【正文】 ,聯(lián)想到含 30176。. ∵ S1=? ? ,S2=? ? ,S3=? ? ,且 ? +? =? , ∴ S1+S3=S2,∴ S3=S2S1=4516=29, ∵ S4=? π? ,S5=? π? ,S6=? π? ,且 ? +? =? , ∴ S5+S6=S4, ∴ S4=S5+S6=11+14=25, ∴ S3+S4=29+25=54. 3421a3422a3423a 21a 23a 22a360x24rx25r 360x26r 25r 26r 24r7.(2022佛山二模 ,15)如圖 ,∠ A=15176。PS+? AC,∵ AB=AC,∴∠ ACB=∠ B=? (180176。 BDBAC BABA?512?由△ ABE≌ △ ACD,可得 S△ ABE=S△ ACD, 即 S△ BAD+S△ ADE=S△ CAE+S△ ADE, ∴ S△ BAD=S△ CAE,又 ∵ DH垂直平分 AB,EG垂直平分 AC, ∴ S△ ADH=? S△ BAD,S△ CEG=? S△ CAE. ∴ S△ ADH=S△ CEG,故 D正確 .故選 A. 12 123.(2022陸豐二模 ,9)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ C=90176。 ∵∠ BAC=108176。,∴∠ AMC60176。.求證 :MN=AC. ? 證明 ∵∠ ACB=90176。. ∵ AD=CD,∴∠ DAC=∠ C, ∵∠ ADB=∠ DAC+∠ C,∴∠ C=25176。,頂角 ∠ BAC為 150176。 基礎題組 1.(2022陽江江城模擬 ,3)已知等腰三角形的兩條邊長分別是 7和 3,則下列四個數(shù)中 ,第三條邊的 長是 ? ( ) 答案 B 分兩種情況討論 : ①當 7為腰長 ,3為底邊長時 ,三邊為 3,能組成三角形 ,故第三邊的長為 7。,AB=3? ,∴ BM=AM=3, ∵ BC=5,∴ CM=2, 在 Rt△ AMC中 ,AC=? =? =? .? (4分 ) (2)證明 :∵∠ ABM=45176。(2)由直角三角形中兩銳角 互余求出 ∠ CBA,由等腰三角形的性質(zhì)可得 ∠ MEB=∠ MBE,∠ MCB=∠ MBC,從而可得 ∠ CME= ∠ DME+∠ CMD=2(∠ CBM+∠ EBM),最后由補角性質(zhì)求出 ∠ EMF。,∠ MEF=30176。=40176。BD=? ? t8? =8t cm2,S2=PD,∠ B=60176。,所以△ OBP為 等邊三角形 ,所以 ∠ OBP=60176。,∴∠ O39。,OA在 x軸上 ,OB在 y軸上 ,點 A,B的坐標分別為 (? ,0),(0,1).把 Rt△ AOB沿著 AB對折得到△ AO39。β, ∴∠ ACB=∠ ABC,? (4分 ) ∴ AB=AC, ∴ △ ABC為等腰三角形 .? (5分 ) (2)2MH=FM+? CD.? (6分 ) 證明 :如圖 2,由 (1)知 ,AP=AD,AB=AC,∠ BAP=∠ CAD=β, ∴ △ ABP≌ △ ACD,∴∠ ABE=∠ ACD,? (7分 ) ∵ AC⊥ BD,∴∠ GDN=90176。,∠ EDC=60176。,∴∠ FGC=∠ EAC. ∴ △ FGC≌ △ EAC(SAS).? (11分 ) ∴ CF=CE,∠ ACE=∠ GCF. ∵∠ ECF=∠ ECG+∠ GCF=∠ ECG+∠ ACE=∠ ACG=60176。,∴∠ ADE=30176。. ∴∠ DAH=30176。,∠ BAC=60176。 (3)若△ DMN是等腰三角形 ,求 t的值 . ? 解析 (1)在△ ADC中 ,M是 AD的中點 ,N是 DC的中點 , ∴ MN∥ AC.? (3分 ) (2)如圖 ,分別取△ ABC三邊中點 E,F,G,并連接 EG,FG. 根據(jù)題意可知線段 MN掃過區(qū)域的面積就是 ?AFGE的面積 . ∵ AC=6,BC=8,∴ AE=3,GC=4, ∵∠ ACB=90176。+∠ QAC=45176。cos 30176。,∴∠ CAE=∠ FAE, ∴ △ ACE≌ △ AFE(SAS),∴ CE=EF,∠ AFE=∠ C=30176。∠ A∠ B=105176。15176。. ∵∠ ACE=? ∠ BAC,∴∠ ACE=∠ CAD,∴ AF=CF. ∵∠ ACE=? ∠ BAC=15176。60176。 176。. ∴∠ BMN=∠ BMC+∠ CMN=90176。M=? BC=? . 綜上所述 ,BM的長為 1或 ? . 22212212?27.(2022貴州遵義 ,16,4分 )我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理 ,創(chuàng)制了一幅“弦圖” ,后人 稱其為“趙爽弦圖” (如圖 (1)),圖 (2)由弦圖變化得到 ,它是由八個全等的直角三角形拼接而成 , 記圖中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT的面積分別為 S S EFGH 的邊長為 2,則 S1+S2+S3= . ? 答案 12 解析 設 AH=a,AE=b,EH=c,則 c=2,所以 S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(ab)2=2(a2+b2)+c2=3c2=322=12. 8.(2022北京 ,23,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=90176。MC=∠ C=45176。,∴∠ 5=∠ B. ∵∠ 3=∠ 1+∠ 5,∠ 4=∠ 2+∠ B,∠ 1=∠ 2, ∴∠ 3=∠ 4,∴ CE=CF. ∵ AC=3,AB=5,∴ BC=4. 在 Rt△ BFG中 ,設 CF=x(x0), 則 FG=x,BF==ABAG=53=2. 由 BF2=FG2+BG2,得 (4x)2=x2+22,解得 x=? ,∴ CE=CF=? .選 A. 32 324.(2022北京 ,6,3分 )如圖 ,公路 AC,BC互相垂直 ,公路 AB的中點 M與點 C被湖隔開 ,若測得 AM的長 為 km,則 M,C兩點間的距離為 ? ( ) ? km km km km 答案 D ∵ AC⊥ BC,M是 AB的中點 ,∴ MC=? AB=AM= D. 125.(2022吉林長春 ,13,3分 )如圖 1,這個圖案是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的 ,人 們稱它為“趙爽弦圖” .此圖案的示意圖如圖 2,其中四邊形 ABCD和四邊形 EFGH都是正方形 , △ ABF、△ BCG、△ CDH、△ DAE是四個全等的直角三角形 .若 EF=2,DE=8,則 AB的長為 . ? 答案 10 解析 依題意知 ,BG=AF=DE=8,EF=FG=2,∴ BF=BGFG=6, ∴ 在 Rt△ ABF中 ,利用勾股定理得 ,AB=? =10. 22AF BF?6.(2022河南 ,15,3分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。C中 ,易知 ∠ CAB39。B39。=10176。 176。, ∴∠ ABC=∠ C=72176。, 此時 ,底角 =(180176。=54176。2=80176。 176。.? (1分 ) ∵ CD⊥ AB,∴∠ ADC=90176。,∠ ACB=90176。. ? 考點二 直角三角形 1.(2022深圳 ,14,3分 )在 Rt△ ABC中 ,∠ C=90176。 (2)①延長 DE、 AB相交于點 F,由“角平分線、平行線”可以得出“等腰三角形 ADF” ,再結(jié) 合“ AD=AB+CD” ,利用全等證得 DE=EF,然后由“等腰三角形三線合一”證得 AE⊥ DE。有最小值 ,即 BM+MN有最小值 . 在 Rt△ ADH中 ,AD=AB+CD=6,AH=ABBH=2,由勾股定理可得 ,DH=? =? =4? . ∵∠ DHA=∠ BN39。.∴ AB∥ CD.∴∠ CDE=∠ F.∵ DE平分 ∠ ADC, ∴∠ ADE=∠ CDE.∴∠ ADE=∠ F.∴ AD=AF=AB+ AD=AB+CD,∴ AB+BF=AB+CD. ∴ BF=CD. 在△ CED和△ BEF中 , ∴ △ CED≌ △ BEF.∴ DE= AD=AF,∴ AE⊥ DE. ②如圖 ,作 DH⊥ AB于 H,作點 N關于 AE的對稱點 N39。, ∴∠ DBF=∠ DBA∠ FBA=75176。時 ,如圖 1,測得 AC=2,當 ∠ B=60176。,延長 AC至 M,則 ∠ BCM的度數(shù)為 ( ) ? 176。, ∴∠ BCM=50176。(不要求寫作法 ,保留作圖痕跡 ) (2)在 (1)的條件下 ,連接 BF,求 ∠ DBF的度數(shù) . ? 解析 (1)如圖所示 ,直線 EF即為所求 . ? (2)∵ BD是菱形 ABCD的對角線 , ∴∠ ABD=∠ CBD=75176。 (2)在 (1)的條件下 , ①證明 :AE⊥ DE。在 AD上 .∴ 當點 B,M,N39。=? ,∴ BM+MN的最小值為 ? . ,D E C F E BC D E FC D B F? ? ???? ? ????? 22AD AH?32239。,求 ∠ AEC的度數(shù) . ? 解析 (1)如圖所示 ,直線 ED即為所求 . ? (2)∵ 直線 ED是線段 AB的垂直平分線 , ∴ AE=BE,∴∠ EAB=∠ B. ∵∠ B=50176。,AC=2? . (1)利用尺規(guī)作線段 AC的垂直平分線 DE,垂足為 E,交 AB于點 D。.若 AC=a,求 CI的長 . ? 解析 ∵ Rt△ ABC中 ,∠ B=30176。26=6 048,點 B2 016的縱坐標為 2. ∴ 點 B2 016的坐標為 (6 048,2). 3 22AO BO?52思路分析 首先根據(jù)已知求出三角形三邊的長度 ,然后通過旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn) ,B、 B B … 的縱坐標 相等 ,即可得每個相鄰的偶數(shù)之間的橫坐標相差 6個單位長度 ,根據(jù)這個規(guī)律可以求得 B2 016的坐 標 . 考點一 等腰三角形 B組 20222022年 全國 中考題組 1.(2022河北 ,8,3分 )已知 :如圖 ,點 P在線段 AB外 ,且 PA = :點 P在線段 AB的垂直平分線上 . 在證明該結(jié)論時 ,需添加輔助線 ,則作法 不 正確的是 ? ( ) ∠ APB的平分線 PC交 AB于點 C P作 PC⊥ AB于點 C且 AC=BC AB中點 C,連接 PC P作 PC⊥ AB,垂足為 C 答案 B 無論作 ∠ APB的平分線 PC交 AB于點 C,還是取 AB中點 C,連接 PC或過點 P作 PC⊥ AB, 垂足為 C,都可以通過等腰三角形三線合一得出結(jié)論 ,選項 A,C,D的作法正確 .故選 B. 2.(2022天津 ,11,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD,CE是△ ABC的兩條中線 ,P是 AD上的一個動 點 ,則下列線段的長等于 BP+EP最小值的是 ? ( ) ? 答案 B 如圖 ,連接 PC,∵ AB=AC,BD=CD,∴ AD⊥ BC, ∴ PB=PC, ∴ PB+PE=PC+PE,∵ PE+PC≥ CE, ∴ 當 P、 C、 E三點共線時 ,PB+PE的值最小 ,最小值為 CE,故選 B. ? 思路分析 先證 PB=PC,從而可得當 P、 C、 E三點共線時 ,PB+PE的值最小 ,最小值為 CE. 3.(2022廣西南寧 ,7,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AD=DC,∠ B=70176。,則它的頂角的度數(shù)為 . 答案 80176。或 27176。 ? ②若三角形是鈍角三角形 ,則 ∠ BAC=36176?；?27176。,則 ∠ EDC的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。, AD=AE,∴∠ AED=∠ ADE=45176。與 點 A重合 ,點 C39。C39。,CD⊥ AB,垂足為 D,AF平分 ∠ CAB, 交 CD于點 E,交 CB于點 AC=3,AB=5,則 CE的長為 ? ( ) ? A.? B.? C.? D.? 32 43 53 85答案 A 過 F作 FG⊥ AB于點 G, ∵ AF平分 ∠ CAB,∠ ACB=90176。. (1)當 ∠ MB39。MC=90176。,AC平分 ∠ BAD, ∴∠ BAC=∠ CAD=30176。,則 ∠ C的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。. ∵ EF⊥ AC,∴∠ EFC=90176。當 CP=2時 ,根據(jù)勾股定理得 AP= ? =? =? ,故 AP的長為 ? 或 ? . 2231?10AC CP?32?135.(2022山西 ,16,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ BAC=30176。45176。 解析 由題意知 MN垂直平分 BC,∴ CD=BD, 又 CD=AC,∴ AC=CD=BD,∴∠ DCB=∠ B=25176。,∠ DAE=60176。得△ ACF,連接 EF,∴ CF=△ ADE≌ △ AFE, ∴ DE=EF. ∵∠ ACD=∠ B=30176。α. ∵ QH⊥ AP,∴∠ AMQ=90176?！?C. ∴∠ CBE=∠ CAD. ∴∠ CBE=∠ BAD. 11.(2022福建龍巖 ,24,13分 )如圖 ,在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB=90176。, AMAB6610185 365512 12 12∴∠ B=∠ BCD,∴ BD=CD=AD, 在 Rt