【正文】 15176。. ? 綜上 ,底角為 75176?；?15176。. 12125.(2022清遠三模 ,14)如圖 ,在△ ABC中 ,BC=5 cm,BP、 CP分別是 ∠ ABC和 ∠ ACB的平分線 ,且 PD∥ AB,PE∥ AC,則△ PDE的周長是 cm. ? 答案 5 解析 ∵ PD∥ AB,∴∠ ABP=∠ DPB, ∵ BP平分 ∠ ABC,∴∠ ABP=∠ DBP, ∴∠ DBP=∠ DPB,∴ BD= ,PE=CE,∴ △ PDE的周長等于 BC=5 cm. 6.(2022揭陽二模 ,13)如圖 ,在△ ABC中 ,點 D是 BC上一點 ,∠ BAD=80176。,AB=AD=DC,則 ∠ C= . ? 答案 25176。 解析 ∵ AB=AD,∴∠ B=∠ ADB, ∵∠ BAD=80176。,∴∠ ADB=50176。. ∵ AD=CD,∴∠ DAC=∠ C, ∵∠ ADB=∠ DAC+∠ C,∴∠ C=25176。. 7.(2022廣州天河 ,24)如圖 1,正方形 ABCD的邊 AB、 AD分別在等腰直角△ AEF的腰 AE、 AF上 , 點 C在△ AEF內 ,則有 DF=BE(不必證明 ).將正方形 ABCD繞點 A逆時針旋轉一定角度 α(0176。α90176。) 后 ,連接 BE、 DF,如圖 2,這時 DF=BE還成立嗎 ?請說明理由 . ? 解析 DF=BE成立 . 理由 :∵ 四邊形 ABCD是正方形 ,△ AEF是等腰直角三角形 , ∴ AD=AB,AF=AE,∠ FAE=∠ DAB=90176。. ∴∠ FAD=∠ EAB. 在△ ADF和△ ABE中 ,? ∴ △ ADF≌ △ ABE(SAS),∴ DF=BE. ,A D A BF A D E A BA F A E???? ? ??? ??8.(2022中山二模 ,22)已知 :如圖 ,在△ ABC中 ,AD⊥ BC,垂足為點 D,BE⊥ AC,垂足為點 E,M為 AB 邊的中點 ,連接 ME、 MD、 ED. (1)求證 :△ MED為等腰三角形 。 (2)求證 :∠ EMD=2∠ DAC. ? 證明 (1)∵ AD⊥ BC,∴ △ ADB為直角三角形 , ∵ M為 AB的中點 ,∴ MD=? AB, 同理 ,ME=? AB,∴ MD=ME, ∴ △ MED為等腰三角形 . (2)∵ M為 AB的中點 ,∴ MA=? AB, ∵ MD=? AB, ∴ MA=MD, ∴∠ BMD=2∠ MAD, 同理 ,∠ BMD+∠ EDM=2(∠ MAD+∠ DAC), ∴∠ EMD=2∠ DAC. 1212 1212考點二 直角三角形 1.(2022珠海模擬 ,7)如果將長為 6 cm,寬為 5 cm的長方形紙片折疊一次 ,那么這條折痕的長不可 能是 ? ( ) cm ? cm cm cm 2答案 A 長方形的對角線長為 ? =? cm8 cm,而折痕的長小于對角線的長 ,∴ 折痕 不可能是 8 cm,故選 A. 2265?612.(2022汕頭模擬 ,7)如圖 ,△ ABC的頂點 A、 B、 C在邊長為 1的正方形網格的格點上 ,BD⊥ AC于 點 D,則 CD的長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 25335455答案 C AC=? =? ,S△ ABC=? 22=2, ∵ BD⊥ AC,∴ S△ ABC=? ACBD, ∴ ? BD=2,∴ BD=? ,∵ CD2+BD2=BC2, ∴ CD2+? =4,∴ CD=? ,故選 C. 2221?51212524551652553.(2022湛江三模 ,5)以下各組數據為三角形的三邊長 ,能構成直角三角形的是 ? ( ) cm,6 cm,7 cm cm,3 cm,4 cm cm,2 cm,1 cm cm,12 cm,13 cm 答案 D ∵ 52+62=61≠ 72,22+32=13≠ 42,22+12=5≠ 22, 52+122=169=132,∴ 能構成直角三角形的是 D,故選 D. 4.(2022東莞五校一模 ,16)如圖 ,把正方形紙片 ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開 ,折痕為 MN,再過點 B折疊紙片 ,使點 A落在 MN上的點 F處 ,折痕為 AB的長為 2,則 FM的長為 . ? 答案 ? 3解析 由翻折的性質可知 ,BM=MC=1,AB=BF=2. 在 Rt△ BFM中 ,由勾股定理可知 ,MF=? =? . 22BF MB?35.(2022韶關二模 ,13)若 a,b,c表示△ ABC的三邊 ,且滿足 ? +|a12|+(b13)2=0,則此三角形的形 狀為 . 5c?答案 直角三角形 解析 ∵ ? ≥ 0,|a12|≥ 0,(b13)2≥ 0, 且 ? +|a12|+(b13)2=0, ∴ ? =0,|a12|=0,(b13)2=0, ∴ c=5,a=12,b=13. ∵ a2+c2=b2,∴ 此三角形為直角三角形 . 5c?c 5?6.(2022珠海一模 ,22)如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,M是斜邊 AB的中點 ,AM=AN,∠ N+∠ CAN= 180176。.求證 :MN=AC. ? 證明 ∵∠ ACB=90176。,M是斜邊 AB的中點 , ∴ CM=AM,∴∠ MCA=∠ MAC, ∵ AM=AN,∴∠ AMN=∠ ANM, ∵∠ N+∠ CAN=180176。,∴ AC∥ MN, ∴∠ AMN=∠ MAC,∴∠ AMC=∠ NAM, ∴ AN∥ MC,又 AC∥ MN, ∴ 四邊形 ACMN是平行四邊形 , ∴ MN=AC. 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 15分 ) B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時間 :30分鐘 分值 :40分 ) 1.(2022韶關模擬 ,9)如圖 ,△ DAC和△ EBC均是等邊三角形 ,AE與 CD交于點 M,BD與 CE交于點 N,有如下結論 :①△ ACE≌ △ DCB。② CM=CN。③ AC= ,正確結論的個數是 ? ( ) ? 答案 B ∵ △ DAC和△ EBC均是等邊三角形 , ∴∠ ACD=∠ BCE=60176。,AC=DC,BC=EC, ∴∠ ACE=∠ DCB,∴ △ ACE≌ △ DCB. 由△ ACE≌ △ DCB得 ∠ CAM=∠ CDN, 又 AC=DC,∠ ACM=∠ DCE=60176。, ∴ △ ACM≌ △ DCN,∴ CM=CN,AM=DN, ∵∠ MAC60176。,∴∠ AMC60176。,∴ ACAM,∴ AC≠ DN, 綜上 ,正確結論的個數是 B. 2.(2022汕尾二模 ,10)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ B=∠ C=36176。,AB的垂直平分線交 BC于點 D,交 AB于點 H, AC的垂直平分線交 BC于點 E,交 AC于點 G,連接 AD, ? ( ) ? A.? =? ,AE將 ∠ BAC三等分 C.△ ABE≌ △ ACD △ ADH=S△ CEG BDBC512?答案 A ∵∠ B=∠ C=36176。,∴ AB=AC,∠ BAC=108176。, ∵ DH垂直平分 AB,EG垂直平分 AC,∴ DB=DA,EA=EC, ∴∠ B=∠ DAB=∠ C=∠ CAE=36176。, ∴ △ BDA∽ △ BAC,∴ ? =? . ∵∠ ADC=∠ B+∠ BAD=72176。,∠ DAC=∠ BAC∠ BAD=72176。, ∴∠ ADC=∠ DAC,∴ CD=CA=BA,∴ BD=BCCD=BCBA, 則 ? =? =? ,易求得 ? =? =? ,故 A錯誤 。 ∵∠ BAC=108176。,∠ DAB=∠ CAE=36176。, ∴∠ DAE=∠ BAC∠ DAB∠ CAE=36176。, ∴∠ DAB=∠ DAE=∠ CAE=36176。, ∴ AD,AE將 ∠ BAC三等分 ,故 B正確 。 ∵∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=72176。, ∠ CAD=∠ CAE+∠ DAE=72176。, ∴∠ BAE=∠ CAD,又 ∠ B=∠ C,AB=AC,∴ △ ABE≌ △ ACD,故 C正確 。 BDBAC BABA?512?由△ ABE≌ △ ACD,可得 S△ ABE=S△ ACD, 即 S△ BAD+S△ ADE=S△ CAE+S△ ADE, ∴ S△ BAD=S△ CAE,又 ∵ DH垂直平分 AB,EG垂直平分 AC, ∴ S△ ADH=? S△ BAD,S△ CEG=? S△ CAE. ∴ S△ ADH=S△ CEG,故 D正確 .故選 A. 12 123.(2022陸豐二模 ,9)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ C=90176。,AC=2,點 D在 BC上 ,∠ ADC=2∠ B,AD=? ,則 BC 的長為 ? ( ) ? A.? 1 B.? +1 C.? 1 D.? +1 53355答案 D ∵∠ C=90176。,AC=2,AD=? ,∴ DC=1,∵∠ ADC=2∠ B,∠ ADC=∠ B+∠ BAD,∴∠ B= ∠ BAD,∴ BD=AD=? , ∴ BC=BD+DC=? +1,故選 D. 555思路分析 由勾股定理可得 DC的長 ,易證 BD=AD=? ,從而可知 BC的長 . 54.(2022茂名二模 ,9)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=30176。,DE垂直平分 AC,則 ∠ BCD的度數為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 D ∵ DE垂直平分 AC,∴ AD=CD,∴∠ DCE=∠ A=30176。,∵ AB=AC,∴∠ ACB=∠ B=? (180176。 30176。)=75176。, ∴∠ BCD=75176。30176。=45176。,故選 D. 125.(2022湛江二模 ,10)如圖 ,從等邊△ ABC內一點 P向三邊作垂線 ,PQ=6,PR=8,PS=10,則△ ABC的 面積是 ? ( ) ? ? ? ? ? 3 3 3 3答案 B 連接 AP、 BP、 CP,則 S△ ABC=S△ APB+S△ BPC+S△ APC=? ABPQ+? BCPS+? ACPR,∵ AB=BC =AC, ∴ S△ ABC=? BC(PQ+PS+PR)=12BC, 設△ ABC的高為 x,則 ? BCx=12BC,∴ x=24, ∵ ABsin B=x,∴ AB=24247。sin 60176。=16? , ∴ BC=16? ,∴ S△ ABC=1216? =192? ,故選 B. 12 12 1212 12 33 33思路分析 利用三角形的面積相等 ,求出△ ABC的高 ,然后求△ ABC的邊長 ,進而求出△ ABC的 面積 . 解題關鍵 求出△ ABC的邊長和高 . 二、填空題 (每小題 4分 ,共 18分 ) 6.(2022湛江模擬 ,15)如圖 1,分別以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形 ,面積分別為 S S S3。如圖 2,分別以直角三角形的三個頂點為圓心 ,三邊長為半徑向外作圓心角都相等的扇 形 ,面積分別為 S S S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,則 S3+S4= . ? 答案 54 解析 設面積為 S S S3的三個等邊三角形的邊長分別為 a a a3,面積為 S S S6的扇 形的半徑分別為 r r r6,每個扇形的圓心角為 x176。. ∵ S1=? ? ,S2=? ? ,S3=? ? ,且 ? +? =? , ∴ S1+S3=S2,∴ S3=S2S1=4516=29, ∵ S4=? π? ,S5=? π? ,S6=? π? ,且 ? +? =? , ∴ S5+S6=S4, ∴ S4=S5+S6=11+14=25, ∴ S3+S4=29+25=54. 3421a3422a3423a 21a 23a 22a360x24rx25r 360x26r 25r 26r 24r7.(2022佛山二模 ,15)如圖 ,∠ A=15176。,∠ C=90176。,DE垂直平分 AB交 AC于 E,若 BC=4 cm,則 AC= . ? 答案 (8+4? )cm 3解析 ∵ DE垂直平分 AB,交 AC于 E,∴ AE=BE, ∴∠ EBD=∠ A=15176。,∴∠ BEC=30176。,∵∠ C=90176。, ∴ BE=2BC=8 cm,EC=? =4247。? =4? cm, ∴ AC=AE+EC=(8+4? )cm. tan 3 0BC?3333審題技巧 由 ∠ A=15176。,∠ C=90176。,聯想到含 30176。角的直角三角形 . 三、解答題 (共 17分 ) 8.(2022陽江江城模擬 ,25)已知 :把 Rt△ ABC和 Rt△ DEF按如圖 1擺放 (點 C與點 E重合 ),點 B,C(E), F在同一條直線上 ,∠ ACB=∠ EDF=90176。,∠ DEF=45176。,AC=8 cm,BC=6 cm,EF=9