【正文】 (1)尺規(guī)作圖 :作 BC邊的垂直平分線分別交 AC,BC于點(diǎn) D、 E(保留作圖痕跡 ,不要求寫作法 )。,∴ BC=2DC, ∵∠ ACB=∠ E+∠ CDE,∴∠ CDE=∠ E=30176。. ∴∠ BMN=∠ BMC+∠ CMN=90176。,∠ DCE=90176。.在 Rt△ O39。,∴ 在 Rt△ ENM中 ,EN=? EM =2? cm,MN=EM=2 cm,∴ DN=DMMN=? DBMN=(2? 2)cm,在 Rt△ DFN中 ,FN=? DN=(? ? )cm,∴ EF=EN+FN=2 ? +? ? =(? +? )cm. ? 312 122 2123 226 22 6 2 2 6一題多解 過(guò)點(diǎn) A作 AG⊥ CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G,∵∠ CDB=∠ CBD=45176。,AD⊥ BC,垂足為 D,∠ ABC的平 分線交 AD于點(diǎn) E,則 AE的長(zhǎng)為 ? ( ) ? ? ? C.? ? D.? ? 2 2432832答案 D ∵ AC=8,∠ C=45176。. 于是在四邊形 OCRD中 ,∠ OCR=∠ ODR=90176。45176。2=80176。 176。,所以 ∠ ADC=1 80176?！?PAB=45176。,在 Rt△ DAD39。cos∠ OAP=4? =2? . 如圖③ ,∠ ABP=90176。可以在直線 DE的下方或上方 .分類 討論 ,當(dāng)點(diǎn) A39。EC=∠ ACE=∠ A39。,∠ EA39。=3? ,在△ AB39。. ∴∠ FGC=30176。, ∴ AB=2AC=4? .? (2分 ) ∵ DA⊥ AB,DH⊥ AC,∴∠ DAB=∠ DHA=90176。. ∵ BD平分 ∠ ABC, ∴∠ ABD=36176。, 此時(shí) ,底角 =(180176。. ∵ G是 EF的中點(diǎn) ,∴ EG=? . ∴ 在 Rt△ DEG中 ,DG=? =? =? . 1233222DE EG? 22 32 2??? ????192疑難突破 本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì) ,勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)定理求線段 DG的長(zhǎng) ,DG與圖中的線段無(wú)直接的關(guān)系 ,所以應(yīng)根據(jù)條件連接 DE,構(gòu)造直角三角形 ,運(yùn)用勾股 定理求出 DG的長(zhǎng) . 思路分析 連接 DE,根據(jù)題意可得 DE∥ AC,又 EF⊥ AC,可得到 ∠ FEC的度數(shù) ,判斷出△ DEG是 直角三角形 ,再根據(jù)勾股定理即可求解 DG的長(zhǎng) . 7.(2022遼寧沈陽(yáng) ,16,3分 )如圖 ,△ ABC是等邊三角形 ,AB=? ,點(diǎn) D是邊 BC上一點(diǎn) ,點(diǎn) H是線段 AD 上一點(diǎn) ,連接 BH、 CH,當(dāng) ∠ BHD=60176。,∴∠ BFC=∠ ABF+∠ BAF=15176。第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 等腰三角形與直角三角形 中考數(shù)學(xué) (福建專用 ) 1.(2022福建 ,5,4分 )如圖 ,等邊三角形 ABC中 ,AD⊥ BC,垂足為 D,點(diǎn) E在線段 AD上 ,∠ EBC=45176。,∴∠ ABF=15176。=90176。=54176。, ∴∠ ABC=∠ C=72176。,∴∠ ABC=30176。, 1212∴ △ GAC為等邊三角形 .? (10分 ) ∴ AC=CG,∠ ACG=∠ AGC=60176。全等且均為等腰直角三角形 ,∵ AC=BC=3,∴ AB=3? ,∴ AB39。F=90176。E∥ AC,所以 ∠ A39。EF為直角三角形時(shí) ,AB的長(zhǎng)為 4或 4? . ? 圖 1 ? 圖 2 33? 圖 3 思路分析 由題意知 ,點(diǎn) B為邊 AN上的動(dòng)點(diǎn) ,A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) A39。,所以 AP=AB=90176。α. ∵ QH⊥ AP,∴∠ AMQ=90176。 答案 B 因?yàn)橹本€ DE是 AC的垂直平分線 ,所以 AD=DC,所以 ∠ DAC=∠ C=25176。 176。50176。15176。, 即△ PEQ為等腰直角三角形 . 由于△ ARB∽ △ PEQ,所以 ∠ ARB=90176。,∠ C=45176。,∴ AB=8 cm,DB=4? cm,∵ 點(diǎn) E為 AB的中點(diǎn) ,EM⊥ BD,∴ DE=? AB=4 cm,EM=? AD=2 cm,由等腰直角三 角形的性質(zhì)可知 ∠ ENM=∠ FND=45176。AO=60176。,CD⊥ AB交 AB于 CD為較短的 直角邊向△ CDB的同側(cè)作 Rt△ DEC,滿足 ∠ E=30176。. 由 MN∥ AD,可得 ∠ CMN=∠ CAD=30176。,BD⊥ AC,∴∠ BDC=90176?！?A∠ ACD=80176。的位置 ,連接 AE39。AC+∠ CAB=90176。2(α+β),又 ∠ BAC=180176。? ,∴ AC=? . 433 863三、解答題 (共 28分 ) 5.(2022寧德質(zhì)檢 ,24)如圖 1,在△ ABC中 ,∠ BAC=90176。=BE39。AN的值最大 ,為 ? . (3)∵ M為 BC的中點(diǎn) ,∴ BM=CM=1, 由 (2)知 AM2=2AN, ∴ 點(diǎn) E在射線 MC上 . 2 2AMAB AEAD作點(diǎn) B關(guān)于直線 MC的對(duì)稱點(diǎn) N,連接 AN交 MC于點(diǎn) E39。. 連接 OB,過(guò)點(diǎn) B作 BE⊥ AC于 E, ∴∠ AOB=2∠ ACB=30176。CD≌ △ ECD, ∴ ED=E39。AC=∠ B=45176。 提升題組 (時(shí)間 :15分鐘 分值 :40分 ) 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 9分 ) 1.(2022龍巖質(zhì)檢 ,10)如圖 ,∠ ACB=90176。. ∴∠ ACD=60176。,∠ C=90176。,AC平分 ∠ BAD,AC=2,求 BN的長(zhǎng) . 解析 (1)證明 :在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。當(dāng) CP=2時(shí) ,根據(jù)勾股定理得 AP= ? =? =? ,故 AP的長(zhǎng)為 ? 或 ? . 2231? 1022AC CP? 2232? 13 10 138.(2022上海 ,18,4分 )已知在△ ABC中 ,AB=AC=8,∠ BAC=30176。,由題意可得 AO39。,∴∠ 5=∠ B. ∵∠ 3=∠ 1+∠ 5,∠ 4=∠ 2+∠ B,∠ 1=∠ 2, ∴∠ 3=∠ 4,∴ CE=CF. ∵ AC=3,AB=5,∴ BC=4. 在 Rt△ BFG中 ,設(shè) CF=x(x0), 則 FG=x,BF==ABAG=53=2. 由 BF2=FG2+BG2,得 (4x)2=x2+22,解得 x=? , ∴ CE=CF=? .選 A. 32324.(2022北京 ,6,3分 )如圖 ,公路 AC,BC互相垂直 ,公路 AB的中點(diǎn) M與點(diǎn) C被湖隔開 ,若測(cè)得 AM的長(zhǎng) 為 km,則 M,C兩點(diǎn)間的距離為 ? ( ) ? km km km km 答案 D ∵ AC⊥ BC,M是 AB的中點(diǎn) ,∴ MC=? AB=AM= D. 125.(2022山西 ,15,3分 )一副三角板按如圖方式擺放 ,得到△ ABD和△ BCD,其中 ∠ ADB=∠ BCD=9 0176。,試畫出示意圖 ,并求出 x所有可能的值 。,∠ MON=150176。. 12答案 ? 1 3∵∠ ACE=? ∠ BAC,∴∠ ACE=∠ CAD, ∴ AF=CF. ∵∠ ACE=? ∠ BAC=15176?！?DAC=55176。 ④ 如圖 4,作 AC的垂直平分線交 AB于點(diǎn) H,則△ ACH就是等腰三角形 。,則 ∠ BAD為 ? ( ) ? 176。)DC DD? 9 32? 4141評(píng)析 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì) ,屬難題 . 6.(2022北京 ,28,7分 )在等腰直角△ ABC中 ,∠ ACB=90176。. 在△ BAD與△ CAD39。,所以△ POA為等邊三角形 ,所以 AP=2. 如圖② ,∠ APB=90176。在直線 DE上方時(shí) ,∠ EA39。② 當(dāng)點(diǎn) A39。B所在直線 于點(diǎn) F,連接 A39。,AC=BC=3,則 B39。, ∴∠ FDA∠ HDA=∠ FAD∠ EAD. ∴∠ FDH=∠ FAE.? (7分 ) ∴ △ FDH≌ △ FAE(SAS).∴ FH=FE.? (8分 ) (3)△ CEF是等邊三角形 .? (9分 ) 理由如下 :取 AB的中點(diǎn) G,連接 FG, . 121212? ∵ F是 BD的中點(diǎn) ,∴ FG∥ DA,FG=? DA. ∴∠ FGA=180176。 (2)如圖 1,求證 :HF=EF。. ? 綜上 ,該等腰三角形底角的度數(shù)是 63176。,則該等腰三角 形的底角的度數(shù)為 . 答案 63176。. ∴∠ FEC=30176。 176。 176。,AB=6,D是 AB的中點(diǎn) ,則 CD= . ? 答案 3 解析 依題意可知 CD是直角三角形 ABC斜邊上的中線 ,由“直角三角形斜邊上的中線等于斜 邊的一半”可得 CD=? AB=3. 125.(2022福建 ,15,4分 )把兩個(gè)同樣大小的含 45176。, ∵ △ ABC是等邊三角形 ,∴ AB=BC,∠ ABC=60176。 ? ② 若三角形是鈍角三角形 ,則 ∠ BAC=36176。,∠ DEC=∠ A=60176。,∴ AF=DF, ∴∠ FDA=∠ FAD.? (5分 ) ∵ DE⊥ AE,∴∠ DEA=90176。C39。C是直角三角形 ,∴ B39。(2)① 當(dāng)點(diǎn) A39。E=EC,∴ △ A39。EF或 ∠ A39。=2? . 在 Rt△ ABP中 ,AP=? =? =? =2? . 綜上所述 ,AP的長(zhǎng)為 2或 2? 或 2? . 323322AB BP? 224 (2 3)? 28 73 7? 評(píng)析 本題是以等腰三角形中的動(dòng)點(diǎn)為背景的分類討論型問(wèn)題 ,考查了含特殊角的直角三角 形的邊角關(guān)系 ,勾股定理等知識(shí) ,本題易漏掉某種情況 ,屬易錯(cuò)題 . 5.(2022湖北武漢 ,16,3分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AD=4,CD=3,∠ ABC=∠ ACB=∠ ADC=45176。,在 Rt△ CDD39。, ∴∠ MQN=∠ PAC,∴∠ MQN=∠ QAC, ∴ Rt△ QAC≌ Rt△ MQN, ∴ QC=MN,∴ PQ=2QC=2MN=? MB. 2解題關(guān)鍵 解決本題第 (2)問(wèn)的關(guān)鍵是要通過(guò)添加輔助線構(gòu)造全等三角形 ,從而找出邊與邊之 間的數(shù)量關(guān)系 . 7.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,21,7分 )已知 ,如圖 ,△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ ECD=90176。.因?yàn)?∠ ADC=∠ B+∠ BAD,所以 ∠ BAD=∠ ADC∠ B=130176。,故選 A. 124.(2022江蘇蘇州 ,7,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,D為 BC中點(diǎn) ,∠ BAD=35176。 (3)作直線 PQ. 所以直線 PQ就是所求作的垂線 . ? 請(qǐng)回答 :該作圖的依據(jù)是 . 答案 三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 。=60176。. ∴∠ CBE=90176。,在 Rt△ AEF中 ,EF=? AE,又 ∵ AD=4? ,DE=EF,∴ AE=? AD=? ? ,故選 D. 212223 832思路分析 首先利用 AC的長(zhǎng)及 ∠ C的正弦求出 AD的長(zhǎng) ,進(jìn)而通過(guò)角平分線的性質(zhì)及直角三角 形中 30度角的性質(zhì)確定 DE和 AE的數(shù)量關(guān)系 ,最后求出 AE的長(zhǎng) . 2.(2022黑龍江齊齊哈爾 ,16,3分 )四邊形 ABCD中 ,BD是對(duì)角線 ,∠ ABC=90176。,∴ BD=? AD=4? cm,∵∠ CBD=45176。=? ,O39。,∠ ACB=90176。 基礎(chǔ)題組 (時(shí)間 :40分鐘 分值 :55分 ) 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 6分 ) 1.(2022南平質(zhì)檢 ,8)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。 (要求 :尺規(guī)作圖 ,保留作圖痕跡 ,不寫作法 ) (2)在 (1)的條件下 ,連接 CD,求證 :AC=CD. 解析 (1)如圖 ,直線 DE即為所求 . ? (2)證法一 :∵ DE垂直平分 BC,∴ BD=CD, ∴∠ 1=∠ B=40176。,∴ △ ABD是等邊三角形 , ∴ BD=AD=3,∠ ADB=60176。. ∵∠ ACB=90176。CD=∠ E39。DE=? AD. ∵ H為 BC中點(diǎn) ,∴ AH⊥ BC. ∴∠ BAH=45176。AN的最大值 。,∠ MAN=∠ AMB, ∴ △ NAH∽ △ AMB, ∴ ? =? , 12ANAM AHBM∴ BM,∠ AMB=∠ BAM=45176。,BD平分 ∠ ABC,∠ DCB=60176。45176。,∠ E39。, ∴∠ CDB=∠ ADC∠ ADB=150176。. ∵∠ A=80176。F是 BC的中點(diǎn) ,所以 AF是△ ABC的中線 ,而不是中位線 ,B錯(cuò)誤 。.? (1分 ) ∵ CD⊥ AB,∴∠ ADC=90176。,OA在 x軸上 ,OB在 y軸上 ,點(diǎn) A,B的坐標(biāo)分別為 (? ,0),(0,1).把 Rt△ AOB沿著 AB對(duì)折得到△ AO