【正文】 AN=? (9+BM2). ∵ 點 M在 BC上 , ∴ BM≤ 2, ∴ BM, ∴ △ ABE39。, ∵∠ BAM=∠ DAE=45176。. (1)如圖 2,G,H分別是邊 AB,BC的中點 ,連接 DG,AH,EH,求證 :△ AGD∽ △ AHE。.又 ∵ ∠ DCB=60176。 ∠ AED的度數(shù)隨 AE長度的變化而變化 ,∴ α與 β不一定相等 ,從而 ∠ AED不一定等于 2∠ ECD,D 錯誤 . 123.(2022福州質(zhì)檢 ,12)如圖 ,Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。CD=∠ DCE. 又 ∵ E39。=? =? =5. 2239。CA=∠ ECB, ∴ △ E39。, 則 CE39。, ∵ DC=4,∴ BC=? =? =5. 22DC DB? 2243?10.(2022福州質(zhì)檢 ,20)如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。 (2)在 (1)的條件下 ,連接 BD,求△ ABD的周長 . 解析 (1)如圖所示 ,直線 DE為所求作的直線 . (2)∵ DE垂直平分 BC,∴ BD=CD. ∴ △ ABD的周長 =AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=5 cm. 8.(2022福州質(zhì)檢 ,18)求證 :等腰三角形的底邊中點到兩腰距離相等 . 解析 已知 ,如圖 ,△ ABC中 ,AB=AC,D是 BC的中點 ,DE⊥ AB,DF⊥ AC,垂足分別為 E,F. 求證 :DE=DF. 證明 :連接 AD. ∵ AB=AC,D是 BC的中點 , ∴ AD平分 ∠ BAC. ∵ DE⊥ AB,DF⊥ AC, ∴ DE=DF. 9.(2022泉州質(zhì)檢 ,19)如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB=AD=3,DC=4,∠ A=60176。,∴∠ ACB=180176。,∴ CD=CE=1, ∴ BC=2CD=2. 三、解答題 (共 40分 ) 6.(2022漳州質(zhì)檢 ,18)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ A=80176。,BC=4,△ DEF是等腰直角三角形 ,∠ DEF=90 176。. ∵ AC=AD=2,∴ BM=MN=1. 在 Rt△ BMN中 ,BN=? =? . 121222BM MN? 211.(2022浙江溫州 ,22,8分 )勾股定理神秘而美妙 ,它的證法多樣 ,其巧妙各有不同 ,其中的“面積 法”給了小聰以靈感 .他驚喜地發(fā)現(xiàn) :當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖 1或圖 2擺放時 ,都可以用 “面積法”來證明 .下面是小聰利用圖 1證明勾股定理的過程 : 將兩個全等的直角三角形按圖 1所示擺放 ,其中 ∠ DAB=90176。,AC=AD,M,N分別為 AC,CD的中點 ,連 接 BM,MN,BN. (1)求證 :BM=MN。,再用同樣的方法作 Rt△ FGC,∠ FCG=90176。? . ? 333332 3232 33,22??????7.(2022黑龍江哈爾濱 ,17,3分 )在等腰直角三角形 ABC中 ,∠ ACB=90176。AC中 , AC=AO39。C⊥ OA,垂足為 C,在 Rt△ AOB中 ,OA=? ,OB=1,∠ AOB=90176。,∠ ADB=90176。,∴ FC=FG. 易證△ ACF≌ △ AGF,∴ AC=AG. ? ∵∠ 5+∠ 6=90176。,AD⊥ BC,∴ AD=ACsin 45176。(若兩種方法分得的三角形成 3對全等三角形 ,則視為同一種 ) (2)△ ABC中 ,∠ B=30176。,∠ CRD=? ∠ ARB=45176。 ② 如圖 3,若△ ARB∽ △ PEQ,求 ∠ MON的大小和 ? 的值 . ? ABPQ解析 (1)證明 :∵ 點 C,D,E分別是 OA,OB,AB的中點 , ∴ DE?? OC,CE?? OD.∴ 四邊形 ODEC為平行四邊形 . ∴∠ OCE=∠ ODE. 又 ∵ △ OAP,△ OBQ都是等腰直角三角形 , ∴∠ PCO=∠ QDO=90176。=15176。,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,∠ ACE=? ∠ BAC,CE交 AB于點 E,交 AD于點 F,若 BC=2,則 EF的長為 . ? 12解析 在 DF上取點 G,使 DG=DC,連接 CG. ∵ AB=AC,AD為 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ CAD=∠ BAD=? ∠ BAC=15176。, ∴ 頂角為 80176。 答案 C ∵ AB=AC,D為 BC中點 , ∴∠ CAD=∠ BAD=35176。 176。 ② 如圖 2,以 A為圓心 ,AC長為半徑畫弧 ,交 AB于點 E,則△ ACE就是等腰三角形 。(25176。. 在 Rt△ EAD中 ,ED2=AD2+AE2, ∴ ED2=AD2+BD2.? (6分 ) 又 ED2=EC2+CD2=2CD2, ∴ 2CD2=AD2+DB2.? (7分 ) ,E C D CA C E B C DA C B C???? ? ??? ?? C組 教師專用題組 考點一 等腰三角形 1.(2022湖北黃岡 ,4,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,直線 DE是 AC的垂直平分線 ,且分別交 BC,AC于點 D和 E,∠ B=60176。+α. (2)線段 MB與 PQ之間的數(shù)量關(guān)系為 PQ=? MB. 證明 :連接 AQ,過點 M作 MN⊥ BQ于點 N,如圖 . ? 則△ MNB為等腰直角三角形 ,MB=? MN. ∵ AC⊥ BQ,CQ=CP,∴ AP=AQ,∠ QAC=∠ PAC. ∴∠ QAM=∠ BAC+∠ QAC=45176。,B A C AB A D C A DA D A D???? ? ?????22( 39。中 ,由勾股定理得 DD39。,如圖 . 由已知條件可得 ∠ BAC+∠ CAD=∠ DAD39。,因為 ∠ BOP=∠ AOC=60176。,則當(dāng)△ PAB為直角三角形時 ,AP的長為 . 答案 2或 2? 或 2? 3 7解析 由題意知 ,滿足條件的點 P有三個位置 .如圖① ,∠ APB=90176。在 DE的下方時 ,△ A39。=4? 。CE, ∴ A39。B∥ ABA39。F∠ CA39。,點 C在邊 AM上 ,AC=4,點 B為邊 AN上一動點 ,連接 BC,△ A39。C中 ,易知 ∠ CAB39。B39。,∴∠ FGC=∠ EAC. ∴ △ FGC≌ △ EAC(SAS).? (11分 ) ∴ CF=CE,∠ ACE=∠ GCF. ∵∠ ECF=∠ ECG+∠ GCF=∠ ECG+∠ ACE=∠ ACG=60176。,∴∠ ADE=30176。. ∴∠ DAH=30176。,∠ BAC=60176。,∴∠ ABD=∠ A, ∴ AD=BD. ∵∠ BDC=∠ A+∠ ABD=72176。)247。54176。,又 ∵∠ BDG=∠ CDH,∴ △ BDG ∽ △ CDH,∴ ? =? =? =? , ∵ BC=? ,∴ CD=? ? ,又 DH=? GH=? ? HE=? ,由勾股定理得 ,DH2+CH2=CD2,即 ? +(? x)2 =? ,解得 x=1, ∴ DH=? . 3322xBDCD BGCH DGDH 12723723 23 12 3x 23x??????322 73??????13疑難突破 此類題型中 ,可根據(jù)等邊三角形、 60176。,∠ AHC=90176。,AB=AC,BD是△ ABC的角平分線 .若在邊 AB上截 取 BE=BC,連接 DE,則圖中等腰三角形共有 ? ( ) ? 答案 D 依題意可知 ,題圖中的△ ABC,△ AED,△ BDC,△ BDE,△ ADB為等腰三角形 ,則共有 5 個等腰三角形 .故選 D. 5.(2022吉林 ,11,3分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,A(4,0),B(0,3),以點 A為圓心 ,AB長為半徑畫弧 , 交 x軸的負(fù)半軸于點 C,則點 C坐標(biāo)為 . ? 答案 (1,0) 解析 ∵ A(4,0),B(0,3),∴ AB=? =5,∵ AC=AB,∴ OC=ACAO=ABAO=54=1,∴ C(1,0). 2243?6.(2022天津 ,17,3分 )如圖 ,在邊長為 4的等邊△ ABC中 ,D,E分別為 AB,BC的中點 ,EF⊥ AC于點 F, G為 EF的中點 ,連接 DG,則 DG的長為 . ? 答案 ? 192解析 連接 DE,在等邊△ ABC中 , ? ∵ D、 E分別是 AB、 BC的中點 , ∴ DE∥ AC,DE=EC=? AC=2. ∴∠ DEB=∠ C=60176。+45176。=15176。,則 ∠ ACE等于 ? ( ) ? 176。,且點 D是 BC的中點 ,所 以 AD垂直平分 BC,所以 EC=EB,根據(jù)等邊對等角 , 得到 ∠ ECB=∠ EBC=45176。 答案 C 由已知得 AB=AE,∠ BAE=150176。當(dāng) 底邊長為 2 cm時 ,腰長為 4 cm,符合題意 ,故選 A. 3.(2022湖北武漢 ,10,3分 )平面直角坐標(biāo)系中 ,已知 A(2,2),B(4,0),若在坐標(biāo)軸上取點 C,使△ ABC 為等腰三角形 ,則滿足條件的點 C的個數(shù)是 ? ( ) 答案 A 如圖 ,① 當(dāng) AB=AC時 ,以點 A為圓心 ,AB長為半徑作圓 ,與坐標(biāo)軸有兩個交點 (點 B除 外 ),即 O(0,0),C0(0,4),其中點 C0與 A、 B兩點共線 ,不符合題意 。30176。,∴∠ HEC=60176。36176。=126176。,BD平分 ∠ ABC交 AC于點 D. 求證 :AD=BC. ? 證明 ∵ AB=AC,∠ A=36176。, 在 Rt△ DEF中 ,EF=DE,∠ BAC=60176。,∠ DAH=30176。, 點 G為 AB的中點 , ∴ CG=AG. 又 ∵∠ CAB=60176。與 點 A重合 ,點 C39。C39。,∴∠ PAB+∠ ABP=90176。在直線 DE下方時 ,如圖 1,∵∠ CA39。FE=90176。時 ,A39。CB=60176。. 綜上所述 ,當(dāng)△ A39。時分別計算 AB的長 ,顯然 ∠ EA39。,所以 ∠ OAP=30176。⊥ AD,且使 AD39。.又 ∠ DAD39。=?= ? =? ,∴ BD= CD39。,∴∠ PAB=45176。 (2)求證 :2CD2=AD2+DB2. ? 證明 (1)∵ △ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 , ∴ CD=CE,AC=BC,∠ ECD=∠ ACB=90176。 176。=70176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 解析 ∵ 等腰三角形的兩底角相等 ,∴ 180176。等腰三角形的頂角平分線 與底邊上的高重合 。, ∴∠ FCG=75176。 (2)設(shè) BD與 CE相交于點 O,點 M,N分別為線段 BO和 CO的中點 .當(dāng)△ ABC的重心到頂點 A的距離 與底邊長相等時 ,判斷四邊形 DEMN的形狀 ,無需說明理由 . ? 解析 (1)證明 :∵ AB,AC是等腰△ ABC的兩腰 , ∴ AB=AC, ∵ BD,CE是中線 ,∴ AD=? AC,AE=? AB, ∴ AD=AE, 又 ∵∠ A=∠ A,∴ △ ABD≌ △ ACE, ∴ BD=CE. (2)四邊形 DEMN為正方形 . 提示 :由 MN、 DE分別是△ OBC、△ ABC的中位線可得四邊形 DEMN是平行四邊形 ,由 (1)知 BD =CE,故可證 OE=OD,從而四邊形 DEMN是矩形 ,再由△ ABC的重心到頂點 A的距離與底邊長相 等可知四邊形 DEMN為正方形 . 12 1211.(2022安徽 ,23,14分 )如圖 1,A,B分別在射線 OM,ON上 ,且 ∠ MON為鈍角 .現(xiàn)以線段 OA,OB為斜 邊向 ∠ MON的外側(cè)作等腰直角三角形 ,分別是△ OAP,△ OBQ,點 C,D,E分別是 OA,OB,AB的中 點 . (1)求證 :△ PCE≌ △ EDQ。. ∴ △ ABR為等邊三角形 .? (9分 ) 12② 如圖 ,由 (1)知 EQ=PE,∠ DEQ=∠ CPE. 又 ∵ AO∥ ED,∴∠ CED=∠ ACE. ∴∠ PEQ=∠ CED∠ CEP∠ DEQ=∠ ACE∠ CEP∠ CPE=∠ ACE∠ RCE=∠ ACR=90176?！?C. ∴∠ CBE=∠ CAD. ∴∠ CBE=∠ BAD. 13.(2022浙江寧波 ,25,12分 )課本的作業(yè)題中有這樣一道題 :把一張頂角為 36176。.(結(jié)論不寫不扣分 ) (3)如圖 ,CD,AE就是所求的三分線 , ? 設(shè) ∠ B=α,那么 ∠ DCB=∠ DCA=∠ EAC=α,∠ ADE=∠ AED=2α,設(shè) AE=AD=a,BD=CD=y, ∵ △ AEC∽ △ BDC,∴ a∶ y=2∶ 3. 又 ∵ △ ACD∽ △ ABC,∴ 2∶ a=(a+y)∶ 2, 解得 a=? ? ,y=? ? , 即三分線長分別是 ? ? 和 ? ? . 2510351025103510