【正文】 B為斜 邊向 ∠ MON的外側作等腰直角三角形 ,分別是△ OAP,△ OBQ,點 C,D,E分別是 OA,OB,AB的中 點 . (1)求證 :△ PCE≌ △ EDQ。, ∴∠ BAD=∠ FCG. 又 ∵∠ AFE=∠ CFG,AF=CF, ∴ △ AFE≌ △ CFG(ASA), ∴ EF=FG. ∵ AB=AC,AD為 BC邊上的中線 , ∴ CD=? BC=1. ∵∠ DCF=75176。, ∴∠ FCG=75176。, ∴ △ CDG為等腰直角三角形 ,∴∠ DCG=45176。等腰三角形的頂角平分線 與底邊上的高重合 。. 6.(2022北京 ,16,3分 )下面是“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程 . 已知 :直線 l和 l外一點 P. ? 求作 :直線 l的垂線 ,使它經(jīng)過點 P. 作法 :如圖 , (1)在直線 l上任取兩點 A,B。 解析 ∵ 等腰三角形的兩底角相等 ,∴ 180176。,AD⊥ DC, ∴ 在△ ADC中 ,∠ C=90176。 176。 答案 A ∵ AB=AD,∴∠ ADB=∠ B=70176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 ③ 如圖 3,以 C為圓心 ,BC長為半徑畫弧 ,交 AB于 M,交 AC于點 F,則△ BCM、△ BCF是等腰三角 形 。=70176。+25176。 176。,∠ C=25176。 (2)求證 :2CD2=AD2+DB2. ? 證明 (1)∵ △ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 , ∴ CD=CE,AC=BC,∠ ECD=∠ ACB=90176。+∠ QAC=45176。,∴∠ PAB=45176。)AD AD? 32 222( 39。=?= ? =? ,∴ BD= CD39。=? = ? =4? ,易知 ∠ D39。.又 ∠ DAD39。+∠ CAD,即 ∠ BAD=∠ CAD39?！?AD,且使 AD39。, 所以 BP=OB,所以 ∠ OAP=30176。,因為 OA=OB=2,所以 OP=OA= 2,又因為 ∠ AOC=60176。時分別計算 AB的長 ,顯然 ∠ EA39。EF不可能為直角三角形 ,當點 A39。. 綜上所述 ,當△ A39。③ 當點 A39。CB=60176。C=A39。時 ,A39。C為正方形 ,∴ AB=AC=4。FE=90176。F,∴ △ A39。在直線 DE下方時 ,如圖 1,∵∠ CA39。 BC與△ ABC關于 BC所在直線對稱 .點 D,E分別為 AC,BC的中點 ,連接 DE并延長交 A39。,∴∠ PAB+∠ ABP=90176。=90176。C39。=90176。與 點 A重合 ,點 C39。. ∴ △ CEF是等邊三角形 .? (12分 ) 3 2考點二 直角三角形 1.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,將兩個大小、形狀完全相同的△ ABC和△ A39。, 點 G為 AB的中點 , ∴ CG=AG. 又 ∵∠ CAB=60176。. ∴ AE=? AD,∴ AE=DH.? (6分 ) ∵∠ FDA=∠ FAD,∠ HDA=∠ EAD=60176。,∠ DAH=30176。,∴ AD=2.? (3分 ) 在 Rt△ ADB中 ,∵∠ DAB=90176。,∠ BAC=60176。.點 E是 ∠ BAC角平分線上一 點 .過點 E作 AE的垂線 ,過點 A作 AB的垂線 ,兩垂線交于點 D,連接 DB,點 F是 BD的中點 .DH⊥ AC, 垂足為 H,連接 EF,HF. (1)如圖 1,若點 H是 AC的中點 ,AC=2? ,求 AB,BD的長 。, 在 Rt△ DEF中 ,EF=DE, ∴∠ BDC=∠ C, ∴ BD=BC,∴ AD=BC. 11.(2022寧夏 ,21,6分 )在等邊△ ABC中 ,點 D,E分別在邊 BC,AC上 ,若 CD=2,過點 D作 DE∥ AB,過 點 E作 EF⊥ DE,交 BC的延長線于點 EF的長 . ? 解析 ∵ △ ABC為等邊三角形 ,∴∠ A=∠ B=∠ ACB=60176。,BD平分 ∠ ABC交 AC于點 D. 求證 :AD=BC. ? 證明 ∵ AB=AC,∠ A=36176。2=27176。=126176。)247。36176。這些條件 ,通過補全小等邊三角形 ,構造全等 三角形 ,從而實現(xiàn)線段的轉化 . 8.(2022湖南長沙 ,17,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,AC=8,BC=5,AB的垂直平分線 DE交 AB于點 D,交邊 AC 于點 E,則△ BCE的周長為 . ? 答案 13 解析 ∵ DE垂直平分 AB,∴ AE=BE, ∴ △ BCE的周長為 BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13. 評析 本題考查了線段垂直平分線的性質定理 ,即線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端 點的距離相等 . 9.(2022內蒙古呼和浩特 ,13,3分 )等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為 36176。,∴∠ HEC=60176。時 ,DH= . ? 7答案 ? 13解析 延長 AD至點 E,使得 HE=BH,連接 BE、 CE, ? ∵∠ BHD=60176。30176。. ∵ EF⊥ AC,∴∠ EFC=90176。當 底邊長為 2 cm時 ,腰長為 4 cm,符合題意 ,故選 A. 3.(2022湖北武漢 ,10,3分 )平面直角坐標系中 ,已知 A(2,2),B(4,0),若在坐標軸上取點 C,使△ ABC 為等腰三角形 ,則滿足條件的點 C的個數(shù)是 ? ( ) 答案 A 如圖 ,① 當 AB=AC時 ,以點 A為圓心 ,AB長為半徑作圓 ,與坐標軸有兩個交點 (點 B除 外 ),即 O(0,0),C0(0,4),其中點 C0與 A、 B兩點共線 ,不符合題意 。=60176。 答案 C 由已知得 AB=AE,∠ BAE=150176。. 2.(2022漳州 ,10,4分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC=5,BC=8,D是線段 BC上的動點 (不含端點 B、 C). 若線段 AD長為正整數(shù) ,則點 D的個數(shù)共有 ? ( ) 122254?答案 C 過 A作 AE⊥ BC于點 E,∵ AB=AC, ∴ EC=BE=? BC=4,∴ AE=? =3, ∵ D是線段 BC上的動點 (不含端點 B、 C), ∴ 3≤ AD5,∴ AD=3或 4, ∵ 線段 AD長為正整數(shù) ,∴ 點 D的個數(shù)共有 3個 . 3.(2022福州 ,9,4分 )如圖 ,在正方形 ABCD的外側作等邊三角形 ADE,AC,BE相交于點 F,則 ∠ BFC 為 ? ( ) ? 176。,且點 D是 BC的中點 ,所 以 AD垂直平分 BC,所以 EC=EB,根據(jù)等邊對等角 , 得到 ∠ ECB=∠ EBC=45176。 176。,則 ∠ ACE等于 ? ( ) ? 176。 A組 20222022年福建中考題組 五年中考 答案 A 由等邊三角形 ABC中 ,AD⊥ BC,垂足為點 D,可得 ∠ ACB=60176。=15176。 176。+45176。角的三角尺按如圖所示的方式放置 ,其中一個三 角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點 A,且另三個銳角頂點 B,C,D在同一直線上 .若 AB=? ,則 CD= . ? 2答案 ? 1 3解析 由題意知△ ABC,△ ADE均為等腰直角三角形 ,且 AB=AC=AE=ED=? ,由勾股定理得 BC =AD= A作 AF⊥ BC于 F,則 FC=AF=1,在 Rt△ AFD中 ,由勾股定理得 FD=? ,故 CD=FDFC= ? 1. ? 2336.(2022莆田 ,16,4分 )魏朝時期 ,劉徽利用下圖通過“以盈補虛 ,出入相補”的方法 ,即“勾自乘 為朱方 ,股自乘為青方 ,令出入相補 ,各從其類”證明了勾股定理 .若圖中 BF=1,CF=2,則 AE的長 為 . ? 答案 3? 10解析 由已知得四邊形 ABCD是正方形 ,∵ BF=1,CF=2, ∴ AD=AB=DC=BC=BF+CF= Rt△ ABF中 ,AF=? =? =? ,∵ BC∥ AD,∴ △ EFC∽ △ EAD,∴ ? =? ,即 ? =? ,解得 AE=3AF=3? . 22AB BF? 2231? 10EFAE CFAD AE AFAE? 2310B組 2022— 2022年全國中考題組 考點一 等腰三角形 1.(2022河北 ,8,3分 )已知 :如圖 ,點 P在線段 AB外 ,且 PA = :點 P在線段 AB的垂直平分線上 . 在證明該結論時 ,需添加輔助線 ,則作法 不 正確的是 ? ( ) ? ∠ APB的平分線 PC交 AB于點 C P作 PC⊥ AB于點 C且 AC=BC AB中點 C,連接 PC P作 PC⊥ AB,垂足為 C 答案 B 無論作 ∠ APB的平分線 PC交 AB于點 C,還是取 AB中點 C,連接 PC或過點 P作 PC⊥ AB, 垂足為 C,都可以通過等腰三角形三線合一得出結論 ,選項 A,C,D的作法正確 .故選 B. 2.(2022內蒙古包頭 ,6,3分 )若等腰三角形的周長為 10 cm,其中一邊長為 2 cm,則該等腰三角形 的底邊長為 ? ( ) cm cm cm cm 答案 A 當腰長為 2 cm時 ,底邊長為 6 cm,但是 2+2=46,即兩邊之和小于第三邊 ,不合題意 。,AB=AC,BD是△ ABC的角平分線 .若在邊 AB上截 取 BE=BC,連接 DE,則圖中等腰三角形共有 ? ( ) ? 答案 D 依題意可知 ,題圖中的△ ABC,△ AED,△ BDC,△ BDE,△ ADB為等腰三角形 ,則共有 5 個等腰三角形 .故選 D. 5.(2022吉林 ,11,3分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,A(4,0),B(0,3),以點 A為圓心 ,AB長為半徑畫弧 , 交 x軸的負半軸于點 C,則點 C坐標為 . ? 答案 (1,0) 解析 ∵ A(4,0),B(0,3),∴ AB=? =5,∵ AC=AB,∴ OC=ACAO=ABAO=54=1,∴ C(1,0). 2243?6.(2022天津 ,17,3分 )如圖 ,在邊長為 4的等邊△ ABC中 ,D,E分別為 AB,BC的中點 ,EF⊥ AC于點 F, G為 EF的中點 ,連接 DG,則 DG的長為 . ? 答案 ? 192解析 連接 DE,在等邊△ ABC中 , ? ∵ D、 E分別是 AB、 BC的中點 , ∴ DE∥ AC,DE=EC=? AC=2. ∴∠ DEB=∠ C=60176。60176。,∠ AHC=90176。,∴∠ ABH=∠ CBE,∴ △ ABH≌ △ CBE,∴∠ BEC= ∠ BHA=120176。,又 ∵∠ BDG=∠ CDH,∴ △ BDG ∽ △ CDH,∴ ? =? =? =? , ∵ BC=? ,∴ CD=? ? ,又 DH=? GH=? ? HE=? ,由勾股定理得 ,DH2+CH2=CD2,即 ? +(? x)2 =? ,解得 x=1, ∴ DH=? . 3322xBDCD BGCH DGDH 12723723 23 12 3x 23x??????322 73??????13疑難突破 此類題型中 ,可根據(jù)等邊三角形、 60176。 解析 在三角形 ABC中 ,設 AB=AC,BD⊥ AC于 D. ① 若三角形是銳角三角形 ,則 ∠ A=90176。54176。+90176。)247。. 評析 本題考查等腰三角形的性質和三角形內角和定理 ,屬容易題 . 10.(2022北京 ,19,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=36176。,∴∠ ABD=∠ A, ∴ AD=BD. ∵∠ BDC=∠ A+∠ ABD=72176。, ∴ △ CDE為等邊三角形 ,∴ DE=CD=2.? (4分 ) ∵ EF⊥ DE,∴∠ DEF=90176。,∠ BAC=60176。若不是 ,請說明理由 . ? 圖 1 3 ? 圖 2 解析 (1)∵ 點 H是 AC的中點 ,AC=2? , ∴ AH=? AC=? .? (1分 ) ∵∠ ACB=90176。. ∴∠ DAH=30176。. ∵∠ DHA=90176。,∴∠ ADE=30176。, 又 ∵ AE=? AD,∴ AE=FG. 在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,∴∠ FGC=∠ EAC. ∴ △ FGC≌ △ EAC(SAS).? (11分 ) ∴ CF=CE,∠ ACE=∠ GCF. ∵∠ ECF=∠ ECG+∠ GCF=∠ ECG+∠ ACE=∠ ACG=60176。拼在一起 ,其中點 A39。B39。B39。C中 ,易知 ∠ CAB39。C=? =3? . 22223