【正文】 等邊三角形 ?若是 ,請(qǐng)證明 。.點(diǎn) E是 ∠ BAC角平分線上一 點(diǎn) .過(guò)點(diǎn) E作 AE的垂線 ,過(guò)點(diǎn) A作 AB的垂線 ,兩垂線交于點(diǎn) D,連接 DB,點(diǎn) F是 BD的中點(diǎn) .DH⊥ AC, 垂足為 H,連接 EF,HF. (1)如圖 1,若點(diǎn) H是 AC的中點(diǎn) ,AC=2? ,求 AB,BD的長(zhǎng) 。=2? .? (6分 ) 312.(2022重慶 ,25,12分 )如圖 1,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, 在 Rt△ DEF中 ,EF=DE,∠ DEC=∠ A=60176。, ∴∠ BDC=∠ C, ∴ BD=BC,∴ AD=BC. 11.(2022寧夏 ,21,6分 )在等邊△ ABC中 ,點(diǎn) D,E分別在邊 BC,AC上 ,若 CD=2,過(guò)點(diǎn) D作 DE∥ AB,過(guò) 點(diǎn) E作 EF⊥ DE,交 BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) EF的長(zhǎng) . ? 解析 ∵ △ ABC為等邊三角形 ,∴∠ A=∠ B=∠ ACB=60176。. ∵ BD平分 ∠ ABC, ∴∠ ABD=36176。,BD平分 ∠ ABC交 AC于點(diǎn) D. 求證 :AD=BC. ? 證明 ∵ AB=AC,∠ A=36176?；?27176。2=27176。126176。=126176。 ? ② 若三角形是鈍角三角形 ,則 ∠ BAC=36176。)247。, 此時(shí) ,底角 =(180176。36176?；?27176。這些條件 ,通過(guò)補(bǔ)全小等邊三角形 ,構(gòu)造全等 三角形 ,從而實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化 . 8.(2022湖南長(zhǎng)沙 ,17,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,AC=8,BC=5,AB的垂直平分線 DE交 AB于點(diǎn) D,交邊 AC 于點(diǎn) E,則△ BCE的周長(zhǎng)為 . ? 答案 13 解析 ∵ DE垂直平分 AB,∴ AE=BE, ∴ △ BCE的周長(zhǎng)為 BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13. 評(píng)析 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理 ,即線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端 點(diǎn)的距離相等 . 9.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,13,3分 )等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 36176。,設(shè) BH=x(x0),則 HE=x,CH=? x, 過(guò)點(diǎn) B作 BG⊥ HE于 G,則 BG=? x,EG=? ,∠ BGD=∠ CHD=90176。,∴∠ HEC=60176。, ∵ △ ABC是等邊三角形 ,∴ AB=BC,∠ ABC=60176。時(shí) ,DH= . ? 7答案 ? 13解析 延長(zhǎng) AD至點(diǎn) E,使得 HE=BH,連接 BE、 CE, ? ∵∠ BHD=60176。. ∵ G是 EF的中點(diǎn) ,∴ EG=? . ∴ 在 Rt△ DEG中 ,DG=? =? =? . 1233222DE EG? 22 32 2??? ????192疑難突破 本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì) ,勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)定理求線段 DG的長(zhǎng) ,DG與圖中的線段無(wú)直接的關(guān)系 ,所以應(yīng)根據(jù)條件連接 DE,構(gòu)造直角三角形 ,運(yùn)用勾股 定理求出 DG的長(zhǎng) . 思路分析 連接 DE,根據(jù)題意可得 DE∥ AC,又 EF⊥ AC,可得到 ∠ FEC的度數(shù) ,判斷出△ DEG是 直角三角形 ,再根據(jù)勾股定理即可求解 DG的長(zhǎng) . 7.(2022遼寧沈陽(yáng) ,16,3分 )如圖 ,△ ABC是等邊三角形 ,AB=? ,點(diǎn) D是邊 BC上一點(diǎn) ,點(diǎn) H是線段 AD 上一點(diǎn) ,連接 BH、 CH,當(dāng) ∠ BHD=60176。30176。,EF=? . ∴∠ DEG=180176。. ∵ EF⊥ AC,∴∠ EFC=90176。③ 當(dāng) AC=BC時(shí) ,作 AB的垂直平分線 ,與坐標(biāo)軸有 兩個(gè)交點(diǎn) ,均符合題意 .所以滿足條件的點(diǎn) C有 5個(gè) ,故選 A. ? 4.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ A=36176。當(dāng) 底邊長(zhǎng)為 2 cm時(shí) ,腰長(zhǎng)為 4 cm,符合題意 ,故選 A. 3.(2022湖北武漢 ,10,3分 )平面直角坐標(biāo)系中 ,已知 A(2,2),B(4,0),若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn) C,使△ ABC 為等腰三角形 ,則滿足條件的點(diǎn) C的個(gè)數(shù)是 ? ( ) 答案 A 如圖 ,① 當(dāng) AB=AC時(shí) ,以點(diǎn) A為圓心 ,AB長(zhǎng)為半徑作圓 ,與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn) (點(diǎn) B除 外 ),即 O(0,0),C0(0,4),其中點(diǎn) C0與 A、 B兩點(diǎn)共線 ,不符合題意 。,AB=6,D是 AB的中點(diǎn) ,則 CD= . ? 答案 3 解析 依題意可知 CD是直角三角形 ABC斜邊上的中線 ,由“直角三角形斜邊上的中線等于斜 邊的一半”可得 CD=? AB=3. 125.(2022福建 ,15,4分 )把兩個(gè)同樣大小的含 45176。=60176。,∴∠ BFC=∠ ABF+∠ BAF=15176。 答案 C 由已知得 AB=AE,∠ BAE=150176。 176。. 2.(2022漳州 ,10,4分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC=5,BC=8,D是線段 BC上的動(dòng)點(diǎn) (不含端點(diǎn) B、 C). 若線段 AD長(zhǎng)為正整數(shù) ,則點(diǎn) D的個(gè)數(shù)共有 ? ( ) 122254?答案 C 過(guò) A作 AE⊥ BC于點(diǎn) E,∵ AB=AC, ∴ EC=BE=? BC=4,∴ AE=? =3, ∵ D是線段 BC上的動(dòng)點(diǎn) (不含端點(diǎn) B、 C), ∴ 3≤ AD5,∴ AD=3或 4, ∵ 線段 AD長(zhǎng)為正整數(shù) ,∴ 點(diǎn) D的個(gè)數(shù)共有 3個(gè) . 3.(2022福州 ,9,4分 )如圖 ,在正方形 ABCD的外側(cè)作等邊三角形 ADE,AC,BE相交于點(diǎn) F,則 ∠ BFC 為 ? ( ) ? 176。45176。,且點(diǎn) D是 BC的中點(diǎn) ,所 以 AD垂直平分 BC,所以 EC=EB,根據(jù)等邊對(duì)等角 , 得到 ∠ ECB=∠ EBC=45176。 176。 176。第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 等腰三角形與直角三角形 中考數(shù)學(xué) (福建專(zhuān)用 ) 1.(2022福建 ,5,4分 )如圖 ,等邊三角形 ABC中 ,AD⊥ BC,垂足為 D,點(diǎn) E在線段 AD上 ,∠ EBC=45176。,則 ∠ ACE等于 ? ( ) ? 176。 176。 A組 20222022年福建中考題組 五年中考 答案 A 由等邊三角形 ABC中 ,AD⊥ BC,垂足為點(diǎn) D,可得 ∠ ACB=60176。,故 ∠ ACE=∠ ACB∠ ECB=60176。=15176。 176。 176。,∴∠ ABF=15176。+45176。. 評(píng)析 本題考查正方形、等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì) ,屬中等難度題 . 4.(2022福建 ,13,4分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。角的三角尺按如圖所示的方式放置 ,其中一個(gè)三 角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn) A,且另三個(gè)銳角頂點(diǎn) B,C,D在同一直線上 .若 AB=? ,則 CD= . ? 2答案 ? 1 3解析 由題意知△ ABC,△ ADE均為等腰直角三角形 ,且 AB=AC=AE=ED=? ,由勾股定理得 BC =AD= A作 AF⊥ BC于 F,則 FC=AF=1,在 Rt△ AFD中 ,由勾股定理得 FD=? ,故 CD=FDFC= ? 1. ? 2336.(2022莆田 ,16,4分 )魏朝時(shí)期 ,劉徽利用下圖通過(guò)“以盈補(bǔ)虛 ,出入相補(bǔ)”的方法 ,即“勾自乘 為朱方 ,股自乘為青方 ,令出入相補(bǔ) ,各從其類(lèi)”證明了勾股定理 .若圖中 BF=1,CF=2,則 AE的長(zhǎng) 為 . ? 答案 3? 10解析 由已知得四邊形 ABCD是正方形 ,∵ BF=1,CF=2, ∴ AD=AB=DC=BC=BF+CF= Rt△ ABF中 ,AF=? =? =? ,∵ BC∥ AD,∴ △ EFC∽ △ EAD,∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 AE=3AF=3? . 22AB BF? 2231? 10EFAE CFAD AE AFAE? 2310B組 2022— 2022年全國(guó)中考題組 考點(diǎn)一 等腰三角形 1.(2022河北 ,8,3分 )已知 :如圖 ,點(diǎn) P在線段 AB外 ,且 PA = :點(diǎn) P在線段 AB的垂直平分線上 . 在證明該結(jié)論時(shí) ,需添加輔助線 ,則作法 不 正確的是 ? ( ) ? ∠ APB的平分線 PC交 AB于點(diǎn) C P作 PC⊥ AB于點(diǎn) C且 AC=BC AB中點(diǎn) C,連接 PC P作 PC⊥ AB,垂足為 C 答案 B 無(wú)論作 ∠ APB的平分線 PC交 AB于點(diǎn) C,還是取 AB中點(diǎn) C,連接 PC或過(guò)點(diǎn) P作 PC⊥ AB, 垂足為 C,都可以通過(guò)等腰三角形三線合一得出結(jié)論 ,選項(xiàng) A,C,D的作法正確 .故選 B. 2.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,6,3分 )若等腰三角形的周長(zhǎng)為 10 cm,其中一邊長(zhǎng)為 2 cm,則該等腰三角形 的底邊長(zhǎng)為 ? ( ) cm cm cm cm 答案 A 當(dāng)腰長(zhǎng)為 2 cm時(shí) ,底邊長(zhǎng)為 6 cm,但是 2+2=46,即兩邊之和小于第三邊 ,不合題意 。② 當(dāng) AB=BC時(shí) ,以點(diǎn) B為圓心 ,AB長(zhǎng) 為半徑作圓 ,與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn) ,均符合題意 。,AB=AC,BD是△ ABC的角平分線 .若在邊 AB上截 取 BE=BC,連接 DE,則圖中等腰三角形共有 ? ( ) ? 答案 D 依題意可知 ,題圖中的△ ABC,△ AED,△ BDC,△ BDE,△ ADB為等腰三角形 ,則共有 5 個(gè)等腰三角形 .故選 D. 5.(2022吉林 ,11,3分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,A(4,0),B(0,3),以點(diǎn) A為圓心 ,AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 , 交 x軸的負(fù)半軸于點(diǎn) C,則點(diǎn) C坐標(biāo)為 . ? 答案 (1,0) 解析 ∵ A(4,0),B(0,3),∴ AB=? =5,∵ AC=AB,∴ OC=ACAO=ABAO=54=1,∴ C(1,0). 2243?6.(2022天津 ,17,3分 )如圖 ,在邊長(zhǎng)為 4的等邊△ ABC中 ,D,E分別為 AB,BC的中點(diǎn) ,EF⊥ AC于點(diǎn) F, G為 EF的中點(diǎn) ,連接 DG,則 DG的長(zhǎng)為 . ? 答案 ? 192解析 連接 DE,在等邊△ ABC中 , ? ∵ D、 E分別是 AB、 BC的中點(diǎn) , ∴ DE∥ AC,DE=EC=? AC=2. ∴∠ DEB=∠ C=60176。. ∴∠ FEC=30176。60176。=90176。,∠ AHC=90176。,∴ △ BHE是等邊三角形 ,∴ BH=BE=HE,∠ BEH=60176。,∴∠ ABH=∠ CBE,∴ △ ABH≌ △ CBE,∴∠ BEC= ∠ BHA=120176。, ∵ CH⊥ AD,∴∠ CHE=90176。,又 ∵∠ BDG=∠ CDH,∴ △ BDG ∽ △ CDH,∴ ? =? =? =? , ∵ BC=? ,∴ CD=? ? ,又 DH=? GH=? ? HE=? ,由勾股定理得 ,DH2+CH2=CD2,即 ? +(? x)2 =? ,解得 x=1, ∴ DH=? . 3322xBDCD BGCH DGDH 12723723 23 12 3x 23x??????322 73??????13疑難突破 此類(lèi)題型中 ,可根據(jù)等邊三角形、 60176。,則該等腰三角 形的底角的度數(shù)為 . 答案 63176。 解析 在三角形 ABC中 ,設(shè) AB=AC,BD⊥ AC于 D. ① 若三角形是銳角三角形 ,則 ∠ A=90176。=54176。54176。2=63176。+90176。, 此時(shí) ,底角 =(180176。)247。. ? 綜上 ,該等腰三角形底角的度數(shù)是 63176。. 評(píng)析 本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理 ,屬容易題 . 10.(2022北京 ,19,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=36176。, ∴∠ ABC=∠ C=72176。,∴∠ ABD=∠ A, ∴ AD=BD. ∵∠ BDC=∠ A+∠ ABD=72176。, ∵ DE∥ AB,∴∠ EDF=∠ B=60176。, ∴ △ CDE為等邊三角形 ,∴ DE=CD=2.? (4分 ) ∵ EF⊥ DE,∴∠ DEF=90176。tan 60176。,∠ BAC=60176。 (2)如圖 1,求證 :HF=EF。若不是 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . ? 圖 1 3 ? 圖 2 解析 (1)∵ 點(diǎn) H是 AC的中點(diǎn) ,AC=2? , ∴ AH=? AC=? .? (1分 ) ∵∠ ACB=90176。,∴∠ ABC=30176。. ∴∠ DAH=30176。,∴ BD2=AD2+AB2. ∴ BD=? =2? .? (4分 ) (2)證明 :連接 AF,如圖 . ? 312332