【正文】 圖 ,由 (1)知 ∠ B=60176。,AQ=AP. 又 ∵∠ CAP+∠ PAB=∠ CAB=60176。得到線段 AQ,連接 PA =6,PB=8,PC=10. (1)求證 :△ APC≌ △ AQB。當?shù)妊? 形的腰長為 7,底邊長為 3時 ,周長為 3+7+7=17,故等腰三角形的周長是 A. 4.(2022安徽合肥瑤海二模 ,7)已知 x=2是關于 x的方程 x2(m+4)x+4m=0的一個實數(shù)根 ,并且這個 方程的兩個實數(shù)根恰好是等腰三角形 ABC的兩條邊長 ,則△ ABC的周長為 ? ( ) 10 答案 C 將 x=2代入方程可得 42(m+4)+4m=0,解得 m=2,故原方程為 x26x+8=0,解得 x1=2,x2=4, 若腰長是 2,底邊長是 4,則不能構成三角形 。易知 AE=EF,所以 DE =? AC,所以 B正確 。=180176。,又因為 ∠ ACB=90176。,∠ ACD=30176。.若 AC=a,求 CI的長 . ? 解析 ∵ Rt△ ABC中 ,∠ B=30176。,CD⊥ AB交 AB于 CD為較短的 直角邊向△ CDB的同側作 Rt△ DEC,滿足 ∠ E=30176。. 由 MN∥ AD,可得 ∠ CMN=∠ CAD=30176。,AC平分 ∠ BAD,AC=2,求 BN的長 . ? 解析 (1)證明 :在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。)AD AD? 32 222( 39。=?= ? =? , ∴ BD=CD39。,由勾股定理得 DD39。中 , ? ∴ △ BAD≌ △ CAD39。,DD39。,所以 OH=6,所以 OM=OHMH=61= C. ? 12評析 解決本題的關鍵是構造直角三角形 . 3.(2022貴州遵義 ,16,4分 )我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理 ,創(chuàng)制了一幅“弦圖” ,后人 稱其為“趙爽弦圖” (如圖 (1)),圖 (2)由弦圖變化得到 ,它由八個全等的直角三角形拼接而成 ,記 圖中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT的面積分別為 S S EFGH的 邊長為 2,則 S1+S2+S3= . ? 答案 12 解析 設 AH=a,AE=b,EH=c,則 c=2,所以 S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(ab)2=2(a2+b2)+c2=3c2=322=12. 4.(2022湖北武漢 ,16,3分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AD=4,CD=3,∠ ABC=∠ ACB=∠ ADC=45176?！?C. ∴∠ CBE=∠ CAD. ∴∠ CBE=∠ BAD. 13.(2022浙江杭州 ,18,8分 )在△ ABC中 ,AB=AC,點 E,F分別在 AB,AC上 ,AE=AF,BF與 CE相交于點 :PB=PC,并直接寫出圖中其他相等的線段 . ? 解析 在△ AFB和△ AEC中 , AF=AE,∠ A為公共角 ,AB=AC, 所以△ AFB≌ △ AEC, 所以 ∠ ABF=∠ ACE. 因為 AB=AC,所以 ∠ ABC=∠ ACB, 所以 ∠ PBC=∠ PCB, 所以 PB=PC. 其余相等的線段有 :BF=CE。=60176。45176。,∠ DCG=45176。. 評析 本題考查等腰三角形的性質和三角形內角和定理 ,屬容易題 . 11.(2022山西 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ BAC=30176。)247。+90176。54176。 解析 在三角形 ABC中 ,設 AB=AC,BD⊥ AC于 D. ① 若三角形是銳角三角形 ,則 ∠ A=90176?！?A∠ B=105176。,則 ∠ ACB的度數(shù)為 . ? 12答案 105176。tan 60176。, 所以 AP=AB, 所以△ POA為等邊三角形 , 所以 AP=2. 如圖② ,∠ APB=90176。等腰三角形的頂角平分線 與底邊上的高重合 。點的坐標為 ? ,故選 C. ? 5 583 83453 83 203 2 0 4 5,33??????4.(2022湖南長沙 ,17,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,AC=8,BC=5,AB的垂直平分線 DE交 AB于點 D,交邊 AC 于點 E,則△ BCE的周長為 . ? 答案 13 解析 ∵ DE垂直平分 AB, ∴ AE=BE, ∴ △ BCE的周長為 BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13. 評析 本題考查了線段垂直平分線的性質定理 ,即線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端 點的距離相等 . 5.(2022北京 ,16,3分 )下面是“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程 . 已知 :直線 l和 l外一點 P. ? 求作 :直線 l的垂線 ,使它經(jīng)過點 P. 作法 :如圖 , (1)在直線 l上任取兩點 A,B。A39。BD和 Rt△ O39。作 BA39。O39。 答案 B ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C. ∵ AD∥ BC, ∴∠ 1=∠ C=70176。,則 ∠ BAC的大小 為 ? ( ) ? 176。, ∴∠ EAD=90176。, 22∴∠ MQN=∠ PAC, ∴∠ MQN=∠ QAC, ∴ Rt△ QAC≌ Rt△ MQN, ∴ QC=MN,∴ PQ=2QC=2MN=? MB. 2解題關鍵 解決本題第 (2)問的關鍵是要通過添加輔助線構造全等三角形 ,從而找出邊與邊之 間的數(shù)量關系 . 9.(2022內蒙古呼和浩特 ,21,7分 )已知 ,如圖 ,△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ ECD=90176?！?PAB=45176。,P是線段 BC上一動點 (與點 B,C不重合 ), 連接 AP,延長 BC至點 Q,使得 CQ=CP,過點 Q作 QH⊥ AP于點 H,延長交 AB于點 M. (1)若 ∠ PAC=α,求 ∠ AMQ的大小 (用含 α的式子表示 )。,∠ A=30176。,AB=AC,BC=20, ∴ AB=AC=10? , ∵ DE是△ ABC的中位線 , ∴ DE∥ BC,DE=? BC=10,BD=CE=5? . ① 當 DN⊥ BC時 ,△ OMN為直角三角形 (如圖 ), 易知△ BDN為等腰直角三角形 , ∴ BN=DN=5, ∵ BM=3, ∴ MN=2, ∵ DE∥ BC, ∴ △ ODE∽ △ ONM, ∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 OD=? . 2122ODON DENM 5 ODOD? 102 256② 當 DN⊥ ME時 ,△ OMN為直角三角形 (如圖 ),過點 E作 EF⊥ BC,垂足為點 F. 易知△ CEF為等腰直角三角形 , ∴ EF=FC=5, ∵ BM=3,∴ MF=2035=12, 在 Rt△ MFE中 ,ME=? =? =13, ∵ DE∥ BC,∴∠ DEO=∠ EMF, ∵∠ DOE=∠ EFM=90176。C∽ △ DCA,然后利用相似比求出 AE. ? =? ,將 BM=? ,AD=? 代入 (*)可得 AE=. 綜上 ,AE=3或 . 222 ( 3)? 7 37775.(2022黑龍江哈爾濱 ,17,3分 )在等腰直角三角形 ABC中 ,∠ ACB=90176。A是直角時 ,如圖 2, 疑難突破 本題的難點是 ∠ FB39。39。C中 , 由 BB39。,延長 DE 交 BB39。B∽ △ AB39。D,∴ AC=AB39。C=90176。C、 AD、 BB39。E,∠ EB39。F為 直角三角形 ,則 AE的長為 . ? 3答案 3或 解析 易知 ∠ B39。,BC=1,∴ AB=2. ∵ 點 D,E分別是 BC,AC的中點 , ∴ DE=? AB=? 2=1. 12 124.(2022新疆烏魯木齊 ,15,4分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,∴ △ AB39。全等且均為等腰直角三角形 ,∵ AC=BC=3,∴ AB=3? ,∴ AB39。,AC=BC=3,則 B39。落在邊 AB上 ,連接 B39。B39。tan 60176。, ∵ DE∥ AB, ∴∠ EDF=∠ B=60176。. 5.(2022吉林 ,14,3分 )我們規(guī)定 :等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的 “特征值” ,記作 k=? ,則該等腰三角形的頂角為 度 . 12答案 36 解析 設等腰三角形的頂角為 x度 ,則一個底角的度數(shù)為 2x度 ,由 x+22x=180?x= 3 6度 . 思路分析 設出頂角度數(shù) ,根據(jù)“特征值”可知底角度數(shù) ,再由三角形內角和定理即可求得 . 6.(2022吉林 ,12,3分 )如圖 ,已知線段 AB,分別以點 A和點 B為圓心 ,大于 ? AB的長為半徑作弧 ,兩 弧相交于 C,D兩點 ,作直線 CD交 AB于點 CD上任取一點 F,連接 FA , FA =5,則 FB= . ? 12答案 5 解析 由題意可知 EF垂直平分 AB,所以 FB=FA =5. 7.(2022浙江紹興 ,13,5分 )由于木質的衣架沒有柔性 ,在掛置衣服的時候不太方便操作 .小敏設 計了一種衣架 ,在使用時能輕易收攏 ,然后套進衣服后松開即可 .如圖 1,衣架桿 OA=OB=18 cm. 若衣架收攏時 ,∠ AOB=60176。 解析 ∵ 等腰三角形的兩底角相等 ,∴ 180176。② 當 AB=BC時 ,以點 B為圓心 ,AB長 為半徑作圓 ,與坐標軸有兩個交點 ,均符合題意 。.因為 ∠ ADC=∠ B+∠ BAD,所以 ∠ BAD=∠ ADC∠ B=130176。,所以 ∠ ADC=1 80176。 176。,從而得出 ∠ MON=135176。,可得 AR=BR,∠ ARB=2∠ CRD=60176。,∠ CRD=? ∠ ARB=45176。. ∴∠ ARB=∠ ARO+∠ BRO=2∠ CRO+2∠ ORD=2∠ CRD=60176。 ② 如圖 3,若△ ARB∽ △ PEQ,求 ∠ MON的大小和 ? 的值 . ? ABPQ解析 (1)證明 :∵ 點 C,D,E分別是 OA,OB,AB的中點 , ∴ DE?? OC,CE?? OD.∴ 四邊形 ODEC為平行四邊形 . ∴∠ OCE=∠ ODE. 又 ∵ △ OAP,△ OBQ都是等腰直角三角形 , ∴∠ PCO=∠ QDO=90176。角所對直角邊等于斜邊的一半可得 ? =? ,又點 N是 CM的中點 ,可推出 ? =? ,從而可證 △ AFN∽ △ EFM,進一步即可證明 AN∥ EM。.② 由①②可知 AC=AM,又 N為 CM的中點 , ∴ AN⊥ CM,又 ∵ EM⊥ CF,∴ AN∥ EM.? (14分 ) 12思路分析 (1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證 。,① 又 ∠ CMD=∠ EMC∠ EMD=30176。. 證法一 :在 Rt△ EMF中 ,∠ EMF=90176。, ∴∠ EMF=180176。50176。 (2)若 ∠ BAC=50176。,∴∠ PAB+∠ ABP=90176。第四章 圖形的認識 167。,取 AB的中點 O,則 OP=? AB=3 為定值 ,所以 O,P,C三點共線時 CP的長最小 . 12答案 B ∵∠ PAB=∠ PBC,∠ PBC+∠ ABP=90176。.點 D為邊 AC上一點 ,DE⊥ AB于點 M為 BD的中點 ,CM的延長線交 AB于點 F. (1)求證 :CM=EM。,M為斜邊 BD的中點 , ∴ CM=? BD. 又 DE⊥ AB,同理 ,EM=? BD, ∴ CM=EM.? (4分 ) (2)由已知得 ,∠ CBA=90176。=80176。,DE=CM,AE=EM. 又 CM=DM=EM,∴ DM=DE=EM, ∴ △ DEM是等邊三角形 , ∴∠ MEF=∠ DEF∠ DEM=30176。, MFEF 1212 12 1212 12 12 12MFEF FNAF 1212∴∠ AMC=∠ EMC∠ EMA=75176。)=75176。,下面證 AN∥ EM有兩個思路 :一是根據(jù)直角三角 形 30176。,求證 :△ ABR為等邊三角形 。, ∴∠ CRD=30176。. 于是在四邊形 OCRD中 ,∠ OCR=∠ ODR=90176。(2)① 連接 OR,由 PR與 QR 分別為線段 OA與 OB的中垂線及 ∠ MON=150176。,進一步得出 ∠ CRD=45176。,則 ∠ BAD為 ? ( ) ? 176。 答案 B 因為直線 DE是 AC的垂直平分線 ,所以 AD=DC,所以 ∠ DAC=∠ C=25176。)=130176。,故選 B. 2.(2022湖北武漢 ,10,3分 )平面直角坐標系中 ,已知 A(2,2),B(4,0),若在坐標軸上取點 C,使△ ABC 為等腰三角形 ,則滿足條件的點 C的個數(shù)是 ? ( ) 答案 A 如圖 ,