【正文】 ,∴∠ BAC=90176。,又 PE⊥ AB,PF⊥ AC,∴ 四邊形 AEPF為矩形 , ∴ EF=AP,易知當(dāng) AP⊥ BC時(shí) ,AP最小 ,此時(shí) EF最小 ,故 (EF)min=(AP)min=? =? =? =. AB ACBC? 345? 125思路分析 連接 AP,證四邊形 AEPF為矩形 ,可得 EF=AP,當(dāng) AP⊥ BC時(shí) ,AP最小 ,即 EF最小 ,利用 等面積法求解即可 . 4.(2022安徽合肥包河一模 ,10)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,點(diǎn) D為 BC的中點(diǎn) ,在 BA的延長線上取 一點(diǎn) E,使得 ED=EC,ED與 AC交于點(diǎn) F,則 ? 的值為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? AFCF12 13 25 23答案 B 如圖 ,連接 AD,過點(diǎn) E作 EH⊥ BC于點(diǎn) H,交 AC于點(diǎn) G,連接 GD. ? ∵ ED=EC,EH⊥ DC,∴ DH=HC=? DC.∵ 點(diǎn) D為 BC的中點(diǎn) ,∴ BD=2DH. ∵ AB=AC,點(diǎn) D為 BC的中點(diǎn) ,∴ AD⊥ BC, ∴ AD∥ EH,∴ ? =? =? ,? =? =1,即點(diǎn) G為 AC的中點(diǎn) , ∴ DG是△ ABC的中位線 ,∴ DG?? ? AB,即 DG?? AE,∴ 四邊形 ADGE是平行四邊形 ,∴ AF=FG,∴ ? =? . 12AEAB DHBD 12GCAG CHDH12AFCF13思路分析 連接 AD,過點(diǎn) E作 EH⊥ BC,交 AC于點(diǎn) G,再連接 DG,易證 AD∥ EH,由 H為 CD的中點(diǎn) 可證 G為 AC的中點(diǎn) ,從而可證四邊形 ADGE是平行四邊形 ,問題得以解決 . 解題關(guān)鍵 由已知的等腰三角形作出輔助線 AD,EH,繼而證明 G為 AC的中點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵 . 5.(2022安徽巢湖三中二模 ,14)如圖 ,△ ABC中 ,∠ C=90176。,AC=20,BC=15,點(diǎn) D在 AC上 (D與點(diǎn) A,C不 重合 ),點(diǎn) E在 BC上 (E與點(diǎn) B,C不重合 ),且 DE∥ AB上找一點(diǎn) P,使得△ PDE為等腰直角三角 形 ,則△ PDE的斜邊長為 . ? 二、填空題 (每小題 3分 ,共 6分 ) 答案 ? ? 或 ? 30037 2 60049解析 當(dāng) ∠ EDP=90176。時(shí) ,如圖 1,設(shè) PD=DE=x,∵ DE∥ AB,∴ △ CDE∽ △ CAB,在 Rt△ ACB中 ,∵ AC =20,BC=15,∴ AB=25,則△ ABC的 AB邊上的高為 12,∴ ? =? ,解得 x=? ,即 DE=? ,∴ 斜邊 長為 ? ? 。當(dāng) ∠ DEP=90176。時(shí) ,如圖 2,設(shè) EP=DE=x,同理可得 ,斜邊長為 ? ? 。當(dāng) ∠ DPE=90176。時(shí) , 如圖 3,由等腰直角三角形的性質(zhì)得 P到 DE的距離為 ? DE,設(shè) DE=x,∵ DE∥ AB,∴ △ CDE∽ △ CAB,∴ ? =? ,解得 x=? ,即斜邊長為 ? . 綜上 ,△ PDE的斜邊長為 ? ? 或 ? . ? 25x1212x? 30037 3003730037 2 30037 21225x112212 x? 60049 6004930037 2 60049思路分析 分 ∠ EDP=90176。、 ∠ DEP=90176。、 ∠ DPE=90176。三種情況進(jìn)行討論 ,求解即可 . 6.(2022安徽合肥三十八中三模 ,14)如圖 ,四邊形 ABCD是矩形紙片 ,AD=2? .對折矩形紙片 ABCD,使 AB與 DC重合 ,折痕為 EF。展開后再過 A折疊矩形紙片 ,使點(diǎn) D落在 EF上的點(diǎn) N處 ,折痕 AG與 EF相交于點(diǎn) Q。再次展平 ,連接 AN,GN,延長 GN交 AB于點(diǎn) :① MN=NG。② EQ= 1。③△ GAM一定是等邊三角形 。④ 點(diǎn) P為線段 AG上一動點(diǎn) ,則 PD+PE的最小值是 2+? .其中正 確結(jié)論的序號是 . ? 33答案 ①②③ 解析 連接 DN,由折疊的性質(zhì)可知 EF是 AD的垂直平分線 ,∴ AN=DN=AD,∴ △ ADN是等邊三 角形 , ∴∠ MAG=90176。? ∠ DAN=60176。,∠ AGM=∠ AGD=60176。, ∴ △ GMA是等邊三角形 , 又 ∵ AN⊥ GM,∴ MN=GN,故結(jié)論①③正確 。 在 Rt△ ADG中 ,∠ DAG=30176。,AD=2? ,∴ DG=2, 又 ∵ EQ是△ ADG的中位線 ,∴ EQ=? DG=1,故結(jié)論②正確 。連接 PN,根據(jù)折疊圖形的對稱性可 得 PD=PN,即 PD+PE=PN+PE,當(dāng)點(diǎn) E、 P、 N在同一條直線上時(shí) ,PN+PE的值最小 ,即 PD+PE的 值最小 ,且最小值為 3,故結(jié)論④錯(cuò)誤 . 綜上所述 ,結(jié)論①②③正確 . 12312思路分析 連接 DN,由折疊的性質(zhì)可知 EF垂直平分 AD,從而可得△ ADN是等邊三角形 ,進(jìn)一步 可得出△ GMA是等邊三角形 ,進(jìn)而判斷①③ 。在 Rt△ ADG中 ,抓住 EQ是△ ADG的中位線即可判 斷② 。連接 PN,根據(jù)折疊圖形的對稱性可得 PD=PN,易知 E,P,N三點(diǎn)共線時(shí) PD+PE的值最小 ,從 而判斷④ . 7.(2022安徽合肥包河一模 ,23)在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,∠ BAC=60176。,AC=2,P為△ ABC所在平面 內(nèi)一點(diǎn) ,分別連接 PA ,PB,PC. (1)如圖 1,已知 ∠ APB=∠ BPC=∠ APC,以點(diǎn) A為旋轉(zhuǎn)中心將△ APB順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。,得到△ AMN. ① 請畫出圖形 ,并求證 :C、 P、 M、 N四點(diǎn)在同一條直線上 。 ② 求 PA +PB+PC的值 。 ? 三、解答題 (共 22分 ) (2)如圖 2,如果點(diǎn) P滿足 ∠ BPC=90176。,設(shè) Q是 AB邊的中點(diǎn) ,求 PQ的取值范圍 . ? 圖 2 解析 (1)① 如圖所示 . ? 證明 :易得△ APB≌ △ AMN, ∴ AP=AM,又 ∠ PAM=60176。, ∴ △ APM為等邊三角形 , ∴∠ APM=∠ AMP=60176。, ∴∠ APB=∠ BPC=∠ APC=∠ AMN=120176。, ∴∠ APM+∠ APC=60176。+120176。=180176。,∠ AMP+∠ AMN=180176。, ∴ C、 P、 M、 N四點(diǎn)在同一條直線上 . ② 連接 BN,易得△ ABN為等邊三角形 , ∴∠ ABN=60176。,易知 ∠ ABC=30176。,∴∠ CBN=90176。, ∵ AC=2,∴ AN=AB=BN=4,BC=2? , ∵ PA =PM,PB=MN, ∴ PA +PB+PC=CN, 在 Rt△ BCN中 ,CN=? =2? , ∴ PA +PB+PC的值為 2? . (2)∵∠ BPC=90176。,∴ 點(diǎn) P在以 BC為直徑的圓上 (P與 B、 C不重合 ), ? 322BC BN? 77設(shè) BC的中點(diǎn)為 O,易知 P在 P1位置時(shí) ,PQ最小 , 則 P1O=? BC=? ,OQ=? AC=1, ∴ P1Q=? 1。 當(dāng) P在 P2位置時(shí) ,PQ最大 , 則 P2Q=? +1, ∵ P與 B、 C不重合 , ∴ PQ≠ 2. 綜上 ,PQ的取值范圍為 ? 1≤ PQ≤ ? +1且 PQ≠ 2. 12312333 3思路分析 (1)① 由旋轉(zhuǎn)易證△ APB≌ △ AMN,可得△ APM為等邊三角形 ,只需證明 ∠ APM+∠ APC=180176。,∠ AMP+∠ AMN=180176。即可證明四點(diǎn)共線 。② 連接 BN,易得△ ABN為等邊三角形 ,由① 知 PA =PM,MN=PB,從而得 PA +PB+PC=CN,易知 ∠ CBN=90176。,在 Rt△ BCN中由勾股定理即可求 出 CN。(2)畫出圖形即可確定 PQ的取值范圍 . 8.(2022安徽蕪湖三模 ,23)如圖所示 ,矩形 ABCD中 ,點(diǎn) M在 BC邊上 ,連接 AM,作 ∠ AMN=∠ AMB,點(diǎn) N在直線 AD上 ,MN交 CD邊于點(diǎn) E. (1)求證 :△ AMN是等腰三角形 。 (2)求證 :AM2=2ANBM。 (3)若 AB=3,BC=2,當(dāng) M為 BC的中點(diǎn)時(shí) ,試求 ME的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ AD∥ BC,∴∠ NAM=∠ BMA. 又 ∠ AMN=∠ AMB, ∴∠ AMN=∠ NAM. ∴ AN=MN, 即△ AMN是等腰三角形 .? (2分 ) (2)證明 :作 NH⊥ AM于 H.? (3分 ) ? ∵ AN=MN,NH⊥ AM,∴ AH=? AM.? (5分 ) ∵∠ NHA=∠ ABM=90176。,∠ MAN=∠ AMB, 12∴ △ NAH∽ △ AMB,∴ ? =? . ∴ ANBM=AHAM=? AM2, 即 AM2=2ANBM.? (8分 ) (3)∵ M為 BC的中點(diǎn) ,∴ BM=CM=1, 由 (2)知 AM2=2ANBM, ∵ AM2=32+12=10, ∴ AN=5, ∴ DN=52=3.? (10分 ) 設(shè) ME=x,則 NE=NMME=5x, ∵ AN∥ BC, ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 x=? . 經(jīng)檢驗(yàn) ,x=? 是原分式方程的解 . ∴ ME=? .? (12分 ) ANAM AHBM12DNCM NEME 315 xx? 545454思路分析 (1)由矩形 ABCD中 AD∥ BC可得 ∠ NAM=∠ BMA,再由 ∠ AMN=∠ AMB即可得證 。(2) 作 NH⊥ AM于 H,可證△ NAH∽ △ AMB,得 ? =? ,又 AH=? AM,故問題得以解決 。(3)由 (2)中結(jié) 論和勾股定理可求 AM AN,進(jìn)而求出 DN,設(shè) ME=x,由 AN∥ BC可得 ? =? ,代入數(shù)據(jù)可得關(guān) 于 x的方程 ,解之即可 . ANAM AHBM 12DNCM NEME9.(2022安徽合肥四十五中三模 ,23) (1)發(fā)現(xiàn)問題 如圖 (1),△ ACB和△ DCE均為等邊三角形 ,點(diǎn) A、 D、 E在同一條直線上 ,連接 BE. ① ∠ AEB的度數(shù)為 。 ② 線段 AD、 BE之間的數(shù)量關(guān)系為 。 (2)拓展探究 如圖 (2),△ ACB和△ DCE均為等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ DCE=90176。,連接 AD、 BE,請判斷 AD、 BE具有怎樣的數(shù)量與位置關(guān)系 ,并說明理由 。 (3)解決問題 如圖 (3),在四邊形 ABCD中 ,∠ DAB=∠ DBC=∠ DCB=45176。,且 AB=3,AD=4,求 AC的長 . ? 解析 (1)① 60176。.? (1分 ) (提示 :易證△ ACD≌ △ BCE,則 ∠ BEC=∠ ADC=120176。, ∵∠ CED=60176。,∴∠ AEB=60176。) ② AD=BE.? (2分 ) (2)AD=BE,AD⊥ BE.? (3分 ) 理由如下 :如圖 ,延長 AD交 BE于點(diǎn) H. ? ∵ △ ACB和△ DCE均為等腰直角三角形 , ∴ CA=CB,CD=CE,∠ ACB=∠ DCE=90176。,∠ CAB=∠ CBA=45176。,∴∠ ACB∠ DCB=∠ DCE∠ DCB, 即 ∠ ACD=∠ BCE,? (4分 ) ∴ △ ACD≌ △ BCE, ∴ AD=BE,∠ CAD=∠ CBE, ∴∠ DAB+∠ ABH=∠ DAB+∠ CBA+∠ CBH=∠ CAB+∠ CBA=90176。. ? (6分 ) 又 ∵∠ DAB+∠ ABH+∠ AHB=180176。, ∴∠ AHB=90176。, ∴ AD⊥ BE.? (8分 ) (3)如圖 ,過點(diǎn) D作 DF⊥ AD,交 AB的延長線于點(diǎn) F,連接 CF. ? ∵ DF⊥ AD,∴∠ ADF=90176。. 又 ∵∠ DAB=45176。, ∴ DF=AD=4, ∴ AF=4? .? (10分 ) ∵∠ DBC=∠ DCB=45176。, 2∴∠ BDC=90176。, ∴ △ DBC是等腰直角三角形 . 易得△ ADB≌ △ FDC, ∴ CF=AB=3,∠ DFC=∠ DAB=45176。, ∴∠ AFC=∠ DFC+∠ DFA=90176。, ∴ 在 Rt△ AFC中 ,AC=? =? =? .? (14分 ) 22AF CF? 22(4 2) 3?41思路分析 (1)先證△ ACD≌ △ BCE,再根據(jù)△ CED是等邊三角形即可求解 。 (2)延長 AD交 BE于點(diǎn) H,根據(jù)△ ACB和△ DCE均為等腰直角三角形可證△ ACD≌ △ BCE,從而可 證 ∠ DAB+∠ ABH=90176。,問題解決 。(3)過 D作 DF⊥ AD交 AB的延長線于點(diǎn) F,并連接 CF,下面證明 △ DBC是等腰直角三角形 ,再證 ∠ AFC=90176。,最后由勾股定理求出 AC.