【正文】 FD?89解題關(guān)鍵 考慮問題要全面 ,正確畫出圖形 ,通過作垂線 ,構(gòu)造直角三角形 ,然后利用勾股定理 求出線段 BD、 FD的長度是關(guān)鍵 . 3.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,12,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。,∴ FC=FG. 易證△ ACF≌ △ AGF,∴ AC=AG. ? ∵∠ 5+∠ 6=90176。,∴∠ 5=∠ B. ∵∠ 3=∠ 1+∠ 5,∠ 4=∠ 2+∠ B,∠ 1=∠ 2, ∴∠ 3=∠ 4,∴ CE=CF. ∵ AC=3,AB=5,∴ BC=4. 在 Rt△ BFG中 ,設(shè) CF=x(x0), 則 FG=x,BF==ABAG=53=2. 由 BF2=FG2+BG2,得 (4x)2=x2+22,解得 x=? , ∴ CE=CF=? .選 A. 32324.(2022北京 ,6,3分 )如圖 ,公路 AC,BC互相垂直 ,公路 AB的中點(diǎn) M與點(diǎn) C被湖隔開 ,若測得 AM的長 為 km,則 M,C兩點(diǎn)間的距離為 ? ( ) ? km km km km 答案 D ∵ AC⊥ BC,M是 AB的中點(diǎn) ,∴ MC=? AB=AM= D. 125.(2022山西 ,15,3分 )一副三角板按如圖方式擺放 ,得到△ ABD和△ BCD,其中 ∠ ADB=∠ BCD=9 0176。,∠ CBD=45176。,∴ AB=8 cm,DB=4? cm,∵ 點(diǎn) E為 AB的中點(diǎn) ,EM⊥ BD,∴ DE=? AB=4 cm,EM=? AD=2 cm,由等腰直角三 角形的性質(zhì)可知 ∠ ENM=∠ FND=45176。,∠ ADB=90176。,∴ AG=? =2? cm,∵∠ ABD=30176。,∴ BC=? =2? cm,∵ AG⊥ CG,EF⊥ CG,CB⊥ CG,∴ AG∥ EF∥ BC,∵ E是 AB的中點(diǎn) ,∴ 點(diǎn) F為 CG的中點(diǎn) ,∴ EF= ? (AG+BC)=? (2? +2? )=(? +? )cm. ? 2AD2 3 32BD612 122 6 2 66.(2022寧夏 ,14,3分 )如圖 ,Rt△ AOB中 ,∠ AOB=90176。B,則點(diǎn) O39。C⊥ OA,垂足為 C,在 Rt△ AOB中 ,OA=? ,OB=1,∠ AOB=90176。,由題意可得 AO39。AB=∠ OAB=30176。AO=60176。AC中 , AC=AO39。cos 60176。C=AO39。sin 60176。? . ? 333332 3232 33,22??????7.(2022黑龍江哈爾濱 ,17,3分 )在等腰直角三角形 ABC中 ,∠ ACB=90176。當(dāng) CP=2時(shí) ,根據(jù)勾股定理得 AP= ? =? =? ,故 AP的長為 ? 或 ? . 2231? 1022AC CP? 2232? 13 10 138.(2022上海 ,18,4分 )已知在△ ABC中 ,AB=AC=8,∠ BAC=30176。,AB=8,可得 AF=4,BF=4? ,所以 DF=ADAF=84=4. 易證△ BFE是等腰直角三角形 ,所以 EF=BF=4? ,所以 DE=EFDF=4? 4. ? 33 3評析 本題考查解含特殊角的直角三角形 ,畫出圖形 ,通過作出適當(dāng)?shù)妮o助線 ,把一般的三角形 化為直角三角形是關(guān)鍵 ,屬于中等難度題 . 9.(2022廣東 ,21,7分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,∠ B=30176。,CD⊥ AB交 AB于 CD為較短的 直角邊向△ CDB的同側(cè)作 Rt△ DEC,滿足 ∠ E=30176。,再用同樣的方法作 Rt△ FGC,∠ FCG=90176。.若 AC=a,求 CI的長 . ? 解析 ∵ Rt△ ABC中 ,∠ B=30176。, ∴∠ A=60176。,∠ ACD=30176。,AC=AD,M,N分別為 AC,CD的中點(diǎn) ,連 接 BM,MN,BN. (1)求證 :BM=MN。,AC平分 ∠ BAD,AC=2,求 BN的長 . 解析 (1)證明 :在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。,AC平分 ∠ BAD, ∴∠ BAC=∠ CAD=30176。. 由 MN∥ AD,可得 ∠ CMN=∠ CAD=30176。. ∵ AC=AD=2,∴ BM=MN=1. 在 Rt△ BMN中 ,BN=? =? . 121222BM MN? 211.(2022浙江溫州 ,22,8分 )勾股定理神秘而美妙 ,它的證法多樣 ,其巧妙各有不同 ,其中的“面積 法”給了小聰以靈感 .他驚喜地發(fā)現(xiàn) :當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖 1或圖 2擺放時(shí) ,都可以用 “面積法”來證明 .下面是小聰利用圖 1證明勾股定理的過程 : 將兩個(gè)全等的直角三角形按圖 1所示擺放 ,其中 ∠ DAB=90176。. 求證 :a2+b2=c2. 證明 :連接 . ∵ S五邊形 ACBED= , 又 ∵ S五邊形 ACBED= , ∴ . ∴ a2+b2=c2. 證明 連接 BD,過點(diǎn) B作 DE邊上的高 BF,則 BF=ba, ∵ S五邊形 ACBED=S△ ACB+S△ ABE+S△ ADE =? ab+? b2+? ab, 又 ∵ S五邊形 ACBED=S△ ACB+S△ ABD+S△ BDE =? ab+? c2+? a(ba), ∴ ? ab+? b2+? ab=? ab+? c2+? a(ba), ∴ a2+b2=c2. 12 12 1212 12 1212 12 12 12 12 12評析 本題主要考查勾股定理的證明 ,表示出五邊形面積是解題關(guān)鍵 . 12 AC??????大 于三年模擬 A組 2022— 2022年模擬 ,分別以點(diǎn) A和點(diǎn) C為圓心 ,以相同的長 ? 為半徑作弧 ,兩弧相交于點(diǎn) M和點(diǎn) N,作直線 MN交 AB于點(diǎn) D,交 AC于點(diǎn) E,連接 列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ? ( ) =CD B.∠ A=2∠ DCB C.∠ ADE=∠ DCB D.∠ A=∠ DCA 答案 B 由作圖可知 MN是 AC的垂直平分線 , ∴ DA=DC,AE=EC,故 A正確 , ∴∠ ADE=∠ CDE=∠ DCB,故 C正確 , ∵ DA=DC,∴∠ A=∠ DCA,故 D正確 .故選 B. 2.(2022漳州質(zhì)檢 ,8)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=5,BC=3,AC=4,點(diǎn) E,F分別是 AB,BC的中點(diǎn) .以下結(jié)論錯(cuò) 誤的是 ? ( ) A.△ ABC是直角三角形 △ ABC的中位線 △ ABC的中位線 D.△ BEF的周長為 6 答案 B 根據(jù)勾股定理的逆定理知 ,△ ABC是直角三角形 ,A正確 。點(diǎn) E,F分別是 AB,BC的中點(diǎn) ,所以 EF是△ ABC的中位線 ,C正 確 。,BC=4,△ DEF是等腰直角三角形 ,∠ DEF=90 176。,∠ C=90176。,則 BC= . 答案 2 解析 ∵ △ ABC是等邊三角形 ,∴∠ ABC=∠ ACB=60176。,BD⊥ AC,∴∠ BDC=90176。,∴ CD=CE=1, ∴ BC=2CD=2. 三、解答題 (共 40分 ) 6.(2022漳州質(zhì)檢 ,18)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ A=80176。. (1)求作線段 BC的垂直平分線 DE,垂足為 E,交 AB于點(diǎn) D。.∴∠ 2=∠ B+∠ 1=80176。,∴∠ 2=∠ A.∴ AC=CD. 證法二 :∵ DE垂直平分 BC,∴ BD=CD,∴∠ 1=∠ B=40176。,∴∠ ACB=180176。. ∴∠ ACD=60176。=20176。∠ A∠ ACD=80176。 (2)在 (1)的條件下 ,連接 BD,求△ ABD的周長 . 解析 (1)如圖所示 ,直線 DE為所求作的直線 . (2)∵ DE垂直平分 BC,∴ BD=CD. ∴ △ ABD的周長 =AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=5 cm. 8.(2022福州質(zhì)檢 ,18)求證 :等腰三角形的底邊中點(diǎn)到兩腰距離相等 . 解析 已知 ,如圖 ,△ ABC中 ,AB=AC,D是 BC的中點(diǎn) ,DE⊥ AB,DF⊥ AC,垂足分別為 E,F. 求證 :DE=DF. 證明 :連接 AD. ∵ AB=AC,D是 BC的中點(diǎn) , ∴ AD平分 ∠ BAC. ∵ DE⊥ AB,DF⊥ AC, ∴ DE=DF. 9.(2022泉州質(zhì)檢 ,19)如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB=AD=3,DC=4,∠ A=60176。,試求 BC的長 度 . ? 解析 如圖 ,連接 DB, ∵ AB=AD,∠ A=60176。, 又 ∵∠ ADC=150176。60176。, ∵ DC=4,∴ BC=? =? =5. 22DC DB? 2243?10.(2022福州質(zhì)檢 ,20)如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。 提升題組 (時(shí)間 :15分鐘 分值 :40分 ) 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 9分 ) 1.(2022龍巖質(zhì)檢 ,10)如圖 ,∠ ACB=90176。,如果 AD=3,BE=4,則 BC的長是 ? ( ) ? ? 2 2答案 C 如圖 ,將 CE繞點(diǎn) C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90176。的位置 ,連接 AE39。, 則 CE39。CE=90176。,AC=BC, ∴∠ CAB=∠ B=45176。CE=∠ ACB, ∴∠ E39。CA=∠ ECB, ∴ △ E39。AC=∠ B=45176。=BE=4, ∴∠ E39。AC+∠ CAB=90176。=? =? =5. 2239。, ∴∠ E39。CE∠ DCE=90176。=45176。CD=∠ DCE. 又 ∵ E39。CD≌ △ ECD, ∴ ED=E39。由 AD=AE可得 ∠ ADE=∠ AED,可知 B正確 。2(α+β),又 ∠ BAC=180176。 ∠ AED的度數(shù)隨 AE長度的變化而變化 ,∴ α與 β不一定相等 ,從而 ∠ AED不一定等于 2∠ ECD,D 錯(cuò)誤 . 123.(2022福州質(zhì)檢 ,12)如圖 ,Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。,∴ DE=CD=x,∵ AC=6,BC =8,∴ AB=10,AE=AC=6,BD=8x,BE=4,由勾股定理可得 DE2+BE2=BD2,可列方程 x2+42=(8x)2,解得 x=3,即 DE=3,∴ DC=3,∴ AD=? =3? .設(shè)點(diǎn) B到 AD的距離為 h,則 S△ ABD=? AB h,∴ 103=3? h,∴ h=2? . 二、填空題 (共 3分 ) 4.(2022福州質(zhì)檢 ,16)如圖 ,四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=∠ ADC=90176。,AB +BC=8,則 AC的長是 . 答案 ? 863解析 設(shè)點(diǎn) O是 AC中點(diǎn) ,以 O為圓心 ,OA為半徑作圓 , ∵∠ ABC=∠ ADC=90176。.又 ∵ ∠ DCB=60176。. 連接 OB,過點(diǎn) B作 BE⊥ AC于 E, ∴∠ AOB=2∠ ACB=30176。BC=BE? ,∴ AC=? . 433 863三、解答題 (共 28分 ) 5.(2022寧德質(zhì)檢 ,24)如圖 1,在△ ABC中 ,∠ BAC=90176。. (1)如圖 2,G,H分別是邊 AB,BC的中點(diǎn) ,連接 DG,AH,EH,求證 :△ AGD∽ △ AHE。 (3)在點(diǎn) D從點(diǎn) B向點(diǎn) C運(yùn)動過程中 ,求△ ABE周長的最小值 . 解析 (1)證明 :由題意知△ ABC和△ ADE都是等腰直角三角形 ,∴∠ B=∠ DAE=45176。=∠ DAE. ∴∠ GAD=∠ HAE. 在等腰直角△ BAH和等腰直角△ DAE中 , AH=? AB=? AG,AE=? AD. ∴ ? =? .∴ △ AGD∽ △ AHE. (2)當(dāng) BD=0或 ? 或 2? 時(shí) ,△ ABE是等腰三角形 . (3)當(dāng)點(diǎn) D與點(diǎn) B重合時(shí) ,點(diǎn) E的位置記為點(diǎn) M. 此時(shí) ,∠ ABM=∠ BAC=90176。,BM=AB=AC. ∴ 四邊形 ABMC是正方形 . ∴∠ BMC=90176。, ∵∠ BAM=∠ DAE=45176。, ∴ 點(diǎn) E在射線 MC上 . 2 2AMAB AEAD作點(diǎn) B關(guān)于直線 MC的對稱點(diǎn) N,連接 AN交 MC于點(diǎn) E39。,EN, ∵ BE+AE=NE+AE≥ AN=NE39。=BE39。, ∴ △ ABE39。 (2)求 BM (3)當(dāng) M為 BC的中點(diǎn)時(shí) ,試求 ME的長 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是矩形 , ∴ AD∥ BC,∴∠ NAM=∠ AMB. 又 ∠ AMN=∠ AMB,∴∠ AMN=∠ NAM. ∴ AN=MN,即△ AMN是等腰三角形 . (2)如圖 ,過 N作 NH⊥ AM,垂足為 H. ? ∵ AN=MN,NH⊥ AM,∴ AH=? AM. ∵∠ NHA=∠ ABM=90176。AN=AHAN=? (9+BM2). ∵ 點(diǎn) M在 BC上 , ∴ BM≤ 2, ∴ BMAN的值最大 ,為 ? . (3)∵ M為 BC的中點(diǎn) ,∴ BM=CM=1, 由 (2)知 AM2=2AN18