【正文】 ∴∠ DAH=30176。,∴ AD=2.? (3分 ) 在 Rt△ ADB中 ,∵∠ DAB=90176。,∴ BD2=AD2+AB2. ∴ BD=? =2? .? (4分 ) (2)證明 :連接 AF,如圖 . ? 31233222 (4 3)? 13∵ F是 BD的中點 ,∠ DAB=90176。,∴ AF=DF, ∴∠ FDA=∠ FAD.? (5分 ) ∵ DE⊥ AE,∴∠ DEA=90176。. ∵∠ DHA=90176。,∠ DAH=30176。, ∴ DH=? AD. ∵ AE平分 ∠ BAC,∴∠ CAE=? ∠ BAC=30176。. ∴∠ DAE=60176。,∴∠ ADE=30176。. ∴ AE=? AD,∴ AE=DH.? (6分 ) ∵∠ FDA=∠ FAD,∠ HDA=∠ EAD=60176。, ∴∠ FDA∠ HDA=∠ FAD∠ EAD. ∴∠ FDH=∠ FAE.? (7分 ) ∴ △ FDH≌ △ FAE(SAS).∴ FH=FE.? (8分 ) (3)△ CEF是等邊三角形 .? (9分 ) 理由如下 :取 AB的中點 G,連接 FG, . 121212? ∵ F是 BD的中點 ,∴ FG∥ DA,FG=? DA. ∴∠ FGA=180176?！?DAG=90176。, 又 ∵ AE=? AD,∴ AE=FG. 在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, 點 G為 AB的中點 , ∴ CG=AG. 又 ∵∠ CAB=60176。, 1212∴ △ GAC為等邊三角形 .? (10分 ) ∴ AC=CG,∠ ACG=∠ AGC=60176。. ∴∠ FGC=30176。,∴∠ FGC=∠ EAC. ∴ △ FGC≌ △ EAC(SAS).? (11分 ) ∴ CF=CE,∠ ACE=∠ GCF. ∵∠ ECF=∠ ECG+∠ GCF=∠ ECG+∠ ACE=∠ ACG=60176。. ∴ △ CEF是等邊三角形 .? (12分 ) 3 2考點二 直角三角形 1.(2022陜西 ,6,3分 )如圖 ,將兩個大小、形狀完全相同的△ ABC和△ A39。B39。C39。拼在一起 ,其中點 A39。與 點 A重合 ,點 C39。落在邊 AB上 ,連接 B39。 ∠ ACB=∠ AC39。B39。=90176。,AC=BC=3,則 B39。C的長為 ? ( ) ? ? D.? 21答案 A 由題意得△ ABC與△ A39。B39。C39。全等且均為等腰直角三角形 ,∵ AC=BC=3,∴ AB=3? ,∴ AB39。=3? ,在△ AB39。C中 ,易知 ∠ CAB39。=90176。,∴ △ AB39。C是直角三角形 ,∴ B39。C=? =3? . 22223 (3 2)?3322.(2022安徽 ,10,4分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,AB⊥ BC,AB=6,BC=△ ABC內(nèi)部的一個動點 ,且滿足 ∠ PAB=∠ CP長的最小值為 ? ( ) A.? C.? D.? 8 1 313 1 2 1 313答案 B ∵∠ PAB=∠ PBC,∠ PBC+∠ ABP=90176。,∴∠ PAB+∠ ABP=90176。,∴∠ P=90176。.設(shè) AB的中 點為 O,則 P在以 AB為直徑的圓上 .當(dāng)點 O,P,C三點共線時 ,線段 CP最短 ,∵ OB=? AB=3,BC=4,∴ OC=? =5,又 OP=? AB=3,∴ 線段 CP長的最小值為 53=2,故選 B. 122234?123.(2022云南 ,6,3分 )在△ ABC中 ,AB=? ,AC=5,若 BC邊上的高等于 3,則 BC邊的長為 . 34答案 1或 9 解析 分兩種情況討論 : ① BC邊上的高在△ ABC內(nèi)時 ,如圖 ,過 A作 AD⊥ BC于點 D. 在 Rt△ ABD中 ,∵ AB=? ,AD=3,∴ BD=? =5. 在 Rt△ ACD中 ,∵ AC=5,AD=3,∴ CD=? =4.∴ BC=BD+CD=9. ? ② BC邊上的高位于△ ABC外時 ,如圖 ,同①可求得 BD=5,CD=4, ∴ BC=1. ? 綜上 ,BC的長為 1或 9. 34 22AB AD?22AC AD?思路分析 根據(jù)題意畫圖 ,要考慮全面 ,利用勾股定理解直角三角形即可 . 易錯警示 本題容易只考慮 BC邊上的高在△ ABC內(nèi)的情況而導(dǎo)致漏解 . 4.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,∠ MAN=90176。,點 C在邊 AM上 ,AC=4,點 B為邊 AN上一動點 ,連接 BC,△ A39。 BC與△ ABC關(guān)于 BC所在直線對稱 .點 D,E分別為 AC,BC的中點 ,連接 DE并延長交 A39。B所在直線 于點 F,連接 A39?！?A39。EF為直角三角形時 ,AB的長為 . ? 答案 4或 4? 3解析 (1)當(dāng)點 A39。在直線 DE下方時 ,如圖 1,∵∠ CA39。F=90176。,∠ EA39。F∠ CA39。F,∴ △ A39。EF為鈍角三角 形 ,不符合 。(2)① 當(dāng)點 A39。在直線 DE上方時 ,如圖 ∠ A39。FE=90176。時 , ∵ DE∥ AB,∴∠ EDA=90176。,∴ A39。B∥ ABA39。C為正方形 ,∴ AB=AC=4。② 當(dāng)點 A39。 在直線 DE上方時 ,如圖 ∠ A39。EF=90176。時 ,A39。E∥ AC,所以 ∠ A39。EC=∠ ACE=∠ A39。CE, ∴ A39。C=A39。E.∵ A39。E=EC,∴ △ A39。CE為等邊三角形 ,∴∠ ACB=∠ A39。CB=60176。,∴ 在 Rt△ ACB中 ,AB=AC tan 60176。=4? 。③ 當(dāng)點 A39。在直線 DE上方時 ,∠ EA39。F∠ CA39。B,不可能為 90176。. 綜上所述 ,當(dāng)△ A39。EF為直角三角形時 ,AB的長為 4或 4? . ? 圖 1 ? 圖 2 33? 圖 3 思路分析 由題意知 ,點 B為邊 AN上的動點 ,A點的對稱點 A39?？梢栽谥本€ DE的下方或上方 .分類 討論 ,當(dāng)點 A39。在 DE的下方時 ,△ A39。EF不可能為直角三角形 ,當(dāng)點 A39。在直線 DE上方時 ,∠ A39。EF或 ∠ A39。FE為 90176。時分別計算 AB的長 ,顯然 ∠ EA39。F90176。,可以排除 . 方法總結(jié) 解對稱 (折疊 )型問題 ,當(dāng)對稱軸過定點時 ,一般要找出對稱中的定長線段 ,以定點為 圓心 ,定長為半徑作輔助圓來確定對稱點的軌跡是較為有效的方法 .再根據(jù)題目中所要求的條 件 ,結(jié)合全等、相似或勾股定理等計算得出結(jié)果 . 5.(2022江西南昌 ,14,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=BC=4,AO=BO,P是射線 CO上的一個動點 ,∠ AOC=60176。,則當(dāng)△ PAB為直角三角形時 ,AP的長為 . 答案 2或 2? 或 2? 3 7解析 由題意知 ,滿足條件的點 P有三個位置 .如圖① ,∠ APB=90176。,因為 OA=OB=2,所以 OP=OA= 2,又因為 ∠ AOC=60176。,所以△ POA為等邊三角形 ,所以 AP=2. 如圖② ,∠ APB=90176。,因為 OA=OB=2,所以 OP=OA=OB=2,又 ∠ AOC=∠ BOP=60176。,所以△ OBP為 等邊三角形 ,所以 ∠ OBP=60176。,所以 ∠ OAP=30176。,所以 AP=ABcos∠ OAP=4? =2? . 如圖③ ,∠ ABP=90176。,因為 ∠ BOP=∠ AOC=60176。, 所以 BP=OBtan 60176。=2? . 在 Rt△ ABP中 ,AP=? =? =? =2? . 綜上所述 ,AP的長為 2或 2? 或 2? . 323322AB BP? 224 (2 3)? 28 73 7? 評析 本題是以等腰三角形中的動點為背景的分類討論型問題 ,考查了含特殊角的直角三角 形的邊角關(guān)系 ,勾股定理等知識 ,本題易漏掉某種情況 ,屬易錯題 . 5.(2022湖北武漢 ,16,3分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AD=4,CD=3,∠ ABC=∠ ACB=∠ ADC=45176。,則 BD的長為 . ? 答案 ? 41解析 作 AD39?！?AD,且使 AD39。=AD,連接 CD39。,DD39。,如圖 . 由已知條件可得 ∠ BAC+∠ CAD=∠ DAD39。+∠ CAD,即 ∠ BAD=∠ CAD39。. 在△ BAD與△ CAD39。中 , ? ∴ △ BAD≌ △ CAD39。(SAS), ∴ BD=CD39。.又 ∠ DAD39。=90176。,在 Rt△ DAD39。中 ,由勾股定理得 DD39。=? = ? =4? ,易知 ∠ D39。DA+∠ ADC=90176。,在 Rt△ CDD39。中 ,由勾股定理得 CD39。=?= ? =? ,∴ BD= CD39。=? . ? ,39。,39。,B A C AB A D C A DA D A D???? ? ?????22( 39。)AD AD? 32 222( 39。)DC DD? 9 32? 4141評析 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì) ,屬難題 . 6.(2022北京 ,28,7分 )在等腰直角△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,P是線段 BC上一動點 (與點 B,C不重合 ), 連接 AP,延長 BC至點 Q,使得 CQ=CP,過點 Q作 QH⊥ AP于點 H,延長交 AB于點 M. (1)若 ∠ PAC=α,求 ∠ AMQ的大小 (用含 α的式子表示 )。 (2)用等式表示線段 MB與 PQ之間的數(shù)量關(guān)系 ,并證明 . ? 22解析 (1)∵ △ ACB是等腰直角三角形 , ∴∠ CAB=45176。,∴∠ PAB=45176。α. ∵ QH⊥ AP,∴∠ AMQ=90176?！?PAB=45176。+α. (2)線段 MB與 PQ之間的數(shù)量關(guān)系為 PQ=? MB. 證明 :連接 AQ,過點 M作 MN⊥ BQ于點 N,如圖 . ? 則△ MNB為等腰直角三角形 ,MB=? MN. ∵ AC⊥ BQ,CQ=CP,∴ AP=AQ,∠ QAC=∠ PAC. ∴∠ QAM=∠ BAC+∠ QAC=45176。+∠ QAC=45176。+∠ PAC=∠ AMQ, ∴ QA=QM. ∵∠ MQN+∠ APQ=∠ PAC+∠ APQ=90176。, ∴∠ MQN=∠ PAC,∴∠ MQN=∠ QAC, ∴ Rt△ QAC≌ Rt△ MQN, ∴ QC=MN,∴ PQ=2QC=2MN=? MB. 2解題關(guān)鍵 解決本題第 (2)問的關(guān)鍵是要通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形 ,從而找出邊與邊之 間的數(shù)量關(guān)系 . 7.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,21,7分 )已知 ,如圖 ,△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ ECD=90176。,D為 AB邊上一點 . (1)求證 :△ ACE≌ △ BCD。 (2)求證 :2CD2=AD2+DB2. ? 證明 (1)∵ △ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 , ∴ CD=CE,AC=BC,∠ ECD=∠ ACB=90176。,∴∠ ECD∠ ACD=∠ ACB∠ ACD, 即 ∠ ECA=∠ DCB.? (1分 ) 在△ ACE與△ BCD中 ,? ? (3分 ) ∴ △ ACE≌ △ BCD.? (4分 ) (2)∵ △ ACE≌ △ BCD, ∴ AE=BD.? (5分 ) ∵∠ EAC=∠ BAC=45176。,∴∠ EAD=90176。. 在 Rt△ EAD中 ,ED2=AD2+AE2, ∴ ED2=AD2+BD2.? (6分 ) 又 ED2=EC2+CD2=2CD2, ∴ 2CD2=AD2+DB2.? (7分 ) ,E C D CA C E B C DA C B C???? ? ??? ?? C組 教師專用題組 考點一 等腰三角形 1.(2022湖北黃岡 ,4,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,直線 DE是 AC的垂直平分線 ,且分別交 BC,AC于點 D和 E,∠ B=60176。,∠ C=25176。,則 ∠ BAD為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 B 因為直線 DE是 AC的垂直平分線 ,所以 AD=DC,所以 ∠ DAC=∠ C=25176。,所以 ∠ ADC=1 80176。(25176。+25176。)=130176。.因為 ∠ ADC=∠ B+∠ BAD,所以 ∠ BAD=∠ ADC∠ B=130176。60176。=70176。,故選 B. 2.(2022湖北武漢 ,10,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,以△ ABC的一邊為邊畫等腰三角形 ,使得 它的第三個頂點在△ ABC的其他邊上 ,則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為 ? ( ) ? 答案 D ①