【正文】 +2=3+? , ∴ T=3(3+? )+1=3? +10. 121 33c o sAEA3 321233334.(2022廣東 ,21,7分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,∠ B=30176。,AC=2? . (1)利用尺規(guī)作線段 AC的垂直平分線 DE,垂足為 E,交 AB于點 D。,OA=1,以 OA1為直角邊作等腰 Rt△ OA1A2,以 OA2為直角邊作等腰 Rt△ OA2A3,…… ,則 OA6的長度為 . ? 答案 8 解析 ∵ 等腰直角三角形的斜邊是直角邊的 ? 倍 , ∴ OA1=? OA=(? )1,OA2=? OA1=(? )2, OA3=? OA2=(? )3,…… ,∴ OA6=(? )6=8. 22 222 23.(2022廣州 ,20,10分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ B=90176。,AD平分 ∠ CAB,AC=6,BC=8,CD= . 答案 3 解析 ∵∠ C=90176。. ∵∠ AEC=∠ EAB+∠ B, ∴∠ AEC=100176。,求 ∠ AEC的度數(shù) . ? 解析 (1)如圖所示 ,直線 ED即為所求 . ? (2)∵ 直線 ED是線段 AB的垂直平分線 , ∴ AE=BE,∴∠ EAB=∠ B. ∵∠ B=50176。 的長 . 方法總結(jié) 合理作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵 ,條件 AD=AB+CD是解決問題的突破口 ,綜合運 用三角形全等及等腰三角形的判定 ,再結(jié)合等腰三角形的三線合一就可證得 AE⊥ 值問題是又一難題 ,找到 M、 N兩點的位置使 BM+MN的值最小 ,可以利用軸對稱及垂線段最短 來解決這一問題 . 7.(2022廣東 ,20,7分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ A∠ B. (1)作邊 AB的垂直平分線 DE,與 AB、 BC分別相交于點 D、 E(用尺規(guī)作圖 ,保留作圖痕跡 ,不要求 寫作法 )。②利 用軸對稱轉(zhuǎn)化 BM+MN,再利用垂線段最短分析得出 BN39。4246823 3? 思路分析 (1)利用基本作圖“作已知角的平分線” ,按照題目的作圖要求作圖 。=? ,∴ BM+MN的最小值為 ? . ,D E C F E BC D E FC D B F? ? ???? ? ????? 22AD AH?32239。,∴ △ DAH∽ △ BAN39。A=90176。⊥ AD時 ,BM+MN39。在 AD上 .∴ 當點 B,M,N39。. ∴ BM+MN=BM+MN39。,連接 MN39。,∴∠ ABC+∠ C=180176。 (2)在 (1)的條件下 , ①證明 :AE⊥ DE。. 解題反思 本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖 ,菱形的性質(zhì) ,等腰三角形的性質(zhì)及三角形 內(nèi)角和定理的綜合運用 . 6.(2022廣州 ,23,12分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ B=∠ C=90176。30176。, 由 (1)知 EF是線段 AB的垂直平分線 , ∴∠ FBA=∠ A=30176。(不要求寫作法 ,保留作圖痕跡 ) (2)在 (1)的條件下 ,連接 BF,求 ∠ DBF的度數(shù) . ? 解析 (1)如圖所示 ,直線 EF即為所求 . ? (2)∵ BD是菱形 ABCD的對角線 , ∴∠ ABD=∠ CBD=75176。,連接 AC, ∴ △ ABC為等邊三角形 , ∴ AC=AB=BC=? .故選 A. ? 212 AC1 22 ?25.(2022廣東 ,19,6分 )如圖 ,BD是菱形 ABCD的對角線 ,∠ CBD=75176。時 ,如圖 2,AC=? ( ) ? A.? C.? ? 2 62答案 A 如圖 1,∵ AB=BC=CD=DA,∠ B=90176。當 2是腰長 ,6是底邊長時 ,2+26,不能構(gòu)成三角形 , ∴ △ ABC的周長是 14,故選 B. 思路分析 先利用方程的根 x=2求 m的值 ,再解方程求另一根 ,最后分類討論求三角形的周長 . 易錯警示 不考慮三角形的三邊關(guān)系 ,錯選 C. 3.(2022廣東 ,9,3分 )一個等腰三角形的兩邊長分別為 3和 7,則它的周長為 ? ( ) 17 答案 A ∵ 三角形為等腰三角形 ,且三角形任意兩邊之和大于第三邊 ,∴ 三角形的三邊長分 別為 3,7,7,∴ 周長為 A. 4.(2022廣州 ,8,3分 )將四根長度相等的細木條首尾相接 ,用釘子釘成四邊形 ABCD,轉(zhuǎn)動這個四 邊形 ,使它形狀改變 ,當 ∠ B=90176。, ∴∠ BCM=50176。 176。 176。第四章 圖形的認識 等腰三角形與直角三角形 中考數(shù)學(xué) (廣東專用 ) 考點一 等腰三角形 A組 20222022年 廣 東中考題組 五年中考 1.(2022深圳 ,8,3分 )如圖 ,已知線段 AB,分別以 A,B為圓心 ,大于 ? AB為半徑作弧 ,連接弧的交點得 到直線 l,在直線 l上取一點 C,使得 ∠ CAB=25176。,延長 AC至 M,則 ∠ BCM的度數(shù)為 ( ) ? 176。 176。 12答案 B 由作法知直線 l是線段 AB的垂直平分線 ,C在 l上 ,∴ AC=BC,∴∠ B=∠ CAB=25176。,故選 B. 2.(2022廣州 ,10,3分 )已知 2是關(guān)于 x的方程 x22mx+3m=0的一個根 ,并且這個方程的兩個根恰好 是等腰三角形 ABC的兩條邊長 ,則三角形 ABC的周長為 ? ( ) 14 10 答案 B 把 x=2代入方程得 m=4,解方程 x28x+12=0得 x1=2,x2= 6是腰長 ,2是底邊長時 ,周長 是 6+6+2=14。時 ,如圖 1,測得 AC=2,當 ∠ B=60176。,∴ 四邊形 ABCD是正方形 , 連接 AC,則 AB2+BC2=AC2, ∴ AB=BC=? =? =? . 如圖 2,∠ B=60176。. (1)請用尺規(guī)作圖法 ,作 AB的垂直平分線 EF,垂足為 E,交 AD于 F。,∴∠ A=30176。, ∴∠ DBF=∠ DBA∠ FBA=75176。=45176。,ABCD,AD=AB+CD. (1)利用尺規(guī)作 ∠ ADC的平分線 DE,交 BC于點 E,連接 AE(保留作圖痕跡 ,不寫作法 )。 ②若 CD=2,AB=4,點 M,N分別是 AE,AB上的動點 ,求 BM+MN的最小值 . ? 解析 (1)如圖所示 . ? (2)①證明 :如圖 ,延長 DE、 AB相交于點 F. ? ∵∠ ABC=∠ C=90176。.∴ AB∥ CD.∴∠ CDE=∠ F.∵ DE平分 ∠ ADC, ∴∠ ADE=∠ CDE.∴∠ ADE=∠ F.∴ AD=AF=AB+ AD=AB+CD,∴ AB+BF=AB+CD. ∴ BF=CD. 在△ CED和△ BEF中 , ∴ △ CED≌ △ BEF.∴ DE= AD=AF,∴ AE⊥ DE. ②如圖 ,作 DH⊥ AB于 H,作點 N關(guān)于 AE的對稱點 N39。,BM,則 MN=MN39。.由①可得 AD=AF,DE=EF, ∴ AE平分 ∠ DAB. ∴ 點 N39。共線且 BN39。有最小值 ,即 BM+MN有最小值 . 在 Rt△ ADH中 ,AD=AB+CD=6,AH=ABBH=2,由勾股定理可得 ,DH=? =? =4? . ∵∠ DHA=∠ BN39。,∠ DAH=∠ BAN39。. ∴ ? =? . ∴ ? =? .∴ BN39。 39。 (2)①延長 DE、 AB相交于點 F,由“角平分線、平行線”可以得出“等腰三角形 ADF” ,再結(jié) 合“ AD=AB+CD” ,利用全等證得 DE=EF,然后由“等腰三角形三線合一”證得 AE⊥ DE。的長即為所求 ,利用相似三角形求出 BN39。 (2)在 (1)的條件下 ,連接 AE,若 ∠ B=50176。,∴∠ EAB=50176。. ? 考點二 直角三角形 1.(2022深圳 ,14,3分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,AC=6,BC=8, ∴ AB=? =10. ∴ 過 D點作 DE⊥ AB,則 DE=CD,AC=AE,在 Rt△ DEB中 ,設(shè) DE=x,則 BD=8x,BE=ABAE=4, ? 由勾股定理得 (8x)2=x2+42,解得 x=3,即 CD=3. 2268?2.(2022珠海 ,10,3分 )如圖 ,在等腰 Rt△ OAA1中 ,∠ OAA1=90176。,∠ A=30176。(保留作圖痕跡 ,不寫作法 ) (2)若△ ADE的周長為 a,先化簡 T=(a+1)2a(a1),再求 T的值 . ? 3解析 (1)如圖 . ? (2)T=(a+1)2a(a1)=a2+2a+1a2+a=3a+1, AE=? AC=? 2? =? , AD=? =? 247。,∠ ACB=90176。,∠ DCE=90176。,繼續(xù)用同樣的方法作 Rt△ HIC,∠ HCI=90176。,∠ ACB=90176。.? (1分 ) ∵ CD⊥ AB,∴∠ ADC=90176。.? (2分 ) ∵ AC=a, ∴ Rt△ ADC中 ,AD=? AC=? , CD=? AD=? a.? (4分 ) 同理可得 ,Rt△ DFC中 ,DF=? CD=? a, CF=? DF=? a.? (5分 ) Rt△ FHC中 ,FH=? CF=? a, CH=? FH=? a,? (6分 ) Rt△ CHI中 ,CI=? CH=? a.? (7分 ) 122a3 32123433412383338398評析 本題考查直角三角形的基本性質(zhì)與運算 . 5.(2022珠海 ,15,6分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。 (2)連接 AP,當 ∠ B為 度時 ,AP平分 ∠ CAB. 解析 (1) ? (2)30. 6.(2022梅州 ,15,3分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,將△ ABO繞點 A順時針旋轉(zhuǎn)到△ AB1C1的位置 , 點 B、 O分別落在點 B C1處 ,點 B1在 x軸上 ,再將△ AB1C1繞點 B1順時針旋轉(zhuǎn)到△ A1B1C2的位置 , 點 C2在 x軸上 ,將△ A1B1C2繞點 C2順時針旋轉(zhuǎn)到△ A2B2C2的位置 ,點 A2在 x軸上 ,依次進行下去 . 若點 A? ,B(0,2),則點 B2 016的坐標為 . ? 3 ,02??????答案 (6 048,2) 解析 ∵ AO=? ,BO=2, ∴ AB=? =? , ∴ OA+AB1+B1C2=6, ∴ B2的橫坐標為 6,且 B2C2=2, ∴ B4的橫坐標為 26=12, ∴ 點 B2 016的橫坐標為 2 016247。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 答案 A ∵ AB=AD,∴∠ ADB=∠ B=70176。.故選 A. 124.(2022四川成都 ,11,4分 )等腰三角形的一個底角為 50176。 解析 ∵ 等腰三角形的兩底角相等 ,∴ 180176。2=80176。. 5.(2022福建龍巖 ,16,3分 )我們把平面內(nèi)與四邊形各邊端點構(gòu)成的三角形都是等腰三角形的點 叫做這個四邊形的腰點 (如矩形的對角線交點是矩形的一個腰點 ),則正方形的腰點共有 個 . 答案 9 解析 如圖 ,(1)連接兩條對角線 ,對角線的交點是正方形的一個腰點 。,則該等腰三角 形的底角的度數(shù)為 . 答案 63176。 解析 在三角形 ABC中 ,設(shè) AB=AC,BD⊥ AC于 D. ①若三角形是銳角三角形 ,則 ∠ A=90176。=54176。54176。2=63176。+90176。, 此時 ,底角 =(180176。)247。. 綜上 ,該等腰三角形底角的度數(shù)是 63176。. ? 7.(2022北京 ,19,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=36176。, ∴∠ ABC=∠ C=72176。,∴∠ ABD=∠ A, ∴ AD=BD. ∵∠ BDC=∠ A+∠ ABD=72176。,AD= ∠ C+∠ BAC=145176。 176。 176。(∠ C+∠ BAC)=35176。.∵∠ DAE=90176。,∴∠ EDC=∠ AED∠ C=45176。=10176。B39。拼在一起 ,其中點 A39。落在邊 AB上 ,連接 B39。B39。,AC=BC=3,則 B39。B39。全等且均為等腰直角三角形 ,∵ AC=BC=3,∴ AB=3? , ∴ AB39。C中 ,易知 ∠ CAB39。,∴ △ AB39。C=? =3? . 22 223 (3 2)?33.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,12,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,∴ FC=FG. 易證△ ACF≌ △ AGF,∴ AC=AG. ? ∵∠ 5+∠ 6=90176。,∴∠ 5=∠ B. ∵∠ 3=∠ 1+∠ 5,∠ 4=∠ 2+∠ B,∠ 1=∠ 2, ∴∠ 3=∠ 4,∴ CE=CF. ∵ AC=3,AB=5,∴ BC=4. 在 Rt△ BFG中 ,設(shè) CF=x(x0), 則 FG=x,BF==ABAG=53=2. 由 BF2=FG2+BG2,得 (4x)2=x2+22,解得 x=? ,∴ CE=CF=? .選