【正文】 CD中 ,∵ AC=5,AD=3,∴ CD=? =4.∴ BC=BD+CD=9. ? ② BC邊上的高位于△ ABC外時(shí) ,如圖 ,同①可求得 BD=5,CD=4, ∴ BC=1. ? 綜上 ,BC的長為 1或 9. 34 22AB AD?22AC AD?思路分析 根據(jù)題意畫圖 ,要考慮全面 ,利用勾股定理解直角三角形即可 . 易錯(cuò)警示 本題容易只考慮 BC邊上的高在△ ABC內(nèi)的情況而導(dǎo)致漏解 . 4.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,∠ MAN=90176。,∠ EA39。,∴ A39。EC=∠ ACE=∠ A39。 tan 60176?？梢栽谥本€ DE的下方或上方 .分類 討論 ,當(dāng)點(diǎn) A39。,可以排除 . 方法總結(jié) 解對(duì)稱 (折疊 )型問題 ,當(dāng)對(duì)稱軸過定點(diǎn)時(shí) ,一般要找出對(duì)稱中的定長線段 ,以定點(diǎn)為 圓心 ,定長為半徑作輔助圓來確定對(duì)稱點(diǎn)的軌跡是較為有效的方法 .再根據(jù)題目中所要求的條 件 ,結(jié)合全等、相似或勾股定理等計(jì)算得出結(jié)果 . 5.(2022江西南昌 ,14,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=BC=4,AO=BO,P是射線 CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,∠ AOC=60176。cos∠ OAP=4? =2? . 如圖③ ,∠ ABP=90176。,DD39。,在 Rt△ DAD39。,39。∠ PAB=45176。,∴∠ EAD=90176。,所以 ∠ ADC=1 80176。,以△ ABC的一邊為邊畫等腰三角形 ,使得 它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ ABC的其他邊上 ,則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為 ? ( ) ? 答案 D ①如圖 1,以 B為圓心 ,BC長為半徑畫弧 ,交 AB于點(diǎn) D,則△ BCD就是等腰三角形 。 176。 176。2=80176。 (2)作直線 CD. 所以直線 CD就是所求作的垂直平分線 . 老師說 :“小蕓的作法正確 .” 請(qǐng)回答 :小蕓的作圖依據(jù)是 . 12答案 到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上 ,兩點(diǎn)確定一條直線 解析 由小蕓的作法可知 ,AC=BC,AD=BD,所以由“到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線 段的垂直平分線上”可知點(diǎn) C、 D在線段 AB的垂直平分線上 ,再由“兩點(diǎn)確定一條直線”可 知直線 CD就是所求作的垂直平分線 . 8.(2022山西 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ BAC=30176。45176。,求證 :△ ABR為等邊三角形 。. 于是在四邊形 OCRD中 ,∠ OCR=∠ ODR=90176。的等腰三角形的三分線 ,并標(biāo)注每個(gè)等腰三 角形頂角的度數(shù) 。,AD⊥ BC,垂足為 D,∠ ABC的平 分線交 AD于點(diǎn) E,則 AE的長為 ? ( ) ? ? ? C.? ? D.? ? 2 2432832答案 D ∵ AC=8,∠ C=45176。,CD⊥ AB,垂足為 D,AF平分 ∠ CAB, 交 CD于點(diǎn) E,交 CB于點(diǎn) AC=3,AB=5,則 CE的長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 32 4353 85答案 A 過 F作 FG⊥ AB于點(diǎn) G, ∵ AF平分 ∠ CAB,∠ ACB=90176。,∴ 在 Rt△ ENM中 ,EN=? EM =2? cm,MN=EM=2 cm,∴ DN=DMMN=? DBMN=(2? 2)cm,在 Rt△ DFN中 ,FN=? DN=(? ? )cm,∴ EF=EN+FN=2 ? +? ? =(? +? )cm. ? 312 122 2123 226 22 6 2 2 6一題多解 過點(diǎn) A作 AG⊥ CD的延長線于點(diǎn) G,∵∠ CDB=∠ CBD=45176。的坐標(biāo)為 . ? 3答案 ? 33,22??????解析 如圖 ,作 O39。.在 Rt△ O39。=? .∴ OC=AOAC=? .∴ O39。,∠ DCE=90176。.? (2分 ) ∵ AC=a,∴ Rt△ ADC中 ,AD=? AC=? ,CD=? AD=? a.? (4分 ) 同理可得 ,Rt△ DFC中 ,DF=? CD=? a,CF=? DF=? a.? (5分 ) Rt△ FHC中 ,FH=? CF=? a,CH=? FH=? a,? (6分 ) Rt△ CHI中 ,CI=? CH=? a.? (7分 ) 12 2a33212 3433412 383 338398評(píng)析 本題考查直角三角形的基本性質(zhì)與運(yùn)算 . 10.(2022北京 ,23,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=90176。. ∴∠ BMN=∠ BMC+∠ CMN=90176?！?AB=5,BC=3,AC=4,點(diǎn) E,F分別是 AB,BC的中點(diǎn) ,∴ BE=? AB=,BF=? BC=,EF=? AC=2, ∴ △ BEF的周長為 6,D正確 . 12 12 12二、填空題 (每小題 3分 ,共 9分 ) 3.(2022莆田質(zhì)檢 ,14)如圖 ,△ ABC中 ,AB=3? ,AC=4? ,點(diǎn) F在 AC上 ,AE平分 ∠ BAC,AE⊥ BF于 點(diǎn) D為 BC的中點(diǎn) ,則 DE的長為 . ? 5 5答案 ? 52解析 由 AE平分 ∠ BAC,AE⊥ BF可證得△ ABE≌ △ AFE, ∴ BE=EF,AF=AB=3? .∵ AC=4? ,∴ CF=? .∵ 點(diǎn) D為 BC的中點(diǎn) ,∴ DE為△ BCF的中位線 ,∴ DE=? CF=? . 5 5 512 524.(2022廈門質(zhì)檢 ,14)如圖 ,在 Rt△ ACB中 ,∠ C=90176。,∴ BC=2DC, ∵∠ ACB=∠ E+∠ CDE,∴∠ CDE=∠ E=30176。. ∵∠ A=80176。=∠ A.∴ AC=CD. 7.(2022泉州質(zhì)檢 ,19)如圖 ,在銳角△ ABC中 ,AB=2 cm,AC=3 cm. (1)尺規(guī)作圖 :作 BC邊的垂直平分線分別交 AC,BC于點(diǎn) D、 E(保留作圖痕跡 ,不要求寫作法 )。=90176。,DE39。CE∠ ACE=∠ ACB∠ ACE, 即 ∠ E39。, ∴ DE39。, ∴∠ E39。2α,∴∠ BAD=∠ BAC∠ CAD=2β=2∠ CDE,即 ∠ CDE=? ∠ BAD,C正確 。,∴ 點(diǎn) D與點(diǎn) B在圓 O上 ,∵ BD平分 ∠ ABC,∴ AD=CD,∴∠ DCA=45176。,AB=AC=4,D是 BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,連接 AD,以 AD為邊向右側(cè)作等腰直角△ ADE,其中 ∠ ADE=90176。,∠ AMC=45176。+AE39。AM=? AM2. 在 Rt△ AMB中 ,有 AM2=AB2+BM2=9+BM2, ∴ BMAN≤ ? , ∴ 當(dāng) BM=2時(shí) ,BM的周長就是所求的周長的最小值 . 在 Rt△ ABN中 , ∵ AB=4,BN=2BM=2AB=8, ∴ AN=? =4? . ∴ △ ABE周長的最小值為 AB+AN=4+4? . 22AB BN? 556.(2022福州質(zhì)檢 ,26)如圖所示 ,矩形 ABCD中 ,AB=3,BC=2,點(diǎn) M在 BC邊上 ,連接 AM,作 ∠ AMN=∠ AMB,點(diǎn) N在直線 AD上 ,MN交 CD邊于點(diǎn) E. (1)求證 :△ AMN是等腰三角形 。, ∴∠ BAD=∠ MAE, 22 2 2AHAG AEAD2 2在等腰直角△ BAM和等腰直角△ DAE中 , AM=? AB,AE=? AD. ∴ ? =? . ∴ △ ABD∽ △ AME. ∴∠ AME=∠ ABD=45176。 (2)如圖 3,連接 BE,直接寫出當(dāng) BD為何值時(shí) ,△ ABE是等腰三角形 。,∴∠ ACB=∠ DCB∠ DCA=15176。,AC=6,BC=8,AD平分 ∠ BAC,則點(diǎn) B到 AD的距離 是 ? ( ) ? D.? 5 1 2 1 31322AC CD? 512 125 5答案 C 過點(diǎn) D作 DE⊥ AB于 E,設(shè) CD=x,∵ AD平分 ∠ BAC,∠ C=90176。C=EC,DC=DC, ∴ △ E39。AE AD? 2243?∵∠ DCE=45176。CA≌ △ ECB, ∴∠ E39。=CE,∠ E39。,BC=1,AC= B為圓心 ,BC長為半徑畫弧 交 AB于點(diǎn) D,以點(diǎn) A為圓心 ,AD長為半徑畫弧 ,交 AC于點(diǎn) E,保留作圖痕跡 ,并求 ? 的值 . ? AEAC解析 如圖所示 . ? ∵ 在 Rt△ ABC中 ,BC=1,AC=2, ∴ AB=? =? . 由作圖知 BD=BC,AE=AD. ∵ BC=1,∴ AE=AD=? 1.∴ ? =? . 2212? 55AEAC 512?B組 2022— 2022年模擬 ,∠ D=150176?！?A∠ B=60176。,∠ B=40176。,A,E分別是 DE,AC的中點(diǎn) ,點(diǎn) F在 AB邊上 ,則 AB= . ? 答案 2? 5解析 ∵ △ DEF是等腰直角三角形 ,∠ DEF=90176。.求證 :a2+b2=c2. 圖 1 證明 :連接 DB,過點(diǎn) D作 BC邊上的高 DF,則 DF=EC=ba. ∵ S四邊形 ADCB=S△ ACD+S△ ABC=? b2+? ab,又 ∵ S四邊形 ADCB=S△ ADB+S△ DCB=? c2+? a(ba),∴ ? b2+? ab=? c2+? a (ba).∴ a2+b2=c2. 請(qǐng)參照上述證法 ,利用圖 2完成下面的證明 . 12 12 12 12 12 12 12 12圖 2 將兩個(gè)全等的直角三角形按圖 2所示擺放 ,其中 ∠ DAB=90176。 (2)若 ∠ BAD=60176。,繼續(xù)用同樣的方法作 Rt△ HIC,∠ HCI=90176。,AC=3,點(diǎn) P為邊 BC的三等 分點(diǎn) ,連接 AP,則 AP的長為 . 答案 ? 或 ? 10 13解析 當(dāng) CP=1時(shí) ,根據(jù)勾股定理得 AP=? =? 。,∴ tan∠ BAO=? , ∴∠ BAO=30176。,∴∠ ADG=4 5176。,∠ B+∠ 6=90176。=4? ,過點(diǎn) E作 EF⊥ AB于點(diǎn) F,∵ BE是 ∠ ABC的平分線 ,∴ DE=EF,∵∠ ABC=60176。,AD和 DE是△ ABC的三分線 ,點(diǎn) D在 BC邊上 ,點(diǎn) E在 AC邊上 ,且 AD=BD,DE= ????兩 條 線 段 ∠ C=x176。,∴∠ MON=135176。. ∴∠ PCE=∠ PCO+∠ OCE=∠ QDO+∠ ODE=∠ EDQ. 又 ∵ PC=? AO=CO=ED,CE=OD=? OB=DQ, ∴ △ PCE≌ △ EDQ.? (5分 ) (2)① 證明 :如圖 ,連接 OR. 12 12∵ PR與 QR分別為線段 OA與 OB的中垂線 , ∴ AR=OR=BR,∠ ARC=∠ ORC,∠ ORD=∠ BRD. 在四邊形 OCRD中 ,∠ OCR=∠ ODR=90176。, ∴∠ BAD=∠ FCG. 又 ∵∠ AFE=∠ CFG,AF=CF, ∴ △ AFE≌ △ CFG(ASA), ∴ EF=FG. ∵ AB=AC,AD為 BC邊上的中線 , ∴ CD=? BC=1. ∵∠ DCF=75176。, ∴ △ CDG為等腰直角三角形 ,∴∠ DCG=45176。. 6.(2022北京 ,16,3分 )下面是“經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程 . 已知 :直線 l和 l外一點(diǎn) P. ? 求作 :直線 l的垂線 ,使它經(jīng)過點(diǎn) P. 作法 :如圖 , (1)在直線 l上任取兩點(diǎn) A,B。,AD⊥ DC, ∴ 在△ ADC中 ,∠ C=90176。 答案 A ∵ AB=AD,∴∠ ADB=∠ B=70176。 ③ 如圖 3,以 C為圓心 ,BC長為半徑畫弧 ,交 AB于 M,交 AC于點(diǎn) F,則△ BCM、△ BCF是等腰三角 形 。+25176。,∠ C=25176。+∠ QAC=45176。)AD AD? 32 222( 39。=? = ? =4? ,易知 ∠ D39。+∠ CAD,即 ∠ BAD=∠ CAD39。, 所以 BP=OB,因?yàn)?OA=OB=2,所以 OP=OA= 2,又因?yàn)?∠ AOC=60176。EF不可能為直角三角形 ,當(dāng)點(diǎn) A39。③ 當(dāng)點(diǎn) A39。C=A39。C為正方形 ,∴ AB=AC=4。F,∴ △ A39。 BC與△ ABC關(guān)于 BC所在直線對(duì)稱 .點(diǎn) D,E分別為 AC,BC的中點(diǎn) ,連接 DE并延長交 A39。=90176。=90176。. ∴ △ CEF是等邊三角形 .? (12分 ) 3 2考點(diǎn)二 直角三角形 1.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,將兩個(gè)大小、形狀完全相同的△ ABC和△ A39。. ∴ AE=? AD,∴ AE=DH.? (6分 ) ∵∠ FDA=∠ FAD,∠ HDA=∠ EAD=60176。,∴ AD=2.? (3分 ) 在 Rt△ ADB中 ,∵∠ DAB=90176。.點(diǎn) E是 ∠ BAC角平分線上一 點(diǎn) .過點(diǎn) E作 AE的垂線