【正文】 ∠ A=30176。, ∴ AC=? =? =2? ,由題意 ,得 EF=AC=2? . 在 Rt△ EFC中 ,∠ E=45176。, ∴ CF=EFsin 45176。=2? ? =? .∴ AF=ACCF=2? ? . tanBCA 2tan 30?3 33 226 3 610.(2022臺州 ,20,8分 )保護(hù)視力要求人寫字時眼睛和筆端的距離應(yīng)超過 30 1是一位同學(xué) 的坐姿 ,把她的眼睛 B,肘關(guān)節(jié) C和筆端 A的位置關(guān)系抽象成圖 2的△ BC=30 cm,AC=22 cm,∠ ACB=53176。,她的這種坐姿符合保護(hù)視力的要求嗎 ?請說明理由 . (參考數(shù)據(jù) :sin 53176?！?,cos 53176?！?,tan 53176?！?) ? 圖 1 圖 2 解析 該同學(xué)的這種坐姿不符合保護(hù)視力的要求 .? (1分 ) 理由 :如圖 ,過點(diǎn) B作 BD⊥ AC于點(diǎn) D,在 Rt△ BDC中 , ? BD=BCsin 53176?！?30=24 cm,? (3分 ) CD=BCcos 53176?！?30=18 cm,? (5分 ) ∴ AD=ACCD=4 cm.? (6分 ) 在 Rt△ ABD中 ,AB=? =? (cm)30(cm). ∴ 該同學(xué)的這種坐姿不符合保護(hù)視力的要求 .? (8分 ) 22AD BD? 59211.(2022紹興 ,20,8分 )如圖 ,從地面上的點(diǎn) A看一山坡上的電線桿 PQ,測得桿頂端點(diǎn) P的仰角是 45176。,向前走 6 m到達(dá) B點(diǎn) ,測得桿頂端點(diǎn) P和桿底端點(diǎn) Q的仰角分別是 60176。和 30176。. (1)求 ∠ BPQ的度數(shù) 。 (2)求該電線桿 PQ的高度 (結(jié)果精確到 1 m). 備用數(shù)據(jù) :? ≈ ,? ≈ . ? 3 2解析 延長 PQ交直線 AB于點(diǎn) C. ? (1)∠ BPQ=90176。60176。=30176。. (2)設(shè) PQ=x m,則 QB=QP=x, 在△ BCQ中 ,BC=xcos 30176。=? x, QC=? x, 在△ ACP中 ,CA=CP,∴ 6+? x=? x+x, x=2? +6, 321232 123∴ PQ=2? +6≈ 9,即該電線桿 PQ的高度約為 9 m. 312.(2022臺州 ,19,8分 )如圖是一把可調(diào)節(jié)座椅的側(cè)面示意圖 ,已知頭枕上的點(diǎn) A到調(diào)節(jié)器點(diǎn) O處 的距離為 80 cm,AO與地面垂直 ,現(xiàn)調(diào)整靠背 ,把 OA繞點(diǎn) O旋轉(zhuǎn) 35176。到 OA39。處 ,求調(diào)整后點(diǎn) A39。比調(diào)整 前點(diǎn) A的高度降低了多少 cm.(結(jié)果取整數(shù) ) (參考數(shù)據(jù) :sin 35176?！?,cos 35176。≈ ,tan 35176?！?) ? 解析 如圖 ,過點(diǎn) A39。作 A39。H⊥ OA于點(diǎn) H, ? 由旋轉(zhuǎn)可知 ,OA39。=OA=80,? (1分 ) 在 Rt△ OA39。H中 ,OH=OA39。cos 35176。? (4分 ) ≈ 80=.? (6分 ) ∴ AH=OAOH==≈ 14 cm. 答 :調(diào)整后點(diǎn) A39。比調(diào)整前點(diǎn) A的高度降低了 14 cm. ? (8分 ) 13.(2022嘉興、舟山 ,22,10分 )小紅將筆記本電腦水平放置在桌子上 ,顯示屏 OB與底板 OA的夾 角為 120176。時 (如圖 1),感覺最舒適 ,側(cè)面示意圖為圖 2。使用時為了散熱 ,她在底板下墊入散熱架 ACO39。后 ,電腦轉(zhuǎn)到 AO39。B39。位置 (如圖 3),側(cè)面示意圖為圖 OA=OB=24 cm,O39。C⊥ OA于點(diǎn) C, O39。C=12 cm. (1)求 ∠ CAO39。的度數(shù) 。 (2)顯示屏的頂部 B39。比原來升高了多少 ? (3)墊入散熱架后 ,要使顯示屏 O39。B39。與水平面所成的相應(yīng)角仍保持 120176。,則顯示屏 O39。B39。應(yīng)繞點(diǎn) O39。 按順時針方向旋轉(zhuǎn)多少度 ? ? 解析 (1)∵ O39。C⊥ OA于點(diǎn) C,O39。A=OA=24 cm,O39。C=12 cm, ∴ sin∠ CAO39。=? =? =? . ∴∠ CAO39。=30176。. (2)如圖 ,過點(diǎn) B作 BD⊥ AO交 AO的延長線于點(diǎn) D. ? ∵ sin∠ BOD=? ,∴ BD=OBsin∠ BOD. ∵∠ AOB=120176。,∴∠ BOD=60176。. ∴ BD=OBsin∠ BOD=24? =12? cm. ∵ O39。C⊥ OA,∠ CAO39。=30176。. ∴∠ AO39。C=60176。. ∵∠ AO39。B39。=120176。,∴∠ AO39。B39。+∠ AO39。C=180176。. 39。39。OCOA122412BDOB323∴ 點(diǎn) C、 O39。、 B39。在同一條直線上 . ∴ O39。B39。+O39。CBD=24+1212? =(3612? )cm. ∴ 顯示屏的頂部 B39。比原來升高了 (3612? )cm. (3)顯示屏 O39。B39。應(yīng)繞點(diǎn) O39。按順時針方向旋轉(zhuǎn) 30176。. 理由如下 : 設(shè)電腦顯示屏 O39。B39。繞點(diǎn) O39。按順時針方向旋轉(zhuǎn) α度至 O39。E處時滿足題意 ,作 O39。F∥ OA, 則 ∠ EO39。F=120176。,∵ O39。F∥ AC,∴∠ FO39。A=∠ CAO39。=30176。, ∴∠ EO39。B39。=∠ FO39。A=30176。,即 α=30. ∴ 顯示屏 O39。B39。應(yīng)繞點(diǎn) O39。按順時針方向旋轉(zhuǎn) 30176。. 3 33方法總結(jié) 解此類題需把實(shí)物圖抽象成幾何圖形 ,然后利用解直角三角形求解 . 1.(2022貴州貴陽 ,7,3分 )如圖 ,A,B,C是小正方形的頂點(diǎn) ,且每個小正方形的邊長都為 1,則 tan∠ BAC的值為 ? ( ) ? A.? C.? D.? 12 333B組 20222022年全國中考題組 考點(diǎn)一 銳角三角函數(shù) 答案 B 如圖 ,連接 BC. 在△ ABD和△ BCE中 ,? ∴ △ ABD≌ △ BCE(SAS),∴ AB=BC,∠ ABD=∠ BCE. ∵∠ BCE+∠ CBE=90176。,∴∠ ABD+∠ CBE=90176。,即 ∠ ABC=90176。, ∴ tan∠ BAC=? =1,故選 B. ? ,9 0 ,A D B EA D B B E CB D C E???? ? ? ? ??? ??BCAB2.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,4,3分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,若斜邊 AB是直角邊 BC的 3倍 ,則 tan B的值是 ? ( ) A.? C.? ? 13 242答案 D 在 Rt△ ABC中 ,設(shè) BC=x(x0),則 AB=3x, ∴ AC=? =2? tan B=? =2? .故選 D. 22AB BC? 2ACBC 23.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,11,3分 )已知下列命題 : ① 在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,若 ∠ A∠ B,則 sin Asin B。 ② 四條線段 a,b,c,d中 ,若 ? =? ,則 ad=bc。 ③ 若 ab,則 a(m2+1)b(m2+1)。 ④ 若 |x|=x,則 x≥ 0. 其中原命題與逆命題均為真命題的是 ? ( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ ab cd答案 A 由 |x|=x,可知 x≥ 0,所以 x≤ 0,所以命題④錯誤 .命題①②③及其逆命題均正確 ,故選 A. 4.(2022貴州貴陽 ,18,4分 )如圖① ,在 Rt△ ABC中 ,以下是小亮探索 ? 與 ? 之間關(guān)系的方法 : ∵ sin A=? ,sin B=? , ∴ c=? ,c=? , ∴ ? =? . 根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識 ,在圖②的銳角△ ABC中 ,探索 ? ,? ,? 之間的關(guān)系 ,并寫出 探索過程 . ? sina A sinb Bac bcsina A sinb Bsina A sinb Bsina A sinb B sinc C解析 如圖 1,過點(diǎn) A作 BC邊上的高 AD, ? 圖 1 ∵ 在 Rt△ ABD中 ,sin B=? ,在 Rt△ ACD中 ,sin C=? , ∴ AD=csin B,AD=bsin C, ∴ csin B=bsin C,∴ ? =? . 同理 ,如圖 2,過點(diǎn) B作 AC邊上的高 BE, 圖 2 ADc ADbsinb B sinc C∵ 在 Rt△ ABE中 ,sin A=? ,在 Rt△ BCE中 ,sin C=? , ∴ BE=csin A,BE=asin C, ∴ csin A=asin C,∴ ? =? . 綜上 ,? =? =? . BEc BEasina A sinc Csina A sinb B sinc C1.(2022重慶 ,10,4分 )如圖 ,旗桿及升旗臺的剖面和教學(xué)樓的剖面在同一平面上 ,旗桿與地面垂 直 ,在教學(xué)樓底部 E點(diǎn)處測得旗桿頂端的仰角 ∠ AED=58176。,升旗臺底部到教學(xué)樓底部的距離 DE =7米 ,升旗臺坡面 CD的坡度 i=1∶ ,坡長 CD=2米 ,若旗桿底部到坡面 CD的水平距離 BC=1米 , 則旗桿 AB的高度約為 ? ( ) (參考數(shù)據(jù) :sin 58176?！?,cos 58176?！?,tan 58176?！?) ? 考點(diǎn)二 解直角三角形 答案 B 如圖 ,延長 AB交 ED的延長線于 M,作 CJ⊥ DM于 BMJC是矩形 . ? 在 Rt△ CJD中 ,? =? =? ,設(shè) CJ=4k,DJ=3k,k0,已知 CD=2, 則有 9k2+16k2=4,解得 k=? , ∴ BM=CJ=? ,DJ=? ,又 ∵ BC=MJ=1, ∴ EM=MJ+DJ+DE=? , 在 Rt△ AEM中 ,tan∠ AEM=? ,∴ tan 58176。=? ≈ , 解得 AB≈ (米 ),故選 B. CJDJ 10 . 7 5 432585 65465AMEM 85465AB?思路分析 延長 AB交 ED的延長線于 M,作 CJ⊥ DM于 J,則四邊形 BMJC是矩形 .在 Rt△ CJD中求 出 CJ、 DJ的長 ,再根據(jù) tan∠ AEM=? 即可解決問題 . AMEM方法總結(jié) 解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型 ,正確畫出圖 形 ,找到直角三角形 .根據(jù)題目中的已知條件 ,將實(shí)際問題抽象為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題 ,畫 出平面幾何圖形 ,弄清已知條件中各量之間的關(guān)系 ,若圖中有直角三角形 ,則根據(jù)邊角關(guān)系進(jìn)行 計(jì)算即可 。若圖中沒有直角三角形 ,則可通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決 . 2.(2022黑龍江哈爾濱 ,6,3分 )如圖 ,某飛機(jī)在空中 A處探測到它的正下方地平面上目標(biāo) C,此時飛 行高度 AC=1 200 m,從飛機(jī)上看地平面指揮臺 B的俯角 α=30176。,則飛機(jī)所在 A處與指揮臺 B的距 離為 ? ( ) ? 200 m 200? m 200? m 400 m 2 3答案 D 由 ∠ B=α=30176。,sin B=? ,得 AB=? =1 2002=2 400 D. ACAB sin 30AC?3.(2022山東聊城 ,10,3分 )湖南路大橋于今年 5月 1日竣工 ,為徒駭河景區(qū)增添了一道亮麗的風(fēng)景 線 .某校數(shù)學(xué)興趣小組用測量儀器測量該大橋的橋塔高度 ,在距橋塔 AB底部 50米的 C處 ,測得橋 塔頂部 A的仰角為 176。(如圖 ).已知測量儀器 CD的高度為 1米 ,則橋塔 AB的高度約為 (參考數(shù)據(jù) : sin 176?！?,cos 176?！?,tan 176。≈ )? ( ) ?