【正文】 =12, ∠ POH=60176。,OA在 x軸上 ,OB在 y軸上 ,點(diǎn) A,B的坐標(biāo)分別為 (? ,0),(0,1).把 Rt△ AOB沿著 AB對(duì)折得到△ AO39。的坐標(biāo)為 . ? 3答案 ? 33,22??????解析 如圖 ,作 O39。,∴ tan∠ BAO=? , ∴∠ BAO=30176。=AO=? ,∠ O39。,∴∠ O39。.在 Rt△ O39。=? ,O39。=? .∴ OC=AOAC=? .∴ O39。,則當(dāng)△ PAB為直角三角形時(shí) ,AP的長(zhǎng)為 . ? 答案 2或 2? 或 2? (每答對(duì) 1個(gè)得 1分 ,每答錯(cuò)一個(gè)扣 1分 ,扣完為止 ) 37解析 由題意知 ,滿足條件的點(diǎn) P有三個(gè)位置 .如圖① ,∠ APB=90176。,所以△ POA為等邊三角形 ,所以 AP=2. 如圖② ,∠ APB=90176。,所以△ OBP為 等邊三角形 ,所以 ∠ OBP=60176。,所以 AP=AB,因?yàn)?∠ BOP=∠ AOC=60176。tan 60176。,∠ B=60176。,則 CD長(zhǎng)度的取值范圍是 . ? 答案 0≤ CD≤ 5 解析 當(dāng)點(diǎn) D與點(diǎn) E重合時(shí) ,CD=0,當(dāng)點(diǎn) D與點(diǎn) A重合時(shí) ,∵∠ A=90176。,∴∠ E=30176。,AB=AC=16 cm,AD為 BC邊上的高 ,動(dòng) 點(diǎn) P從點(diǎn) A出發(fā) ,沿 A→ D方向以 ? cm/s的速度向點(diǎn) D運(yùn)動(dòng) .設(shè)△ ABP的面積為 S1,矩形 PDFE的面 積為 S2,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒 (0t8),則 t= 秒時(shí) ,S1=2S2. ? 2答案 6 解析 由題意可知 Rt△ ADC和 Rt△ EFC都是等腰直角三角形 ,AD=DC=BD=8? AP= ? t cm,所以 DP=EF=FC=(8? ? t)cm,DF=? t cm。BD=? ? t8? =8t cm2,S2=PD.點(diǎn) D為邊 AC上一點(diǎn) ,DE⊥ AB于點(diǎn) M為 BD的中點(diǎn) ,CM的延長(zhǎng)線交 AB于點(diǎn) F. (1)求證 :CM=EM。,求 ∠ EMF的大小 。,M為斜邊 BD的中點(diǎn) , ∴ CM=? BD. 又 DE⊥ AB,同理 ,EM=? BD, ∴ CM=EM.? (4分 ) (2)由已知得 ,∠ CBA=90176。=40176。=80176。∠ CME=100176。,DE=CM,AE=EM. 又 CM=DM=EM,∴ DM=DE=EM,∴ △ DEM是等邊三角形 , ∴∠ MEF=∠ DEF∠ DEM=30176。,∠ MEF=30176。, ? 121212121212 12MFAF12 12∴∠ AMC=∠ EMC∠ EMA=75176。,且 MC=MD, ∴∠ ACM=? (180176。)=75176。(2)由直角三角形中兩銳角 互余求出 ∠ CBA,由等腰三角形的性質(zhì)可得 ∠ MEB=∠ MBE,∠ MCB=∠ MBC,從而可得 ∠ CME= ∠ DME+∠ CMD=2(∠ CBM+∠ EBM),最后由補(bǔ)角性質(zhì)求出 ∠ EMF。,下面證 AN∥ EM有兩個(gè)思路 :一是根據(jù)直角三角 形 30176。二是連接 AM,計(jì)算可得 ∠ AMC=∠ ACM,而 N是 CM 的中點(diǎn) ,從而 AN⊥ CM,進(jìn)一步即可證明 AN∥ EM. EF12 NFAF127.(2022重慶 A卷 ,24,10分 )在△ ABM中 ,∠ ABM=45176。 (2)如圖 2,點(diǎn) D是線段 AM上一點(diǎn) ,MD=MC,點(diǎn) E是△ ABC外一點(diǎn) ,EC=AC,連接 ED并延長(zhǎng)交 BC于 點(diǎn) F,且點(diǎn) F是線段 BC的中點(diǎn) .求證 :∠ BDF=∠ CEF. ? 2解析 (1)∵ AM⊥ BM,點(diǎn) C是 BM延長(zhǎng)線上一點(diǎn) , ∴∠ AMB=∠ AMC=90176。,AB=3? ,∴ BM=AM=3, ∵ BC=5,∴ CM=2, 在 Rt△ AMC中 ,AC=? =? =? .? (4分 ) (2)證明 :∵∠ ABM=45176。. 在△ BMD和△ AMC中 , ∵ BM=AM,∠ BMD=∠ AMC,MD=MC, ∴ △ BMD≌ △ AMC,? (6分 ) ∴ BD=AC. ∵ EC=AC,∴ BD=EC. 延長(zhǎng) DF到點(diǎn) G,使 FG=FD,連接 CG, 2 22AM CM?2232?13∵ 點(diǎn) F是線段 BC的中點(diǎn) , ∴ CF=BF. ∵∠ CFG=∠ BFD,FG=FD, ∴ △ CFG≌ △ BFD, ∴ CG=BD,∠ G=∠ BDF. ∵ BD=EC,∴ CG=EC, ∴∠ G=∠ E. ∵∠ G=∠ BDF, ∴∠ BDF=∠ CEF.? (10分 ) ? 8.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,21,7分 )已知 ,如圖 ,△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 ,∠ ACB= ∠ ECD=90176。 (2)求證 :2CD2=AD2+DB2. ? 證明 (1)∵ △ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形 , ∴ CD=CE,AC=BC,∠ ECD=∠ ACB=90176。,∴∠ EAD=90176。 基礎(chǔ)題組 1.(2022陽(yáng)江江城模擬 ,3)已知等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是 7和 3,則下列四個(gè)數(shù)中 ,第三條邊的 長(zhǎng)是 ? ( ) 答案 B 分兩種情況討論 : ①當(dāng) 7為腰長(zhǎng) ,3為底邊長(zhǎng)時(shí) ,三邊為 3,能組成三角形 ,故第三邊的長(zhǎng)為 7。AM=? 34=6, ∵ S△ AMC=? AC或 75176。,∴ 底角為 75176。,頂角 ∠ BAC為 150176。. ? 綜上 ,底角為 75176。. 12125.(2022清遠(yuǎn)三模 ,14)如圖 ,在△ ABC中 ,BC=5 cm,BP、 CP分別是 ∠ ABC和 ∠ ACB的平分線 ,且 PD∥ AB,PE∥ AC,則△ PDE的周長(zhǎng)是 cm. ? 答案 5 解析 ∵ PD∥ AB,∴∠ ABP=∠ DPB, ∵ BP平分 ∠ ABC,∴∠ ABP=∠ DBP, ∴∠ DBP=∠ DPB,∴ BD= ,PE=CE,∴ △ PDE的周長(zhǎng)等于 BC=5 cm. 6.(2022揭陽(yáng)二模 ,13)如圖 ,在△ ABC中 ,點(diǎn) D是 BC上一點(diǎn) ,∠ BAD=80176。 解析 ∵ AB=AD,∴∠ B=∠ ADB, ∵∠ BAD=80176。. ∵ AD=CD,∴∠ DAC=∠ C, ∵∠ ADB=∠ DAC+∠ C,∴∠ C=25176。α90176。. ∴∠ FAD=∠ EAB. 在△ ADF和△ ABE中 ,? ∴ △ ADF≌ △ ABE(SAS),∴ DF=BE. ,A D A BF A D E A BA F A E???? ? ??? ??8.(2022中山二模 ,22)已知 :如圖 ,在△ ABC中 ,AD⊥ BC,垂足為點(diǎn) D,BE⊥ AC,垂足為點(diǎn) E,M為 AB 邊的中點(diǎn) ,連接 ME、 MD、 ED. (1)求證 :△ MED為等腰三角形 。BD, ∴ ? BD=2,∴ BD=? ,∵ CD2+BD2=BC2, ∴ CD2+? =4,∴ CD=? ,故選 C. 2221?51212524551652553.(2022湛江三模 ,5)以下各組數(shù)據(jù)為三角形的三邊長(zhǎng) ,能構(gòu)成直角三角形的是 ? ( ) cm,6 cm,7 cm cm,3 cm,4 cm cm,2 cm,1 cm cm,12 cm,13 cm 答案 D ∵ 52+62=61≠ 72,22+32=13≠ 42,22+12=5≠ 22, 52+122=169=132,∴ 能構(gòu)成直角三角形的是 D,故選 D. 4.(2022東莞五校一模 ,16)如圖 ,把正方形紙片 ABCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開 ,折痕為 MN,再過(guò)點(diǎn) B折疊紙片 ,使點(diǎn) A落在 MN上的點(diǎn) F處 ,折痕為 AB的長(zhǎng)為 2,則 FM的長(zhǎng)為 . ? 答案 ? 3解析 由翻折的性質(zhì)可知 ,BM=MC=1,AB=BF=2. 在 Rt△ BFM中 ,由勾股定理可知 ,MF=? =? . 22BF MB?35.(2022韶關(guān)二模 ,13)若 a,b,c表示△ ABC的三邊 ,且滿足 ? +|a12|+(b13)2=0,則此三角形的形 狀為 . 5c?答案 直角三角形 解析 ∵ ? ≥ 0,|a12|≥ 0,(b13)2≥ 0, 且 ? +|a12|+(b13)2=0, ∴ ? =0,|a12|=0,(b13)2=0, ∴ c=5,a=12,b=13. ∵ a2+c2=b2,∴ 此三角形為直角三角形 . 5c?c 5?6.(2022珠海一模 ,22)如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。.求證 :MN=AC. ? 證明 ∵∠ ACB=90176。,∴ AC∥ MN, ∴∠ AMN=∠ MAC,∴∠ AMC=∠ NAM, ∴ AN∥ MC,又 AC∥ MN, ∴ 四邊形 ACMN是平行四邊形 , ∴ MN=AC. 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 15分 ) B組 2022— 2022年模擬 ② CM=CN。,AC=DC,BC=EC, ∴∠ ACE=∠ DCB,∴ △ ACE≌ △ DCB. 由△ ACE≌ △ DCB得 ∠ CAM=∠ CDN, 又 AC=DC,∠ ACM=∠ DCE=60176。,∴∠ AMC60176。,AB的垂直平分線交 BC于點(diǎn) D,交 AB于點(diǎn) H, AC的垂直平分線交 BC于點(diǎn) E,交 AC于點(diǎn) G,連接 AD, ? ( ) ? A.? =? ,AE將 ∠ BAC三等分 C.△ ABE≌ △ ACD △ ADH=S△ CEG BDBC512?答案 A ∵∠ B=∠ C=36176。, ∵ DH垂直平分 AB,EG垂直平分 AC,∴ DB=DA,EA=EC, ∴∠ B=∠ DAB=∠ C=∠ CAE=36176。,∠ DAC=∠ BAC∠ BAD=72176。 ∵∠ BAC=108176。, ∴∠ DAE=∠ BAC∠ DAB∠ CAE=36176。, ∴ AD,AE將 ∠ BAC三等分 ,故 B正確 。, ∠ CAD=∠ CAE+∠ DAE=72176。 BDBAC BABA?512?由△ ABE≌ △ ACD,可得 S△ ABE=S△ ACD, 即 S△ BAD+S△ ADE=S△ CAE+S△ ADE, ∴ S△ BAD=S△ CAE,又 ∵ DH垂直平分 AB,EG垂直平分 AC, ∴ S△ ADH=? S△ BAD,S△ CEG=? S△ CAE. ∴ S△ ADH=S△ CEG,故 D正確 .故選 A. 12 123.(2022陸豐二模 ,9)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ C=90176。,AC=2,AD=? ,∴ DC=1,∵∠ ADC=2∠ B,∠ ADC=∠ B+∠ BAD,∴∠ B= ∠ BAD,∴ BD=AD=? , ∴ BC=BD+DC=? +1,故選 D. 555思路分析 由勾股定理可得 DC的長(zhǎng) ,易證 BD=AD=? ,從而可知 BC的長(zhǎng) . 54.(2022茂名二模 ,9)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=30176。 176。 176。,∵ AB=AC,∴∠ ACB=∠ B=? (180176。)=75176。30176。,故選 D. 125.(2022湛江二模 ,10)如圖 ,從等邊△ ABC內(nèi)一點(diǎn) P向三邊作垂線 ,PQ=6,PR=8,PS=10,則△ ABC的 面積是 ? ( ) ? ? ? ? ? 3 3 3 3答案 B 連接 AP、 BP、 CP,則 S△ ABC=S△ APB+S△ BPC+S△ APC=? ABPS+? ACBCsin B=x,∴ AB=24247。=16? , ∴ BC=16? ,∴ S△ ABC=1216? =192? ,故選 B. 12 12 1212 12 33 33思路分析 利用三角形的面積相等 ,求出△ ABC的高 ,然后求△ ABC的邊長(zhǎng) ,進(jìn)而求出△ ABC的 面積 . 解題關(guān)鍵 求出△ ABC的邊長(zhǎng)和高 . 二、填空題 (每小題 4分 ,共 18分 ) 6.(2022湛江模擬 ,15)如圖 1,分別以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形 ,面積分別為 S S S3。. ∵ S1=? ? ,S2=? ? ,S3=? ? ,且 ? +? =? , ∴ S1+S3=S2,∴ S3=S2S1=4516=29, ∵ S4=? π? ,S5=? π? ,S6=? π? ,且 ? +? =? , ∴ S5+S6=S4, ∴ S4=S5+S6=11+14=25, ∴ S3+S4=29+25=54. 3421a3422a3423a 21a 23a 22a360x24rx25r 360x26r 25r 26r 24r7.(2022佛山二模 ,15)如圖 ,∠ A=15176。,DE垂直平分 AB交 AC于 E,若 BC=4 cm,則 AC= . ? 答案 (8+4? )cm 3解析 ∵ DE垂直平分 AB,交 AC于 E,∴ AE=BE, ∴∠ EBD=∠ A=15176。,∵∠ C=90176。? =4? cm, ∴ AC=AE+EC=(8+4? )cm. tan 3 0BC?3333審題技巧 由 ∠ A=15176。,聯(lián)想到含 30176。,∠ DEF=4