EO=? AE=? , 32 33222AB BE? 22 3332??? ????37212374設(shè) AF=x=EF,則 BF=3x, 在 Rt△ BEF中 ,BF2+BE2=EF2, ∴ (3x)2+? =x2, 解得 x=? ,即 EF=? , ∴ Rt△ EOF中 ,OF=? =? , ∴ tan∠ EFG=? =? . 2332??????218 21822EF EO?3 2 18EOFO 233方法技巧 本題考查了菱形的性質(zhì) ,等邊三角形的判定與性質(zhì) ,解直角三角形 ,折疊的性質(zhì) ,勾 股定理等知識(shí) ,根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得到△ BCE和△ ABE是直角三角形 ,由折 疊的性質(zhì)得到△ EOF是直角三角形是解答本題的突破點(diǎn) . 3.(2022河池一模 ,17)如圖 ,一漁船由西往東航行 ,在 A點(diǎn)測(cè)得海島 C位于北偏東 60176。的方向 ,前進(jìn) 2 0海里到達(dá) B點(diǎn) ,此時(shí) ,測(cè)得海島 C位于北偏東 30176。的方向 ,則海島 C到航線 AB的距離 CD等于 海里 . ? 答案 10? 3解析 設(shè) CD的長(zhǎng)為 x海里 ,由題意知 ∠ CBD=60176。,∠ CAB=30176。,則 AD=? x海里 ,BD=? x海里 ,∴ ? x+20=? x,解得 x=10? .∴ CD的長(zhǎng)為 10? 海里 . 333333 3 3考點(diǎn)三 解直角三角形的應(yīng)用 1.(2022貴港港南一模 ,8)如圖 ,電線桿 CD的高度為 h,兩根拉線 AC與 BC互相垂直 (A、 D、 B在同 一條直線上 ),設(shè) ∠ CAB=α,那么拉線 BC的長(zhǎng)度為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? s inh α c o sh α tanh α co th α答案 B 由 ∠ CAD+∠ ACD=90176。,∠ ACD+∠ BCD=90176。,得 ∠ CAD=∠ BCD,在 Rt△ BCD中 ,cos∠ BCD=? ,可得 BC=? =? .故選 B. CDBC cosCDBCD? c o sh α評(píng)析 本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用 ,熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵 . 2.(2022南寧二模 ,11)上午 9時(shí) ,一條船從 A處出發(fā) ,以每小時(shí) 40海里的速度向正東方向航行 ,9時(shí) 3 0分到達(dá) B處 (如圖 ).從 A、 B兩處分別測(cè)得小島 M在北偏東 45176。和北偏東 15176。方向 ,那么在 B處船與 小島 M的距離為 ? ( ) ? ? 海里 ? 海里 ? 海里 22 3答案 B 如圖 ,過(guò)點(diǎn) B作 BN⊥ AM于點(diǎn) N. 由題意得 ,AB=40? =20海里 ,∠ ABM=105176。,∠ BAM=45176。, ∴∠ M=180176。105176。45176。=30176。. 在直角△ ABN中 ,BN=ABsin 45176。=10? 海里 . 在直角△ BNM中 ,∵∠ M=30176。, ∴ BM=2BN=20? 海里 .故選 B. ? 1222方法技巧 本題考查了方向角的有關(guān)計(jì)算和解直角三角形的應(yīng)用 ,正確作出輔助線構(gòu)造直角 三角形是解答本題的關(guān)鍵 . 3.(2022欽州一模 ,10)某山的山頂 B處有一個(gè)觀光塔 ,已知該山的山坡面與水平面的夾角 ∠ BDC 為 30176。,山高 BC為 100米 ,點(diǎn) E距山腳 D處 150米 ,在點(diǎn) E處測(cè)得觀光塔頂端 A的仰角為 60176。,則觀光塔 AB的高度是 ? ( ) ? 答案 A 過(guò) E作 EF⊥ AC于 F,過(guò) E作 EG⊥ DC于 G, 在△ DEG中 ,EG=? DE=75米 ,∴ BF=BCFC=BCEG=25米 . 在△ BEF中 ,EF=? BF=25? 米 . 在△ AEF中 ,AF=? EF=75米 ,∴ AB=AFBF=50米 . 故選 A. ? 123 334.(2022北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)導(dǎo)航模擬 ,14)如圖 ,一艘海輪位于燈塔 P的北偏東 60176。方向距離燈塔 4海里 的點(diǎn) A處 .如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東位置 B處 ,則海輪航行了 海里 . ? 答案 2 解析 依題意可知 AP=4海里 ,AB⊥ PB,∠ APB=30176。, ∴ 在 Rt△ ABP中 ,sin 30176。=? , ∴ AB=APsin 30176。=? 4=2(海里 ). ABAP125.(2022柳州柳江二模 ,20)如圖 ,某飛機(jī)在空中 A處探測(cè)到地平面目標(biāo) B,此時(shí)從飛機(jī)上看目標(biāo) B 的俯角為 α,若測(cè)得飛機(jī)到目標(biāo) B的距離 AB約為 2 400米 ,已知 sin α=,求飛機(jī)飛行的高度 AC 約為多少米 . ? 解析 ∵ AD∥ BC, ∴∠ B=∠ α. ∴ sin B=sin α=,? (2分 ) 在 Rt△ ABC中 ,∵ sin B=? , ∴ AC=ABsin B=2 400=1 248(米 ).? (5分 ) ? 答 :飛機(jī)飛行的高度約為 1 248米 .? (6分 ) ACAB6.(2022桂林三模 ,24)如圖 ,兩座建筑物的水平距離 BD為 30米 ,從 A點(diǎn)測(cè)得 C點(diǎn)的俯角 α為 30176。,測(cè) 得 D點(diǎn)的俯角 β為 45176。,求這兩座建筑物的高度 (結(jié)果保留根號(hào) ). ? 解析 在 Rt△ ABD中 , ∵ BD=30米 ,∠ ADB=45176。, ∴ AB=BD=30米 .? (2分 ) 過(guò) C作 CE⊥ AB于點(diǎn) E, 又 AB⊥ BD,CD⊥ BD, ∴ 四邊形 EBDC是矩形 ,? (4分 ) ∴ CD=EB,CE=BD=30米 , ∵∠ ACE=30176。,∴ AE=CEtan 30176。=10? 米 ,? (6分 ) ∴ EB=ABAE=(3010? )米 ,? (7分 ) 即 CD=(3010? )米 . 答 :建筑物 AB的高度為 30米 ,建筑物 CD的高度為 (3010? )米 .? (8分 ) 33337.(2022柳州二模 ,22)如圖是某市一座人行天橋的示意圖 ,天橋的高是 10米 ,CB⊥ DB,坡面 AC的 傾斜角為 45176。.為了方便行人推車(chē)過(guò)天橋 ,市政府部門(mén)決定降低坡度 ,使新坡面 DC的坡度為 i= ? ∶ 3,若新坡角下需留 3米寬的人行道 ,問(wèn)離原坡角 (A點(diǎn)處 )10米的建筑物是否需要拆除 ?(參 考數(shù)據(jù) :? ≈ ,? ≈ ) ? 32 3解析 ∵ BC=10米 ,∠ CAB=45176。,∠ CBA=90176。, ∴ AB=10米 . ∵ tan∠ CDB=? =? ,∴ BD=? =? 10≈ (米 ). ∴ DA=DBAB==(米 ). ∵ +3=10, ∴ 離原坡角 10米的建筑物需要拆除 . BCBD 33 33BC38.(2022桂林三模 ,23)如圖 ,山頂有一鐵塔 AB的高度為 20米 ,為測(cè)量山的高度 BC,在山腳點(diǎn) D處測(cè) 得塔頂 A和塔基 B的仰角分別為 60176。和 45176。.求山的高度 BC.(結(jié)果保留根號(hào) ) ? 解析 由題意知 ∠ ADC=60176。,∠ BDC=45176。, 在 Rt△ BCD中 ,∵∠ BDC=45176。, ∴ BC=DC, 在 Rt△ ACD中 , tan∠ ADC=? =? =? , ∴ BC=10(? +1)米 , 故山的高度 BC為 10(? +1)米 . AB BCCD? 20 BCCD? 333思路分析 在 Rt△ BCD中 ,根據(jù) ∠ BDC=45176。,可得 BC=DC,在 Rt△ ACD中 ,根據(jù) ∠ ADC的正切函 數(shù) ,列出關(guān)于 BC的等量關(guān)系式 ,即可求出 BC的長(zhǎng) . 評(píng)析 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用 ,難度適中 ,解答本題的關(guān)鍵是借助仰角構(gòu)造直角三角 形并解直角三角形 . 9.(2022梧州岑溪一模 ,23)如圖 ,從 A地到 B地的公路需經(jīng)過(guò) C地 ,圖中 AC=10千米 ,∠ CAB=25176。,∠ CBA=37176。,因城市規(guī)劃的需要 ,將在 A、 B兩地之間修建一條筆直的公路 . (1)求改直的公路 AB的長(zhǎng) 。 (2)問(wèn)公路改直后比原來(lái)縮短了多少千米 ?(參考數(shù)據(jù) :sin 25176?！?,cos 25176?！?,sin 37176。≈ 0,tan 37176。≈ ) ? 解析 (1)作 CH⊥ AB于 H. ? 在 Rt△ ACH中 ,CH=ACsin∠ CAB=ACsin 25176?！?10=(千米 ), AH=ACcos∠ CAB=ACcos 25176?！?10=(千米 ), 在 Rt△ BCH中 ,BH=CH247。tan∠ CBA=247。tan 37176?！?247。=(