【正文】 ∴ 頂角為 80176。,如圖 2,則此時(shí) A,B兩點(diǎn)間的距離是 cm. ? 答案 18 解析 連接 OA=OB=18 cm,收攏后的 ∠ AOB=60176。 (2)設(shè) BD與 CE相交于點(diǎn) O,點(diǎn) M,N分別為線段 BO和 CO的中點(diǎn) .當(dāng)△ ABC的重心到頂點(diǎn) A的距離 與底邊長(zhǎng)相等時(shí) ,判斷四邊形 DEMN的形狀 ,無(wú)需說(shuō)明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB,AC是等腰△ ABC的兩腰 , ∴ AB=AC, ∵ BD,CE是中線 , ∴ AD=? AC,AE=? AB, ∴ AD=AE, 又 ∵∠ A=∠ A, ∴ △ ABD≌ △ ACE, ∴ BD=CE. (2)四邊形 DEMN為正方形 . 提示 :由 MN、 DE分別是△ OBC、△ ABC的中位線可得四邊形 DEMN是平行四邊形 ,由 (1)知 BD =CE,故可證 OE=OD,從而四邊形 DEMN是矩形 ,再由△ ABC的重心到頂點(diǎn) A的距離與底邊長(zhǎng)相 等可知四邊形 DEMN為正方形 . 12 129.(2022寧夏 ,21,6分 )在等邊△ ABC中 ,點(diǎn) D,E分別在邊 BC,AC上 ,若 CD=2,過(guò)點(diǎn) D作 DE∥ AB,過(guò)點(diǎn) E作 EF⊥ DE,交 BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) EF的長(zhǎng) . ? 解析 ∵ △ ABC為等邊三角形 , ∴∠ A=∠ B=∠ ACB=60176。,∠ DEC=∠ A=60176。, 在 Rt△ DEF中 ,EF=DE=2? .? (6分 ) 31.(2022湖北黃岡 ,5,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。DB=28=16,所以 CD=4,故選 C. 2.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,將兩個(gè)大小、形狀完全相同的△ ABC和△ A39。C39。與 點(diǎn) A重合 ,點(diǎn) C39。 ∠ ACB=∠ AC39。=90176。C的長(zhǎng)為 ? ( ) ? ? ? D.? 3 2 21答案 A 由題意得△ ABC與△ A39。C39。=3? ,在△ AB39。=90176。C是直角三角形 ,∴ B39。,BC=1,點(diǎn) D,E分別是直角邊 BC,AC的中點(diǎn) , 則 DE的長(zhǎng)為 ? ( ) ? C.? +? 3 3答案 A 在 Rt△ ABC中 ,∵∠ A=30176。,BC=2? ,AC=2,點(diǎn) D是 BC的中點(diǎn) ,點(diǎn) E是邊 AB上一動(dòng)點(diǎn) ,沿 DE所在直線把△ BDE翻折到△ B39。D交 AB于點(diǎn) △ AB39。AF不可能為直角 . 當(dāng) ∠ B39。E,∴ BE=B39。F=∠ ABD=30176。= 2EF,∴ BE=? BF=1,∴ AE=41=3. BFBC BDBA 3 33433223? 圖 2 連接 B39。,由翻折可知△ DBE≌ △ DB39。D=BD=? BC=CD,∴∠ BB39。,∵∠ FB39。,∴ Rt△ ACD≌ Rt△ AB39。,又易證 ∠ DB39。A,∴ △ DB39。 C,∴ ? =? =? ,又 ? =? ,故可證△ BB39。BC,∴ AD∥ BB39。于 M,可得 ? =? =? (*),易知 DM垂直平分 BB39。,在直角三角形 BB39。2+B39。=? ,∴ BM=? .在直角三角形 DCA中 ,DA= 1239。BBBCBDCA 32 DCCA 32ADBM AEBE 4 AEAE? 1239。BBBC32 677 377當(dāng) ∠ FB39。A為直角時(shí)如何求 AE,突破方法是作出輔助線 B39。, 并根據(jù)翻折證明△ BB39。,AC=3,點(diǎn) P為邊 BC的三等 分點(diǎn) ,連接 AP,則 AP的長(zhǎng)為 . 答案 ? 或 ? 10 13解析 當(dāng) CP=1時(shí) ,根據(jù)勾股定理得 AP=? =? 。,AB=AC,BC=20,DE是△ ABC的中位線 .點(diǎn) M是邊 BC上一點(diǎn) ,BM=3,點(diǎn) N是線段 MC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,連接 DN,ME,DN與 ME相交于點(diǎn) △ OMN是直角三角形 ,則 DO的長(zhǎng)是 . ? 答案 ? 或 ? 256 5013解析 ∵∠ A=90176。, ∴ △ ODE∽ △ FEM, ∴ ? =? ,即 ? =? , 22EF MF? 225 12?ODFE DEEM 5OD1013解得 OD=? . 綜上所述 ,DO的長(zhǎng)是 ? 或 ? . 5013256 5013評(píng)析 對(duì)于幾何探究型問(wèn)題 ,分類討論思想是重點(diǎn)考查內(nèi)容 .本題中 ,要對(duì)△ OMN分兩種情況 進(jìn)行討論 ,一是 ∠ ONM為直角時(shí) ,二是 ∠ MON為直角時(shí) . 7.(2022山東聊城 ,15,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ C=90176。,BD是 ∠ ABC的平分線 .若 AB=6,則 點(diǎn) D到 AB的距離是 . ? 答案 ? 3解析 ∵∠ C=90176。,AB=6, ∴∠ ABC=60176。,點(diǎn) D到 AB的距離等于 DC, 在 Rt△ BDC中 ,DC=tan∠ DBCBC=? 3=? , ∴ 點(diǎn) D到 AB的距離等于 ? . 1233338.(2022北京 ,28,7分 )在等腰直角△ ABC中 ,∠ ACB=90176。 (2)用等式表示線段 MB與 PQ之間的數(shù)量關(guān)系 ,并證明 . ? 解析 (1)∵ △ ACB是等腰直角三角形 , ∴∠ CAB=45176。α. ∵ QH⊥ AP,∴∠ AMQ=90176。+α. (2)線段 MB與 PQ之間的數(shù)量關(guān)系為 PQ=? MB. 證明 :連接 AQ,過(guò)點(diǎn) M作 MN⊥ BQ于點(diǎn) N,如圖 . ? 則△ MNB為等腰直角三角形 ,MB=? MN. ∵ AC⊥ BQ,CQ=CP,∴ AP=AQ,∠ QAC=∠ PAC. ∴∠ QAM=∠ BAC+∠ QAC=45176。+∠ PAC=∠ AMQ, ∴ QA=QM. ∵∠ MQN+∠ APQ=∠ PAC+∠ APQ=90176。,D為 AB邊上一點(diǎn) . (1)求證 :△ ACE≌ △ BCD。, ∴∠ ECD∠ ACD=∠ ACB∠ ACD, 即 ∠ ECA=∠ DCB.? (1分 ) 在△ ACE與△ BCD中 ,? ? (3分 ) ∴ △ ACE≌ △ BCD.? (4分 ) (2)∵ △ ACE≌ △ BCD, ∴ AE=BD.? (5分 ) ∵∠ EAC=∠ BAC=45176。. 在 Rt△ EAD中 ,ED2=AD2+AE2, ∴ ED2=AD2+BD2.? (6分 ) 又 ED2=EC2+CD2=2CD2, ,E C D CA C E B C DA C B C???? ? ??? ??∴ 2CD2=AD2+DB2.? (7分 ) 考點(diǎn)一 等腰三角形 C組 教師專用題組 1.(2022河北 ,16,2分 )如圖 ,∠ AOB=120176。,則△ PMN為等邊三角形 ,因?yàn)闈M足 CM=DN的 M,N有無(wú)數(shù)個(gè) ,所以滿足題意的三角形 有無(wú)數(shù)個(gè) . ? 2.(2022吉林長(zhǎng)春 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,過(guò)點(diǎn) A作 AD∥ ∠ 1=70176。 176。 176。. ∴∠ B=70176。.故選 B. 3.(2022江蘇蘇州 ,10,3分 )如圖 ,△ AOB為等腰三角形 ,頂點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (2,? ),底邊 OB在 x軸上 .將 △ AOB繞點(diǎn) B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后得△ A39。B,點(diǎn) A的對(duì)應(yīng)點(diǎn) A39。的坐標(biāo) 為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 52 0 1 0,33??????1 6 4 5,33??????2 0 4 5,33??????16, 4 33??????答案 C 過(guò) A作 OB邊的垂線 AC,垂足為 C,過(guò) O39。邊的垂線 O39。=BO= Rt △ O39。A39。B2BD2=O39。2A39。D=? ,又 OD=4+? =? ,故 O39。 (2)分別以點(diǎn) A,B為圓心 ,AP,BP長(zhǎng)為半徑作弧 ,兩弧相交于點(diǎn) Q。全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 。兩點(diǎn)確定一條直線 6.(2022江西南昌 ,14,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=BC=4,AO=BO,P是射線 CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,∠ AOC=60176。,因?yàn)?OA=OB=2, 所以 OP=OA=2, 又因?yàn)?∠ AOC=60176。,因?yàn)?OA=OB=2, 所以 OP=OA=OB=2, 又 ∠ AOC=∠ BOP=60176。, 所以 ∠ OAP=30176。cos∠ OAP=4? =2? . 如圖③ ,∠ ABP=90176。, 所以 BP=OB=2? . 3233在 Rt△ ABP中 ,AP=? =? =? =2? . 綜上所述 ,AP的長(zhǎng)為 2或 2? 或 2? . ? 22AB BP? 224 (2 3)? 28 73 7評(píng)析 本題是以等腰三角形中的動(dòng)點(diǎn)為背景的分類討論型問(wèn)題 ,考查了含特殊角的直角三角 形的邊角關(guān)系、勾股定理等知識(shí) ,本題易漏掉某種情況 ,屬易錯(cuò)題 . 7.(2022江蘇揚(yáng)州 ,10,3分 )若等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為 7 cm和 14 cm,則它的周長(zhǎng)為 cm. 答案 35 解析 等腰三角形的兩腰相等 ,若第三邊長(zhǎng)為 7 cm,則 7+7=14 cm,不能構(gòu)成三角形 。② 作直線 MN交 AB于點(diǎn) D,連接 CD=AC,∠ B=25176。 解析 由題意知 MN垂直平分 BC,∴ CD=BD,又 CD=AC,∴ AC=CD=BD,∴∠ DCB=∠ B=25176。,∴∠ ACB=180176。. 10.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,13,3分 )等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 36176。或 27176。36176。, 此時(shí) ,底角 =(180176。)247。 ? ② 若三角形是鈍角三角形 ,則 ∠ BAC=36176。=126176。126176。2=27176?；?27176。,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,∠ ACE=? ∠ BAC,CE交 AB于點(diǎn) E,交 AD于點(diǎn) F,若 BC=2,則 EF的長(zhǎng)為 . ? 12答案 ? 1 3解析 在 DF上取點(diǎn) G,使 DG=DC,連接 CG. ? ∵ AB=AC,AD為 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ CAD=∠ BAD=? ∠ BAC=15176。. ∵∠ ACE=? ∠ BAC,∴∠ ACE=∠ CAD,∴ AF=CF. ∵∠ ACE=? ∠ BAC=15176。, ∠ ACB=? =75176。15176。=15176。15176。,∴ DF=? DC=? . 又 ∵ DG=DC=1,∴ EF=FG=DFDG=? 1. 123 3312.(2022北京 ,20,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,BE⊥ AC于點(diǎn) E. 求證 :∠ CBE=∠ BAD. ? 證明 ∵ AB=AC,AD是 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ BAD=∠ CAD. ∵ BE⊥ AC, ∴∠ BEC=∠ ADC=90176。∠ C,∠ CAD=90176。PE=PF。,點(diǎn) P在邊 OA上 ,OP=12,點(diǎn) M、 N在邊 OB上 ,PM= PN,若 MN=2,則 OM=? ( ) ? 答案 C 如圖 ,過(guò)點(diǎn) P作 PH⊥ MN,因?yàn)?PM=PN,MN=2,所以 MH=? MN=1,在 Rt△ POH中 ,OP=1 2,∠ POH=60176。,則 BD的長(zhǎng)為 . ? 答案 ? 41解析 作 AD39。=AD,連接 CD39。,如圖 . 由已知條件可得 ∠ BAC+∠ CAD=∠ DAD39。. 在△ BAD與△ CAD39。(SAS), ∴ BD=CD39。=90176。=? = ? =4? ,易知 ∠ D39。,由勾股定理得 CD39。=? . ? ,39。,B A C AB A D C A DA D A D???? ? ?????22( 39。)DC DD? 9 32? 4141評(píng)析 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì) ,屬難題 . 5.(2022北京 ,23,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=90176。 (2)若 ∠ BAD=60176。,M為 AC的中點(diǎn) , ∴ BM=? AC. ∵ N為 CD的中點(diǎn) , ∴ MN=? AD. ∵ AC=AD,∴ BM=MN. (2)∵∠ BAD=60176。. 由 BM=AM,可得 ∠ BMC=2∠ BAC=60176。. ∴∠ BMN=∠ BMC+∠ CMN=90176。,∠ ACB=90176。,∠ DCE=90176。,繼續(xù)用同樣的方法作 Rt△ HIC,∠ HCI=90176。,∠ ACB=90176。.? (1分 ) ∵ CD⊥ AB, ∴∠ ADC=90176。.? (2分 ) ∵ AC=a, ∴ Rt△