【正文】 22 (4 3)? 13∵ F是 BD的中點 ,∠ DAB=90176。. ∵∠ DHA=90176。, ∴ DH=? AD. ∵ AE平分 ∠ BAC,∴∠ CAE=? ∠ BAC=30176。,∴∠ ADE=30176。, ∴∠ FDA∠ HDA=∠ FAD∠ EAD. ∴∠ FDH=∠ FAE.? (7分 ) ∴ △ FDH≌ △ FAE(SAS).∴ FH=FE.? (8分 ) (3)△ CEF是等邊三角形 .? (9分 ) 理由如下 :取 AB的中點 G,連接 FG, . 121212? ∵ F是 BD的中點 ,∴ FG∥ DA,FG=? DA. ∴∠ FGA=180176。, 又 ∵ AE=? AD,∴ AE=FG. 在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, 1212∴ △ GAC為等邊三角形 .? (10分 ) ∴ AC=CG,∠ ACG=∠ AGC=60176。,∴∠ FGC=∠ EAC. ∴ △ FGC≌ △ EAC(SAS).? (11分 ) ∴ CF=CE,∠ ACE=∠ GCF. ∵∠ ECF=∠ ECG+∠ GCF=∠ ECG+∠ ACE=∠ ACG=60176。B39。拼在一起 ,其中點 A39。落在邊 AB上 ,連接 B39。B39。,AC=BC=3,則 B39。B39。全等且均為等腰直角三角形 ,∵ AC=BC=3,∴ AB=3? ,∴ AB39。C中 ,易知 ∠ CAB39。,∴ △ AB39。C=? =3? . 22223 (3 2)?3322.(2022安徽 ,10,4分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,AB⊥ BC,AB=6,BC=△ ABC內(nèi)部的一個動點 ,且滿足 ∠ PAB=∠ CP長的最小值為 ? ( ) A.? C.? D.? 8 1 313 1 2 1 313答案 B ∵∠ PAB=∠ PBC,∠ PBC+∠ ABP=90176。,∴∠ P=90176。,點 C在邊 AM上 ,AC=4,點 B為邊 AN上一動點 ,連接 BC,△ A39。B所在直線 于點 F,連接 A39。EF為直角三角形時 ,AB的長為 . ? 答案 4或 4? 3解析 (1)當點 A39。F=90176。F∠ CA39。EF為鈍角三角 形 ,不符合 。在直線 DE上方時 ,如圖 ∠ A39。時 , ∵ DE∥ AB,∴∠ EDA=90176。B∥ ABA39。② 當點 A39。EF=90176。E∥ AC,所以 ∠ A39。CE, ∴ A39。E.∵ A39。CE為等邊三角形 ,∴∠ ACB=∠ A39。,∴ 在 Rt△ ACB中 ,AB=AC=4? 。在直線 DE上方時 ,∠ EA39。B,不可能為 90176。EF為直角三角形時 ,AB的長為 4或 4? . ? 圖 1 ? 圖 2 33? 圖 3 思路分析 由題意知 ,點 B為邊 AN上的動點 ,A點的對稱點 A39。在 DE的下方時 ,△ A39。在直線 DE上方時 ,∠ A39。FE為 90176。F90176。,則當△ PAB為直角三角形時 ,AP的長為 . 答案 2或 2? 或 2? 3 7解析 由題意知 ,滿足條件的點 P有三個位置 .如圖① ,∠ APB=90176。,所以△ POA為等邊三角形 ,所以 AP=2. 如圖② ,∠ APB=90176。,所以△ OBP為 等邊三角形 ,所以 ∠ OBP=60176。,所以 AP=AB,因為 ∠ BOP=∠ AOC=60176。tan 60176。,則 BD的長為 . ? 答案 ? 41解析 作 AD39。=AD,連接 CD39。,如圖 . 由已知條件可得 ∠ BAC+∠ CAD=∠ DAD39。. 在△ BAD與△ CAD39。(SAS), ∴ BD=CD39。=90176。中 ,由勾股定理得 DD39。DA+∠ ADC=90176。中 ,由勾股定理得 CD39。=? . ? ,39。,B A C AB A D C A DA D A D???? ? ?????22( 39。)DC DD? 9 32? 4141評析 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì) ,屬難題 . 6.(2022北京 ,28,7分 )在等腰直角△ ABC中 ,∠ ACB=90176。 (2)用等式表示線段 MB與 PQ之間的數(shù)量關系 ,并證明 . ? 22解析 (1)∵ △ ACB是等腰直角三角形 , ∴∠ CAB=45176。α. ∵ QH⊥ AP,∴∠ AMQ=90176。+α. (2)線段 MB與 PQ之間的數(shù)量關系為 PQ=? MB. 證明 :連接 AQ,過點 M作 MN⊥ BQ于點 N,如圖 . ? 則△ MNB為等腰直角三角形 ,MB=? MN. ∵ AC⊥ BQ,CQ=CP,∴ AP=AQ,∠ QAC=∠ PAC. ∴∠ QAM=∠ BAC+∠ QAC=45176。+∠ PAC=∠ AMQ, ∴ QA=QM. ∵∠ MQN+∠ APQ=∠ PAC+∠ APQ=90176。,D為 AB邊上一點 . (1)求證 :△ ACE≌ △ BCD。,∴∠ ECD∠ ACD=∠ ACB∠ ACD, 即 ∠ ECA=∠ DCB.? (1分 ) 在△ ACE與△ BCD中 ,? ? (3分 ) ∴ △ ACE≌ △ BCD.? (4分 ) (2)∵ △ ACE≌ △ BCD, ∴ AE=BD.? (5分 ) ∵∠ EAC=∠ BAC=45176。. 在 Rt△ EAD中 ,ED2=AD2+AE2, ∴ ED2=AD2+BD2.? (6分 ) 又 ED2=EC2+CD2=2CD2, ∴ 2CD2=AD2+DB2.? (7分 ) ,E C D CA C E B C DA C B C???? ? ??? ?? C組 教師專用題組 考點一 等腰三角形 1.(2022湖北黃岡 ,4,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,直線 DE是 AC的垂直平分線 ,且分別交 BC,AC于點 D和 E,∠ B=60176。,則 ∠ BAD為 ? ( ) ? 176。 176。 答案 B 因為直線 DE是 AC的垂直平分線 ,所以 AD=DC,所以 ∠ DAC=∠ C=25176。(25176。)=130176。60176。,故選 B. 2.(2022湖北武漢 ,10,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。 ② 如圖 2,以 A為圓心 ,AC長為半徑畫弧 ,交 AB于點 E,則△ ACE就是等腰三角形 。 ④ 如圖 4,作 AC的垂直平分線交 AB于點 H,則△ ACH就是等腰三角形 。 ⑥ 如圖 6,作 BC的垂直平分線交 AB于 I,則△ BCI就是等腰三角形 . 故選 D. ? 3.(2022廣西南寧 ,7,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AD=DC,∠ B=70176。 176。 176。, ∵ AD=DC,∴∠ C=∠ DAC. ∵∠ ADB是△ ADC的外角 , ∴∠ C=? ∠ ADB=35176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 答案 C ∵ AB=AC,D為 BC中點 , ∴∠ CAD=∠ BAD=35176?！?DAC=55176。,則它的頂角的度數(shù)為 . 答案 80176。50176。, ∴ 頂角為 80176。 (2)分別以點 A,B為圓心 ,AP,BP長為半徑作弧 ,兩弧相交于點 Q。全等三角形的對應角相等 。兩點確定一條直線 解析 連接 PA、 QA、 PB、 PA =QA,PB=QB,又 AB=AB, ∴ △ PAB≌ △ QAB(三邊分別相等的兩個三角形全等 ), ∴∠ PAB=∠ QAB(全等三角形的對應角相等 ). 由兩點確定一條直線作直線 PQ. ∵ PA =QA, ∴ AB⊥ PQ(等腰三角形的頂角平分線與底邊上的高重合 ). 7.(2022北京 ,16,3分 )閱讀下面材料 : 在數(shù)學課上 ,老師提出如下問題 : 尺規(guī)作圖 :作一條線段的垂直平分線 . 已知 :線段 AB. ? 求作 :線段 AB的垂直平分線 . 小蕓的作法如下 : 如圖 , (1)分別以點 A和點 B為圓心 ,大于 ? AB的長為半徑作弧 ,兩弧相交于 C,D兩點 。,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,∠ ACE=? ∠ BAC,CE交 AB于點 E,交 AD于點 F,若 BC=2,則 EF的長為 . ? 12解析 在 DF上取點 G,使 DG=DC,連接 CG. ∵ AB=AC,AD為 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ CAD=∠ BAD=? ∠ BAC=15176。. 12答案 ? 1 3∵∠ ACE=? ∠ BAC,∴∠ ACE=∠ CAD, ∴ AF=CF. ∵∠ ACE=? ∠ BAC=15176。, ∠ ACB=? =75176。15176。=15176。15176。,∴ DF=? DC=? . 又 ∵ DG=DC=1,∴ EF=FG=DFDG=? 1. 1212180 2 BAC???123 339.(2022廣東廣州 ,15,3分 )如圖 ,△ ABC中 ,DE是 BC的垂直平分線 ,DE交 AC于點 E,連接 BE,若 BE= 9,BC=12,則 cos C= . ? 答案 ? 23解析 因為 DE是 BC的垂直平分線 ,所以 CE=BE=9,CD=BD=6,在 Rt△ CDE中 ,cos C=? =? . CDCE2310.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,18,6分 )如圖 ,等腰三角形 ABC中 ,BD,CE分別是兩腰上的中線 . (1)求證 :BD=CE。 (2)延長 PC,QD交于點 R. ① 如圖 2,若 ∠ MON=150176。 ② 如圖 3,若△ ARB∽ △ PEQ,求 ∠ MON的大小和 ? 的值 . ? ABPQ解析 (1)證明 :∵ 點 C,D,E分別是 OA,OB,AB的中點 , ∴ DE?? OC,CE?? OD.∴ 四邊形 ODEC為平行四邊形 . ∴∠ OCE=∠ ODE. 又 ∵ △ OAP,△ OBQ都是等腰直角三角形 , ∴∠ PCO=∠ QDO=90176。,∠ MON=150176。. ∴∠ ARB=∠ ARO+∠ BRO=2∠ CRO+2∠ ORD=2∠ CRD=60176。, 即△ PEQ為等腰直角三角形 . 由于△ ARB∽ △ PEQ,所以 ∠ ARB=90176。,∠ CRD=? ∠ ARB=45176。. 此時 P,O,B在一條直線上 ,△ PAB為直角三角形且 ∠ APB為直角 , 所以 AB=2PE=2? PQ=? PQ,則 ? =? .? (14分 ) 22 2 ABPQ212.(2022北京 ,20,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,BE⊥ AC于點 E. 求證 :∠ CBE=∠ BAD. ? 證明 ∵ AB=AC,AD是 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ BAD=∠ CAD. ∵ BE⊥ AC, ∴∠ BEC=∠ ADC=90176?！?C,∠ CAD=90176。的等腰三角形紙 片剪兩刀 ,分成 3張小紙片 ,使每張小紙片都是等腰三角形 .你能辦到嗎 ?請畫示意圖說明剪法 . 我們有多種剪法 ,圖 1是其中的一種方法 : ? 定義 :如果兩條線段將一個三角形分成 3個等腰三角形 ,我們把這 ? 叫做這個三角形 的三分線 . (1)請你在圖 2中用兩種不同的方法畫出頂角為 45176。(若兩種方法分得的三角形成 3對全等三角形 ,則視為同一種 ) (2)△ ABC中 ,∠ B=30176。,試畫出示意圖 ,并求出 x所有可能的值 ?；?40176。,∠ C=45176。,AD⊥ BC,∴ AD=ACsin 45176。,AD⊥ BC,∴∠ BAE=30176。,tan∠ ABD=? ,AB=20, BC=10,AD=13,則線段 CD= . 34答案 ? 或 17 89解析 如圖 1,作 AE⊥ 直線 BD于點 E,CF⊥ 直線 BD于點 F, ? 圖 1 ∵∠ ABD+∠ DBC=90176。, ∴∠ ABD=∠ BCF, ∵ tan∠ ABD=? ,∴ tan∠ BCF=? . 在 Rt△ AEB中 ,設 AE=3x,BE=4x,則 (3x)2+(4x)2=202, 解得 x=4, ∴ AE=12,BE=16, 在 Rt△ BCF中 ,設 BF=3y,CF=4y, 34 34則 (3y)2+(4y)2=102, 解得 y=2, ∴ BF=6,CF=8, ∵ 在 Rt△ ADE中 ,DE=? =5, ∴ BD=BEDE=11,∴ FD=BDBF=5, ∴ 在 Rt△ DCF中 ,CD=? =? . 如圖 2,同理 ,BE=16,ED=5,BF=6,CF=8.∴ BD=BE+ED=21,∴ FD=BDBF=15, ? 圖 2 ∴ 在 Rt△ DCF中 ,CD=? =17. 綜上所述 ,線段 CD的長為 ? 或 17. 22AD AE?22CF FD? 8922CF